中考数学总复习 第一章 数与式 第4讲 分式及其运算课件.ppt

第 4讲 分式及其运算 浙江专用 1 分式的基本概念 (1) 形如 的式子叫做分式 如： n 2m ， 3 x y ， x x 1 都是分式； (2) 当 _ 时 ， 分式 A B 有意义；当 _ 时 ， 分式 A B 无意义； 当 时 ， 分式 A B 的值为 0. 2 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘 ( 或除以 ) ， 分式的值不变 ， 用式 子表示为 A B (A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) B0 B 0 A 0且 B0 同一个不等于零的整式 A B A M B M ， A B A M B M (M 是不等于零的整式 ) 3 分式的运算法则 4 最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式 ， 那么这个分式叫做最简分式 5 分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去 ， 这种变形叫做约分 ， 约分的根据是分式的 基本性质 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式 ， 这种变形叫做分式的 通分 ， 通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母 6 分式的混合运算 在分式的混合运算中 ， 应先算乘方 ， 再将除法化为乘法 ， 进行约分化简 ， 最后 进行加减运算若有括号 ， 先算括号里面的灵活运用运算律 ， 运算结果必须是 最简分式或整式 1 分式与分数有许多类似的地方 ， 因此在分式的学习中 ， 要注意与分数进行类 比学习理解 2 分式运算中的常用技巧 分式运算题型多 ， 方法活 ， 要根据特点灵活求解如： 分组通分；分步通 分；先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ；重新排序；整体通分；化积为差 ， 裂项相消 3 分式求值中的常用技巧 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化主要有以下 技巧：整体代入法；参数法；平方法；代入法；倒数法但对分式求值 问题 ， 通常先化简后求值 1 ( 2016 衡阳 ) 如果分式 3 x 1 有意义 ， 则 x 的取值范围是 ( ) A 全体实数 B x 1 C x 1 D x 1 2 ( 2016 温州 ) 若分式 x 2 x 3 的值为 0 ， 则 x 的值是 ( ) A 3 B 2 C 0 D 2 B D 3 ( 2016 滨州 ) 下列分式中 ， 最简分式是 ( ) A. x 2 1 x 2 1 B. x 1 x 2 1 C. x 2 2 xy y 2 x 2 xy D. x 2 36 2 x 12 4 ( 2016 丽水 ) 1 a 1 b 的运算结果正确的是 ( ) A. 1 a b B. 2 a b C. a b ab D a b A C 5 ( 2015 衢州 ) 先化简 ， 再求值： (x 2 9) x 3 x ， 其中 x 1 . 解：原式 (x 3)(x 3) xx 3 x(x 3) x 2 3x ， 当 x 1 时 ， 原式 1 3 2 【例 1 】 (1) ( 2016 北京 ) 如果分式 2 x 1 有意义 ， 那么 x 的取值范围是 _ (2) ( 20 16 盐城 ) 当 x _ 时 ， 分式 x 1 3x 2 的值为 0. 【点评】 (1) 分式有意义就是使分母不为 0 ， 解不等式即可求出 ， 有时 还要考虑二次根式有意义； (2) 首先求出使分子为 0 的字母的值 ， 再检验这个 字母的值是否使分母的值为 0 ， 当它使分母的值不为 0 时 ， 这就是所要求的 字母的值 x1 1 对应训练 1 (1) 如果代数式 x x 1 有意义 ， 那么 x 的取值范围是 ( ) A x 0 B x 1 C x 0 D x 0 且 x 1 (2) 当 x _ _ 时 ， 分式 | x | 3 x 3 的值为 0. D 3 【例 2 】 (1) 如果把 5 x x y 的 x 与 y 都扩大 10 倍 ， 那么这个代数式的值 ( ) A 不变 B 扩大 50 倍 C 扩大 10 倍 D 缩小到原来的 1 10 (2) ( 20 15 益阳 ) 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b A C (3) 已知 x y xy ， 求代数式 1 x 1 y (1 x )(1 y ) 的值 【点评】 (1) 分式的基本性质是分式变形的理论依据 ， 所有分式变形都 不得与此相违背 ， 否则分式的值将改变； (2) 将分式化简 ， 即约分 ， 要先找出 分子、分母的公因式 ， 如果分子、分母是多项式 ， 要先将它们分别分解因式 ， 然后再约分 ， 约分应彻底； (3) 巧用分式的性质 ， 可以解决某些较复杂的计算 题 ， 可应用逆向思维 ， 把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求 代数式的值 解： x y xy ， 1 x 1 y (1 x )(1 y ) y x xy (1 x y xy ) x y xy 1 x y xy 1 1 0 0 对应训练 2 (1) 下列计算错误的是 ( ) A. 0.2 a b 0.7 a b 2 a b 7 a b B. x 3 y 2 x 2 y 3 x y C. a b b a 1 D. 1 c 2 c 3 c (2) ( 20 16 台州 ) 化简 x 2 y 2 （ y x ） 2 的结果是 ( ) A 1 B 1 C. x y y x D. x y x y A D 【例 3 】 ( 2016 玉林 ) 化简： ( a a 2 4 a 2 2a ) a 2 a . 【点评】 (1) 分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加减 ， 当分子 是多项式时 ， 一定要添加括号； (2 ) 分式化简时 ， 分子分母能因式分解的一定 先因式分解 ， 既可方便确定最简公分母 ， 又有利于约 分达到简化运算的效果； ( 3) 乘除法是同级运算 ， 必须严格按照从左到右的顺序 ， 切不可先乘后除 ， 如 a b 1 b a 是错误的 解：原式 1 对应训练 3 (1) ( 2016 重庆 ) 计算： x 2 4x 4 x 2 2x (2x 4 x 2 x ) ； (2) ( 20 16 聊城 ) 计算： ( x 8 x 2 4 2 x 2 ) x 4 x 2 4x 4 . 解：原式 1x 2 解：原式 x 2x 2 【例 4 】 ( 2016 营口 ) 先化简 ， 再求值： ( x 2 3x 6 x 2 1) x 2 4 x 2 4x 4 ， 其中 x 2 5 . 【点评】 此题主要考查了分式的化简求值问题 ， 要熟练掌握 ， 解答此 题的关键是要明确在化简过程中的运算顺序 ， 注意化简的最后结果分子、分 母要进行约分 ， 要化成最简分式或整式 解：原式 x 2 ， 当 x 2 5 时 ， 原式 5 对应训练 4 (1) ( 2016 舟山 ) 先化简 ， 再求值： (1 1 x 1 ) x 2 ， 其中 x 20 16. (2) ( 20 16 西宁 ) 化简： 2x x 1 2x 4 x 2 1 x 2 x 2 2x 1 ， 然后在不等式 x 2 的非负 整数解中选择一个适当的数代入求值 解：原式 2x 1 ， 当 x 2016 时 ， 原式 22016 1 22015 解：原式 2 x 1 ， 不等式 x 2 的非负整数解是 0 ， 1 ， 2 ， (x 1)(x 1) 0 ， x 2 0 ， x 1 且 x 2 ， 把 x 0 代入 2 x 1 2 试 题 先化简 ， 再求值： x 2 1 x 2 x (2 x 2 1 x ) ， 其中 x 2 1 . 审题视角 本题考查分式的化简及求值 ， 针对本题 ， 应从运算顺序上入 手即先计算括号里的分式加法 ， 再将除法转化为乘法 ， 最后约分化简 ， 代入 x 的值进行计算 规范答题 解：原式 （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） ( 2x x 2 1 x ) （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2 1 x 1 当 x 2 1 时 ， 原式 1 2 1 1 2 2 答题思路 分式化简求值的一般步骤 第一步：若有括号的 ， 先计算括号内的运算 ， 括号内如果是异分母加减运算时 ， 需将异分母分式通分化为同分母分式运算 ， 然后将分子 合并同类项 ， 把括号去掉 ， 简称： 去括号 ； 第二步：若有除法运算的 ， 将分式中除号 ( )后面的式子分子、分母颠倒 ， 并把 这个式子前的 “ ” 变为 “ ” ， 保证几个分式之间除了 “ 、 ” 就只有 “ 或 ” ， 简称： 除法变乘法 ； 第三步：分式乘法运算 ， 利用因式分解、约分来计算 ， 简称： 先算乘法 ； 第四步：最后按照式子顺序 ， 从左到右计算分式加减运算 ， 直到化为最简形式 ， 简称： 再算加减 ； 第五步：将所给数值代入求值 ， 代入数值时要注意使原分式有意义 ， 简称： 代入 求值 . 试题 ( 2015 烟台 ) 先化简： x 2 x x 2 2x 1 ( 2 x 1 1 x ) ， 再从 2 x 3 的范围 内选取一个你最喜欢的值代入 ， 求值 错解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 当 x 0 时 ， 原式 0 剖析 (1) 由于 x 的值是根据自己的理解情况给出的 ， 所以此题是一道开 放型的试题 ， 但在选择 x 的值时 ， 一定注意所选择的 x 的值要保证原分式有意 义； (2) 在选择 x 的值时 ， 注意 x 除了不能取 0 ， 1 外 ， 取其他值均可 正解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 当 x 2 时 ， 原式 4