中考数学总复习 第七章 图形的变化 第28讲 图形的轴对称课件.ppt

第 28讲 图形的轴对称 浙江专用 1 轴对称与轴对称图形 名 称 定义 性质 轴 对 称 把一个图形沿着某一条直线折叠 ， 如果它能够与另一个图形重合 ， 那么就说这两个图形关于这条直 线成轴对称 ， 这条直线叫做 _， 折叠后重合的点 是对称点 . (1)如果两个图形关于某 条直线对称 ， 那么对称 轴是任何一对对称点所 连线段的 _； (2)轴对称图形的对称轴 ， 是任意一对对称点所连 线段的 _； (3)对应线段、对应角 _. 轴 对 称 图 形 如果一个图形沿一条直线折叠 ， 直线两旁的部分能够互相重合 ， 这个图形就叫做轴对称图形 ， 这 条直线就是它的对称轴 . 对称轴 垂直平分线 垂直平分线 相等 2.轴对称变换 由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l对称的图形 ， 这个图形与原 图形的形状 、 大小完全一样；新图形上的每一点 ， 都是原图形上的某一 点关于直线 l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴 _ 这样 ， 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 一个轴 对称图形可以看作以它的一部分为基础 ， 经轴对称变换而成 3 画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成 ， 只要分别作出这些点关于对称轴的对应 点 ， 再连结这些对应点 ， 就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由 直线 、 线段或射线组成的图形 ， 只要作出图形中的一些特殊点 (如线段 的端点 )关于对称轴的对应点 ， 连结这些对应点 ， 就可以得到原图形的 轴对称图形 垂直平分 1 轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别： 轴对称图形是一个具有特殊性质的图形 ， 而图形的轴对称是说两 个图形之间的位置关系； 联系： 若把轴对称的两个图形视为一个整体 ， 则它就是一个轴对称图形 ；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形 ， 则这两个图形就 形成轴对称的位置关系 因此 ， 它们是部分与整体 、 形状与位置的关系 ， 是可以辩证地互相转化的 2 镜面对称原理 (1)镜中的像与原来的物体成轴对称； (2)镜子中的像改变了原来物体的左右位置 ， 即像与物体左右位置互换 3 建立轴对称模型 在解决实际问题时 ， 首先把实际问题转化为数学模型 ， 再根据实际以 某直线为对称轴 ， 把不是轴对称的图形通过轴对称变换补添为轴对称 图形 有关几条线段之和最短的问题 ， 都是把它们转化到同一条直线 上 ， 然后利用 “ 两点之间线段最短 ” 来解决 1 (2016舟山 )在下列 “ 禁毒 ” 、 “ 和平 ” 、 “ 志愿者 ” 、 “ 节水 ” 这 四个标志中 ， 属于轴对称图形的是 ( ) B 2 (2016绍兴 )我国传统建筑中 ， 窗框 (如图 )的图案玲珑剔透、千变万 化 ， 窗框一部分如图 ， 它是一个轴对称图形 ， 其对称轴有 ( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 B 3 (2016成都 )平面直角坐标系中 ， 点 P( 2， 3)关于 x轴对称的点的坐 标为 ( ) A ( 2， 3) B (2， 3) C ( 3， 2) D (3， 2) A 4 (2016台州 )小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的 形状是正方形 ， 她对折了 ( ) A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 B 5 (2016金华 )如图 ， Rt ABC纸片中 ， C 90 ， AC 6， BC 8 ， 点 D在边 BC上 ， 以 AD为折痕将 ABD折叠得到 ABD， AB与边 BC交于点 E.若 DEB为直角三角形 ， 则 BD的长是 _ 2或 5 识别轴对称图形 【 例 1】 (2016深圳 )下列图形中 ， 是轴对称图形的是 ( ) B 【 点评 】 判断图形是否是轴对称图形 ， 关键是理解、应用轴对称 图形的定义 ， 看是否能找到至少 1条合适的直线 ， 使该图形沿着这条 直线对折后 ， 两旁能够完全重合若能找到 ， 则是轴对称图形；若 找不到 ， 则不是轴对称图形 对应训练 1 (1)(2016北京 )甲骨文是我国的一种古代文字 ， 是汉字的早期形式 ， 下列甲骨文中 ， 不是轴对称的是 ( ) D (2)(2016台湾 )若下列选项中的图形均为正多边形 ， 则哪一个图形恰 有 4条对称轴？ ( ) B 作已知图形的轴对称图形 【 例 2】 在平面直角坐标系中 ， 已知点 A( 3， 1)， B( 1， 0)， C( 2 ， 1)， 请在图中画出 ABC， 并画出与 ABC关于 y轴对称的图形 解：如图所示 ， DEF即为与 ABC关于 y轴对称的图形 【 点评 】 画轴对称图形 ， 先要明确对称轴 ， 对于直线、线段、多边形 等特殊图形 ， 一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶 点等的对称点 ， 就能准确作出图形 对应训练 2 (2016宁波 )下列 3 3网格图都是由 9个相同的小正方形组成 ， 每个网 格图中有 3个小正方形已涂上阴影 ， 请在余下的 6个空白小正方形中 ， 按 下列要求涂上阴影： (1)选取 1个涂上阴影 ， 使 4个阴影小正方形组成一个轴对称图形 ， 但不是 中心对称图形； (2)选取 1个涂上阴影 ， 使 4个阴影小正方形组成一个中心对称图形 ， 但不 是轴对称图形； (3)选取 2个涂上阴影 ， 使 5个阴影小正方形组成一个轴对称图形 (请将三个小题依次作答在图 1、图 2、图 3中 ， 均只需画出符合条件的一 种情形 ) 解： (1)如图 1所示； (2)如图 2所示； (3)如图 3所示 (答案均不唯一 ) 轴对称性质的应用 【例 3 】 ( 2 0 1 6 百色 ) 如图 ， 正 A B C 的边长为 2 ， 过点 B 的直线 l AB ， 且 A B C 与 A B C 关于直线 l 对称 ， D 为线段 B C 上一动点 ， 则 AD CD 的最小值是 ( ) A 4 B 3 2 C 2 3 D 2 3 A 点拨：作点 A关于直线 BC的对称点 A1， 连结 A1C交直线 BC于点 D， 由 图象可知当点 D在 CB的延长线上时 ， AD CD最小 ， 而点 D为线段 BC 上一动点 ， 当点 D与点 B重合时 AD CD值最小 ， 此时 AD CD AB CB 2 2 4， 故选 A. 【 点评 】 本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的 性质 ， 解题的关键是找出一点的对称点 ， 连结对称点与另一点与对 称轴交于一点 ， 即可得出结论 对应训练 3 ( 2 0 1 6 龙东地区 ) 如图 ， MN 是 O 的直径 ， MN 4 ， AMN 40 ， 点 B 为弧 AN 的中点 ， 点 P 是直径 MN 上的一个动点 ， 则 PA PB 的最 小值为 _ 2 3 折叠问题 【例 4 】 ( 1 ) ( 2 0 1 6 宿迁 ) 如图 ， 把正方形纸片 A B C D 沿对边中点所在的 直线对折后展开 ， 折痕为 MN ， 再过点 B 折叠纸片 ， 使点 A 落在 MN 上的点 F 处 ， 折痕为 B E. 若 AB 的长为 2 ， 则 FM 的长为 ( ) A 2 B . 3 C. 2 D 1 B (2)(2016聊城 )如图 ， 把一张矩形纸片 ABCD沿 EF折叠后 ， 点 A落在 CD 边上的点 A处 ， 点 B落在点 B处 ， 若 2 40 ， 则图中 1的度数为 ( ) A 115 B 120 C 130 D 140 A 【 点评 】 折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程 ， 轴对称变 换前后的图形是全等图形 ， 对应边相等 ， 对应角相等 对应训练 4 ( 2 0 1 6 徐州 ) 如图 ， 将边长为 6 的正方形纸片 A B C D 对折 ， 使 AB 与 DC 重合 ， 折痕为 EF ， 展平后 ， 再将点 B 折到边 CD 上 ， 使边 AB 经过点 E ， 折痕为 GH ， 点 B 的对应点为 M ， 点 A 的对应点为 N. ( 1 ) 若 CM x ， 则 CH _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 用含 x 的代数式表示 ) ； ( 2 ) 求折痕 GH 的长 1 12 x 2 3 解： ( 1 ) CM x ， BC 6 ， 设 HC y ， 则 BH HM 6 y ， 故 y 2 x 2 (6 y) 2 ， 整理得 y 1 12 x 2 3 ， 故答案为： 1 12 x 2 3 ； ( 2 ) 四边形 A B C D 为正方形 ， B C D 90 ， 设 CM x ， 由题意可得 ED 3 ， DM 6 x ， E MH B 90 ， 故 HM C E MD 90 ， HM C MH C 90 ， E M D MH C ， E DM MCH ， ED MC DM CH ， 即 3 x 6 x 1 12 x 2 3 ， 解得 x 1 2 ， x 2 6( 不 合题意舍去 ) ， CM 2 ， DM 4 ， 在 Rt DEM 中 ， 由勾股定理得： EM 5 ， NE MN EM 6 5 1 ， NEG DEM ， N D ， NEG DE M ， NE DE NG DM ， 1 3 NG 4 ， 解得 NG 4 3 ， 由翻折变换的性质 ， 得 AG NG 4 3 ， 如图 ， 过点 G 作 GP BC ， 垂足为 P ， 则 BP AG 4 3 ， GP AB 6 ， 当 x 2 时 ， CH 1 12 x 2 3 8 3 ， PH BC HC BP 6 8 3 4 3 2 ， 在 Rt GP H 中 ， GH GP 2 PH 2 6 2 2 2 2 10 . 试题 设 M 是边长为 2 的正 A B C 的边 AB 上的中点 ， P 是边 BC 上的 任意一点 ， 求 PA PM 的最小值 错解 当点 P 为 BC 中点时 ， PA PM 的和最小 M 是 AB 的中点 ， PM 是 A B C 的中位线 ， 且 AP BC ， PM 1 2 AC 1 2 2 1 ， PA 2 2 1 2 3 ， PA PM 1 3 . 剖析 求两条线段之和最小问题 ， 应选用线段的垂直平分线、角平分 线、等腰三角形的高作为对称轴来解题 正解 作正 A B C 关于 BC 的对称图形 A B C ， M 是 M 的对称点 ， 故 M 是 A B 的中点 ， PM P M ， PA PM PA P M A M. 连结 C M ， 易知 AC M 90 ， AM AC 2 C M 2 2 2 （ 3 ） 2 7 .