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课时 39 解答题（三）题型 中考题型攻略 题型解读 解答题（三）是广东中考数学试卷中的最后一种题型，也 是难度最大的一种题型，通常是由三道包含多个知识点的几何 与代数综合题组成 . 解此类问题要求学生具备扎实的基础知识 和熟练的解题技能 . 通过对广东中考命题规律的分析，我们发 现解答题（三）的常见题型有一次函数与反比例函数综合题、 二次函数综合题、圆的综合题、三角形综合题、四边形综合题 等类型 . 在复习备考时，需要同学们针对各种类型的综合题进 行强化训练，不断提高自己分析与解决问题的能力，积累做题 经验，争取在本大题上取得最为理想的成绩 . 分类突破 考点类型 1 一次函数与反比例函数综合题 巩固训练 1. （ 2016茂名）如图 4-39-1，一次函数 y=x+b的图象与反比例 函数 （ k为常数， k0 ）的图 象交于点 A（ -1， 4）和点 B（ a， 1） . （ 1）求反比例函数的表达式和 a， b的值； （ 2）若 A， O两点关于直线 l对称，请连 接 AO，并求出直线 l与线段 AO的交点坐标 . 解：（ 1） 点 A（ -1， 4）在反比例函数 （ k为常数， k0 ）的图象上， k=-1 4=-4. 反比例函数解析式为 把点 A（ -1， 4）， B（ a， 1）分别代入 y=x+b中，得 （ 2）连接 AO，设线段 AO与直线 l相交于点 M，如答图 4-39-1所 示 . A， O两点关于直线 l对称， 点 M为线段 OA的中点 . 点 A（ -1， 4）， O（ 0， 0）， 点 M的坐标为 直线 l与线段 AO的交点坐标为 2. （ 2016重庆）如图 4-39-2，在平面直角坐标系中，一次函 数 y=ax+b（ a0 ）的图形与反比例函数 （ k0 ）的图 象交于第二、四象限内的 A， B两点，与 y轴交于 C点，过点 A作 AH y轴，垂足为 H， OH=3， tan AOH= ，点 B的坐标为（ m， -2） . （ 1）求 AHO的周长； （ 2）求该反比例函数和一次 函数的解析式 . 解：（ 1）由 OH=3， tan AOH= ，得 AH=4，即 A（ -4， 3） . 由勾股定理，得 AHO的周长 =AO+AH+OH=3+4+5=12. （ 2）将 A点坐标代入 ，得 k=-4 3=-12. 反比例函数的解析式为 当 y=-2时， ，解得 x=6，即 B（ 6， -2） . 将 A， B两点坐标代入 y=ax+b，得 3. （ 2016泰安）如图 4-39-3，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的顶点 O与坐标原点重合，点 C的坐标为（ 0， 3），点 A在 x轴的负半轴上，点 D， M分别在边 AB， OA上，且 AD=2DB， AM=2MO，一次函数 y=kx+b的图象过点 D和 M，反比例函数 的图象经过点 D，与 BC的交点为 N. （ 1）求反比例函数和一次函数的表达式； （ 2）若点 P在直线 DM上，且使 OPM的面积 与四边形 OMNC的面积相等，求点 P的坐标 . 解：（ 1） 正方形 OABC的顶点 C（ 0， 3）， OA=AB=BC=OC=3， OAB= B= BCO=90 . AD=2DB， AD= AB=2. D（ -3， 2） . 把 D坐标代入 ,得 m=-6. 反比例函数的解析式为 . AM=2MO， MO= OA=1，即 M（ -1， 0） . 把 M与 D的坐标代入 y=kx+b中，得 解得 k=b=-1. 则一次函数的解析式为 y=-x-1. （ 2）把 y=3代入 ，得 x=-2. N（ -2， 3），即 NC=2. 设 P（ x， y）， OPM的面积与四边形 OMNC的面积相等， 解得 y= 9. 当 y=9时， x=-10，当 y=-9时， x=8. 则点 P坐标为（ -10， 9）或（ 8， -9） . 4. （ 2016乐山）如图 4-39-4，反比例函数 与一次函数 y=ax+b的图象交于点 A（ 2， 2）， （ 1）求这两个函数的解析式； （ 2）将一次函数 y=ax+b的图象沿 y轴向下平移 m个单位，使平 移后的图象与反比例函数 y=kx的图象有且 只有一个交点，求 m的值 . 解：（ 1） A（ 2， 2）在反比例函数 的图象上， k=4. 反比例函数的解析式为 . 又 点 在反比例函数 的图象上， n=4，解得 n=8.即点 B的坐标为 B . 由 A（ 2， 2）， B 在一次函数 y=ax+b的图象上，得 一次函数的解析式为 y=-4x+10. （ 2）将直线 y=-4x+10向下平移 m个单位得直线的解析式为 y=-4x+10-m， 直线 y=-4x+10-m与双曲线 有且只有一个交点， 令 -4x+10-m= ，得 4x2+（ m-10） x+4=0. =（ m-10） 2-64=0. 解得 m=2或 m=18. 考点类型 2 二次函数综合题 巩固训练 1. （ 2016广州）已知抛物线 y=mx2+（ 1-2m） x+1-3m与 x轴相交 于不同的两点 A， B （ 1）求 m的取值范围； （ 2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标； （ 3）当 m8 时，由（ 2）求出的点 P和点 A， B构成的 ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 m值 . （ 1）解：当 m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当 m0 时， 抛物线 y=mx2+（ 1-2m） x+1-3m与 x轴相交于不同的两点 A， B， =（ 1-2m） 2-4 m （ 1-3m） =（ 1-4m） 2 0. 1 -4m0. m . （ 2）证明： 抛物线 y=mx2+（ 1-2m） x+1-3m， y=m（ x2-2x-3） +x+1. 抛物线过定点说明这一点的 y与 m无关， 显然当 x2-2x-3=0时， y与 m无关 . 解得 x=3或 x=-1.当 x=3时， y=4，定点坐标为（ 3， 4）； 当 x=-1时， y=0，定点坐标为（ -1， 0） . 点 P不在坐标轴上， P（ 3， 4） . 2. （ 2016梅州）如图 4-39-5，在平面直角坐标系中，已知抛 物线 y=x2+bx+c过 A， B， C三点，点 A的坐标是（ 3， 0），点 C的 坐标是（ 0， -3），动点 P在抛物线上 . （ 1） b=_， c=_，点 B的坐标为 _； （直接填写结果） （ 2）是否存在点 P，使得 ACP是以 AC为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，说明理 由 . -2 -3 （ -1， 0） 解：存在 . 如答图 4-39-2所示 . 当 ACP1=90 时， A（ 3,0） , 设 AC的解析式为 y=kx-3, 将点 A的坐标代入 ,得 3k-3=0.解得 k=1. 直线 AC的解析式为 y=x-3. 直线 CP1的解析式为 y=-x-3. 将 y=-x-3与 y=x2-2x-3联立 , 解得 x1=1， x2=0（不合题意，舍去） . 点 P1的坐标为（ 1， -4） . 当 P2AC=90 时， 设 AP2的解析式为 y=-x+b， 将点 A的坐标代入，得 -3+b=0.解得 b=3. 直线 AP2的解析式为 y=-x+3. 将 y=-x+3与 y=x2-2x-3联立 , 解得 x1=-2， x2=3（不合题意，舍去） . 点 P2的坐标为（ -2， 5） . 综上所述，点 P的坐标是（ 1， -4）或（ -2， 5） . 3. （ 2016茂名）如图 4-39-6，抛物线 y=-x2+bx+c经过 A（ -1， 0）， B（ 3， 0）两点，且与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点， 抛物线的对称轴 DE交 x轴于点 E，连接 BD. （ 1）求经过 A， B， C三点的抛物线的函数表达式； （ 2）点 P是线段 BD上一点，当 PE=PC时，求点 P的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，过点 P作 PF x轴于 点 F， G为抛物线上一动点， M为 x轴上一动点， N为直线 PF上一动点，当以 F， M， N， G为顶点 的四边形是正方形时，请求出点 M的坐标 . 解：（ 1） 抛物线 y=-x2+bx+c经过 A（ -1， 0）， B（ 3， 0）两 点， 抛物线的函数表达式为 y=-x2+2x+3. （ 2）如答图 4-39-3，连接 PC， PE， 对称轴 ， 当 x=1时， y=4. 点 D的坐标为（ 1， 4） . 设直线 BD的解析式为 y=mx+n， 直线 BD的解析式为 y=-2x+6. 设点 P的坐标为（ x， -2x+6）， 则 PC2=x2+（ 3+2x-6） 2， PE2=（ x-1） 2+（ -2x+6） 2. PC=PE， x2+（ 3+2x-6） 2=（ x-1） 2+（ -2x+6） 2. 解得 x=2. 则 y=-2 2+6=2. 点 P的坐标为（ 2， 2） . （ 3）如答图 4-39-4，设点 M的坐标为（ a， 0）， 则点 G的坐标为（ a， -a2+2a+3） . 以 F， M， N， G为顶点的四边形是正方形， FM=MG，即 |2-a|=|-a2+2a+3|. 当 2-a=-a2+2a+3时，即 a2-3a-1=0. 当 2-a=-（ -a2+2a+3）时，即 a2-a-5=0. 4. （ 2016滨州）如图 4-39-7，已知抛物线 与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交于点 C. （ 1）求点 A， B， C的坐标； （ 2）点 E是此抛物线上的点，点 F是其对称轴上的点，求以 A， B， E， F为顶点的平行四边形的面积； （ 3）此抛物线的对称轴上是否存 在点 M，使得 ACM是等腰三角形？ 若存在，请求出点 M的坐标；若不 存在，请说明理由 . 解：（ 1）令 y=0,得 x2+2x-8=0. 解得 x=-4或 x=2. 点 A的坐标为（ 2， 0） .点 B的坐标为（ -4， 0） . 令 x=0，得 y=2， 点 C的坐标为（ 0， 2） . （ 2）当 AB为平行四边形的边时， AB=EF=6，对称轴 x=-1， 点 E的横坐标为 -7或 5. 当点 E在抛物线顶点时，点 ，设对称轴与 x轴交 点为 P，令 EP与 FP相等，则四边形 AEBF是菱形，此时以 A， B， E， F为顶点的平行四边形的面积 = （ 3）如答图 4-39-5所示，当 C为顶点时， CM1=CA， CM2=CA， 作 M1N OC于点 N， 在 Rt CM1N中， 点 M1的坐标为（ -1， 2+ ）， 点 M2的坐标为（ -1， 2- ） . 当 M3为顶点时， 直线 AC的解析式为 y=-x+2， 线段 AC的垂直平分线为 y=x， 点 M3的坐标为（ -1， -1） . 当点 A为顶点的等腰三角形不存在 . 综上所述点 M的坐标为（ -1， -1）或（ -1， 2+ ）或（ -1， 2- ） . 考点类型 3 圆的综合题 巩固训练 1. （ 2016广州）如图 4-39-8，点 C为 ABD的外接圆上的一 动点（点 C不在 上，且不与点 B， D重合）， ACB= ABD =45 . （ 1）求证： BD是该外接圆的直径； （ 2）连接 CD，求证： AC=BC+CD； （ 3）若 ABC关于直线 AB的对称图形为 ABM，连接 DM，试探究 DM2， AM2， BM2 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论 . （ 1）解： ， ACB= ADB=45 . ABD=45 ， BAD=90 . BD是 ABD外接圆的直径 . （ 2）证明：在 CD的延长线上截取 DE=BC， 连接 EA，如答图 4-39-6. ABD= ADB， AB=AD. ADE+ ADC=180 ， ABC+ ADC=180 ， ABC= ADE. 在 ABC与 ADE中， ABC ADE（ SAS） . BAC= DAE. BAC+ CAD= DAE+ CAD. BAD= CAE=90 . ， ACD= ABD=45 . CAE是等腰直角三角形 . （ 3）解： BM2+2AM2=DM2.证明：如答图 4-39-7，过点 M作 MF MB于点 M，过点 A作 AF MA于点 A， MF与 AF交于点 F，连接 BF. 由对称性可知 AMB= ACB=45 ， FMA=45 . AMF是等腰直角三角形 . AM=AF， MF= AM. MAF+ MAB= BAD+ MAB， FAB= MAD. 在 ABF与 ADM中， ABF ADM（ SAS） . BF=DM. 在 Rt BMF中， BM2+MF2=BF2， BM2+2AM2=DM2. 2. （ 2016深圳）如图 4-39-9，已知 O的半径为 2， AB为直径， CD为弦 . AB与 CD交于点 M，将 沿 CD翻折后，点 A与圆心 O重 合，延长 OA至点 P，使 AP=OA，连接 PC. （ 1）求 CD的长； （ 2）求证： PC是 O的切线； （ 3）点 G为 的中点，在 PC的延 长线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E. 交 于点 F（ F与 B， C不重合） . 问 GE GF是否为定值，如果是，求出 该定值；如果不是，请说明理由 . 4-39-8 4-39-9 3. （ 2016长沙）如图 4-39-10，四边形 ABCD内接于 O，对角 线 AC为 O的直径，过点 C作 AC的垂线交 AD的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB， DC， DF. （ 1）求 CDE的度数； （ 2）求证： DF是 O的切线； （ 3）若 AC= DE，求 tan ABD的值 . （ 1）解： 对角线 AC为 O的直径， ADC=90 ， CDE=90 . （ 2）证明：如答图 4-39-10，连接 DO. EDC=90 ，点 F为 EC的中点， DF=FC. FDC= FCD. OD=OC， ODC= OCD. OCF=90 ， ODF= ODC+ FDC= OCD+ FCD=90 . DF是 O的切线 . （ 3）解： E+ DCE=90 ， DCA+ DCE=90 ， E = DCA. 又 CDE= ADC=90 ， CDE ADC. DC2=AD DE. AC= DE， 设 DE=x，则 AC= x， 则 AC2-AD2=AD DE，即（ x） 2-AD2=AD x. 整理，得 AD2+AD x-20 x2=0. 解得 AD=4x或 AD=-5x（负数不合题意，舍去） . 4. （ 2016黔南州）如图 4-39-11， AB是 O的直径，点 D 一 点，且 BDE= CBE， BD与 AE交于点 F. （ 1）求证： BC是 O的切线； （ 2）若 BD平分 ABE，求证： DE2=DF DB； （ 3）在（ 2）的条件下，延长 ED， BA交于 点 P，若 PA=AO， DE=2，求 PD的长 . （ 1）证明： AB是 O的直径， AEB=90 . EAB+ ABE=90 . EAB= BDE， BDE= CBE. CBE+ ABE= EAB+ ABE=90 ， 即 ABC=90 . AB BC. BC是 O的切线 . （ 2）证明： BD平分 ABE， EBD= DBA. 而 DBA= AED， AED= EBD. FDE= EDB， DFE DEB. DE2=DF DB. （ 3）如答图 4-39-11，连接 DO. OB=OD， DBA= ODB. 而 EBD= DBA， ODB= EBD. OD BE. POD PBE. PA=AO， PA=AO=BO. 解得 PD=4. 考点类型 4 三角形综合题 巩固训练 1. （ 2016梅州）如图 4-39-12，在 Rt ABC中， ACB=90 ， AC=5 cm， BAC=60 ，动点 M从点 B出发，在 BA边上以每秒 2 cm的速度向点 A匀速运动，同时动点 N从点 C出发，在 CB边上 以每秒 cm的速度向点 B匀速运动，设运动时 间为 t s（ 0 t5 ），连接 MN. （ 1）若 BM=BN，求 t的值； （ 2）若 MBN与 ABC相似，求 t的值； （ 3）当 t为何值时，四边形 ACNM的面积最小？ 并求出最小值 . 4-39-12 2. （ 2016成都）如图 4-39-13 ， ABC中， ABC=45 ， AH BC于点 H，点 D在 AH上，且 DH=CH，连接 BD. （ 1）求证： BD=AC； （ 2）将 BHD绕点 H旋转，得到 EHF（点 B， D分别与点 E， F 对应），连接 AE. 如图 4-39-13 ，当点 F落在 AC上时，（ F不 与 C重合），若 BC=4， tanC=3，求 AE的长 . 解：（ 1）在 Rt AHB中， ABC=45 ， AH=BH. 在 BHD和 AHC中， BHD AHC. BD=AC. （ 2）在 Rt AHC中， 设 CH=x，则 BH=AH=3x. BC=4， 3x+x=4. x=1. AH=3， CH=1. 由旋转可得 EHF= BHD= AHC=90 ， EH=AH=3， CH=DH=FH， EHA FHC. EAH= C. tan EAH=tanC=3. 如答图 4-39-13，过点 H作 HP AE于点 P. HP=3AP， AE=2AP. 在 Rt AHP中， AP2+HP2=AH2， AP2+（ 3AP） 2=9. 3. （ 2016威海）如图 4-39-14，在 ABC和 BCD中， BAC= BCD=90 ， AB=AC， CB=CD. 延长 CA至点 E，使 AE=AC；延长 CB至点 F，使 BF=BC. 连接 AD， AF， DF， EF，延长 DB交 EF于点 N. （ 1）求证： AD=AF； （ 2）求证： BD=EF； （ 3）试判断四边形 ABNE的形状，并说明理由 . （ 1）证明： AB=AC， BAC=90 ， ABC= ACB=45 . ABF=135 . BCD=90 ， ABF= ACD. CB=CD， CB=BF， BF=CD. 在 ABF和 ACD中， ABF ACD（ SAS） . AD=AF. （ 2）证明：由（ 1）知， ABF ACD， FAB= DAC. BAC=90 ， EAB= BAC=90 . EAF= BAD. 在 AEF和 ABD中， AEF ABD（ SAS） . BD=EF. （ 3）解：四边形 ABNE是正方形 .理由如下： CD=CB， BCD=90 ， CBD=45 .又 ABC=45 , ABD=90 . 由（ 2）知， EAB=90 ， AEF ABD， AEF= ABD=90 . 四边形 ABNE是矩形 . 又 AE=AB， 四边形 ABNE是正方形 . 4. （ 2016抚顺）如图 4-39-15，在 ABC中， BC AC，点 E在 BC 上， CE=CA，点 D在 AB上，连接 DE， ACB+ ADE=180 ，作 CH AB，垂足为点 H. （ 1）如图 2-5-15 ，当 ACB=90 时，连接 CD，过点 C作 CF CD交 BA的延长线于点 F. 求证： FA=DE； 请猜想三条线段 DE， AD， CH之间的数量关系，并证明； （ 2）如图 2-5-15 ，当 ACB=120 时，三条线段 DE， AD， CH 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论 . （ 1）证明： CF CD， FCD=90 . 又 ACB=90 ， FCA+ ACD= ACD+ DCE. FCA= DCE. ACB+ ADE=180 ， ADE= BDE=90 . FAC=90 + B， CED=90 + B， FAC= CED. 又 AC=CE， AFC EDC（ ASA） . FA=DE. 解： DE+AD=2CH. 证明： AFC EDC， CF=CD. CH AB， FH=HD. 在 Rt FCD中， CH是斜边 FD的中线， FD=2CH. AF+AD=2CH. DE+AD=2CH. （ 2）解： AD+DE= CH. 证明：如答图 4-39-14，作 FCD= ACB，交 BA延长线于点 F. FCA+ ACD= ACD+ DCB， FCA= DCB. ACB+ ADE=180 ， ADE=60 . EDB=120 . FAC=120 + B， CED=120 + B， FAC= CED. 又 AC=CE， FAC DEC（ ASA） . AF=DE， FC=CD. CH FD， FH=HD， FCH= HCD=60 . 在 Rt CHD中， tan60 = AD+DE=AD+AF=FD=2DH= CH， 即 AD+DE= CH. 考点类型 5 四边形综合题 巩固训练 1. （ 2016营口）已知：如图 4-39-16 ，将 D=60 的菱形 ABCD沿对角线 AC剪开，将 ADC沿射线 DC方向平移，得到 BCE，点 M为边 BC上一点（点 M不与点 B，点 C重合），将射线 AM绕点 A逆时针旋转 60 ，与 EB的延长线交于点 N，连接 MN. （ 1）求证： ANB= AMC；探究 AMN的形状； （ 2）如图 4-39-16 ，若菱形 ABCD变为正方形 ABCD，将射线 AM绕点 A逆时针旋转 45 ，原题其他条件不变，（ 1）中的 两个结论是否仍然成立？若成立，请写出结论并说明理由； 若不成立，请写出变化后的结论并证明 . 证明：（ 1） 四边形 ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD. D=60 ， ADC和 ABC都是等边三角形 . AB=AC， BAC=60 . NAM=60 ， NAB= CAM. 由 ADC沿射线 DC方向平移得到 BCE，可知 CBE=60 . ABC=60 ， ABN=60 . ABN= ACB=60 . ANB AMC（ ASA） . ANB= AMC. AMN是等边三角形 . 理由如下： 由（ 1）知 ANB AMC， AM=AN. NAM=60 ， AMN是等边三角形 . （ 2）结论 ANB= AMC成立 . 理由如下： 在正方形 ABCD中， BAC= DAC= BCA=45 ， NAM=45 ， NAB= MAC. 由平移，得 EBC= CAD=45 . ABC=90 ， ABN=180 -90 -45 =45 . ABN= ACM=45 . ANB AMC. ANB= AMC. 结论 AMN是等边三角形不成立， AMN是等腰直角三角形 . 证明： ANB AMC， NAM= BAC=45 ， NAM BAC. ANM= ABC=90 . 又 AN=AM， AMN是等腰直角三角形 . 2. （ 2016常德）如图 4-39-17，已知四边形 ABCD中， AB=AD， AB AD，连接 AC，过点 A作 AE AC，且使 AE=AC，连接 BE，过 点 A作 AH CD于点 H交 BE于点 F. （ 1）如图 2-5-17 ，当 E在 CD的延长线上时，求证： ABC ADE； BF=EF； （ 2）如图 2-5-17 ，当 E不在 CD的延长线上时， BF=EF还成立 吗？请证明你的结论 . （ 1）证明： AB AD， AE AC， BAD=90 ， CAE=90 . BAC= DAE. 在 ABC和 ADE中， ABC ADE（ SAS） . ABC ADE， ACB= AED. 在 Rt ACE中， ACE+ AEC=90 ， BCE=90 . AH CD， AE=AC， CH=HE. AHE= BCE=90 ， BC FH. （ 2）解：结论仍然成立 . 证明：如答图 4-39-15所示，过 E作 MN AH，分别交 BA， CD延 长线于点 M， N. CAE=90 ， BAD=90 ， 1+2=90 ， 1+ CAD=90 . 2= CAD. MN AH， 3= HAE. ACH+ CAH=90 ， CAH+ HAE=90 ， ACH= HAE. 3= ACH. 在 MAE和 DAC中， MAE DAC（ ASA） . AM=AD. AB=AD， AB=AM. AF ME， BF=EF. 3. （ 2016甘孜州）如图 4-39-18 ， AD为等腰直角 ABC的高， 点 A和点 C分别在正方形 DEFG的边 DG和 DE上，连接 BG， AE. （ 1）求证： BG=AE； （ 2）如图 4-39-18 ，将正方形 DEFG绕点 D旋转，当线段 EG经 过点 A时， 求证： BG GE； 设 DG与 AB交于点 M，若 AG AE=34 ，求 的值 . （ 1）证明： AD为等腰直角 ABC的高， AD=BD. 四边形 DEFG为正方形， GDE=90 ， DG=DE. 在 BDG和 ADE中， BDG ADE（ SAS） . BG=AE. （ 2）证明：如答图 4-39-16，连接 AD. 四边形 DEFG为正方形， DEG为等腰直角三角形 . DGE= DEG=45 . 由（ 1），得 BDG ADE， BGD= DEG=45 . DGE+ BGD=45 +45 =90 ，即 BGE=90 . BG GE. 4. （ 2016黔南州）如图 4-39-19，四边形 OABC是边长为 4的正 方形，点 P为 OA边上任意一点（与点 O， A不重合），连接 CP， 过点 P作 PM CP交 AB于点 D，且 PM=CP，过点 M作 MN AO，交 BO于 点 N，连接 ND， BM，设 OP=t. （ 1）求点 M的坐标（用含 t的代数式表示）； （ 2）试判断线段 MN的长度是否随点 P的位 置的变化而改变，并说明理由； （ 3）当 t为何值时，四边形 BNDM的面积 最小； （ 4）在 x轴正半轴上存在点 Q，使得 QMN是等腰三角形，请直 接写出不少于 4个符合条件的点 Q的坐标（用含 t的式子表示） . 解：（ 1）如答图 4-39-17所示，作 ME OA于点 E. MEP= POC=90 . PM CP， CPM=90 . OPC+ MPE=90 . 又 OPC+ PCO=90 ， MPE= PCO. PM=CP， MPE PCO（ AAS） . PE=CO=4 ， ME=PO=t. OE=4+t. 点 M的坐标为（ 4+t， t）（ 0t4） . （ 2）线段 MN长度不变 . 理由如下： OA=AB=4， 点 B（ 4， 4） . 直线 OB的解析式为 y=x. 点 N在直线 OB上， 点 N（ t， t） . MN OA， M（ 4+t， t）， MN=|（ 4+t） -t|=4，即 MN的长度不变 . （ 3）由（ 1）知， MPE= PCO， 又 DAP= POC=90 ， DAP POC. OP=t， OC=4， AP=4-t. MN OA， AB OA， MN BD. 当 t=2时，四边形 BNDM的面积最小，最小值为 6. （ 4）在 x轴正半轴上存在点 Q，使得 QMN是等腰三角形，此 时点 Q的坐标为： 考点类型 6 图形运动与变换型综合题 巩固训练 1. （ 2016广东）如图 4-39-20， BD是正方形 ABCD的对角线， BC=2，边 BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记 为 PQ，连接 PA， QD，并过点 Q作 QO BD，垂足为点 O，连接 OA， OP. （ 1）请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四 边形 ; （ 2）请判断 OA， OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （ 3）在平移变换过程中，设 y=S OPB， BP=x（ 0 x2 ），求 y与 x之间的函数关系式，并求出 y的最大值 . 解：（ 1）四边形 APQD为平行四边形 . （ 2） OA=OP， OA OP.理由如下： 四边形 ABCD是正方形， AB=BC=PQ， ABO= OBQ=45 . OQ BD， PQO=45 . ABO= OBQ= PQO=45 . OB=OQ. 在 AOB和 OPQ中， AB=PQ, AOB OPQ（ SAS） . OA=OP， AOB= OPQ. AOP= BOQ=90 . OA OP. （ 3）过点 O作 OE BC于点 E. 如答图 4-39-18，当点 P在点 B右侧时， 又 0 x2 ， 当 x=2时， y有最大值为 2； 如答图 4-39-19，当点 P在点 B左侧时， 2. （ 2015广东）如图 4-39-21，在同一平面上，两块斜边相 等的直角三角板 Rt ABC和 Rt ADC拼在一起，使斜边 AC完全 重合，且顶点 B， D分别在 AC的两旁， ABC= ADC=90 ， CAD=30 ， AB=BC=4 cm. （ 1）填空： AD=_（ cm）， DC=_（ cm） ; （ 2）点 M， N分别从 A点， C点同时以每秒 1 cm的速度等速出发， 且分别在 AD， CB上沿 A D， C B方向运动，求当 M， N点运动 了 x秒时，点 N到 AD的距离（用含 x的式子表示）； （ 3）在（ 2）的条件下，取 DC的中点 P，连接 MP， NP，设 PMN的面积为 y（ cm2），在整个运动过程中， PMN的面积 y 存在最大值，请求出 y的最大值 . 解：（ 2）过 点 N作 NE AD于点 E，作 NF DC，交 DC的延长线于 点 F，如答图 4-39-20所示， 则 NE=DF， ABC= ADC=90 ， AB=BC， CAD=30 ， ACB=45 ， ACD=60 . NCF=180 -45 -60 =75 ， FNC=15 . 3. 已知：如图 4-39-22 ，在 Rt ABC中， AB AC， AB=3 cm， BC=5 cm，将 ABC绕 AC中点旋转 180 得到 CDA.如图 4-39- 22 . 再将 CDA沿 AC的方向以 1 cm/s的速度平移得到 NDP； 同时，点 Q从点 C出发，沿 CB方向以 1 cm/s的速度运动，当 NDP停止平移时，点 Q也停止运动，设运动时间为 t（ s） （ 0 t 4） . 解答下列问题： （ 1）当 t为何值时， PQ AB？ （ 2）设 PQC的面积为 y（ cm2），求 y与 t之间的函数关系式； （ 3）是否存在某一时刻 t，使 S QDC S四边形 ABQP=14 ？若存在， 求出 t的值；若不存在，请说明理由； （ 4）是否存在某一时刻 t，使 PQ DQ？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 . 4-39-21 4. （ 2015潍坊）如图 4-39-23 ，点 O是正方形 ABCD两对角线 的交点，分别延长 OD到点 G， OC到点 E，使 OG=2OD， OE=2OC， 然后以 OG,OE为邻边作正方形 OEFG，连接 AG， DE. （ 1）求证： DE AG； （ 2）正方形 ABCD固定，将正方形 OEFG绕点 O逆时针旋转 角 （ 0 360 ）得到正方形 OE F G ，如图 2-5-23 . 在旋转过程中，当 OAG 是直角时，求 的度数； 若正方形 ABCD的边长为 1，在旋转过程中，求 AF 长的最大 值和此时 的度数，直接写出结果不必说明理由 . 解：（ 1）如答图 4-39-22，延长 ED交 AG于点 H. 点 O是正方形 ABCD两对角线的交点， OA=OD， OA OD. 在 AOG和 DOE中， AOG DOE（ SAS） . AGO= DEO. AGO+ GAO=90 ， GAO+ DEO=90 . AHE=90 ，即 DE AG. （ 2）在旋转过程中， OAG 成为直角有两种情况： . 由 0 增大到 90 过程中，当 OAG=90 时， AG O=30 . OA OD， OA AG ， OD AG. DOG= AG O=30 ， 即 =30 . . 由 90 增大到 180 过程中，当 OAG=90 时，如答 图 4-39-23, 同理可求得 BOG=30 ， =180 -30 =150 . 综上所述，当 OAG=90 时， =30 或 150 . 当旋转到 A,O,F 在一条直线上时， AF 的长最大，最大值 为 ,此时 为 315 .
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