中考数学 考点聚焦 第6章 图形的性质（二）第23讲 圆的基本性质课件1.ppt

第六章 图形的性质 (二 ) 第 23讲 圆的基本性质 1 主要概念 (1)圆：平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆 _叫做圆心 ， 叫做半径 ， 以 O为圆心的圆记作 O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做 _， 连接圆上任意两点的线 段叫做 _， 经过圆心的弦叫做直径 ， 直径是最长的 _ (3)圆心角：顶点在 ， 角的两边与圆相交的角叫做圆心角 (4)圆周角：顶点在 ， 角的两边与圆相交的角叫做圆周角 (5)等弧：在 中 ， 能够完全 的弧叫做等弧 定点 定长 定点 定长 弧 弦 弦 圆心 圆上 同圆或等圆 重合 2 圆的有关性质 (1)圆的对称性： 圆是 图形 ， 其对称轴是 圆是 图形 ， 对称中心是 旋转不变性 ， 即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 ， 都能与原来的图 形重合 (2)垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径 ， 并且 垂径定理的推论： 平分弦 (不是直径 )的直径 ， 并且 ； 弦的垂直平分线 ， 并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所对的另一条 弧 轴对称 过圆心的任意一条直线 中心对称 圆心 平分弦 平分弦所对的两条弧 垂直于弦 平分弦所对的两条弧 经过圆心 (3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： 弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中 ， 相等的圆心角所对的弧 _， 所对的弦 _ 推论：在同圆或等圆中 ， 如果两个 、 、 、 中有一组量相等 ， 那么它们所对应的其余各 组量都分别相等 (4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 _ 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧 半圆 (或直径 )所对的圆周角是 ； 90 的圆周角所对的弦是 (5)点和圆的位置关系 (设 d为点 P到圆心的距离 ， r为圆的半径 )： 点 P在圆上 ； 点 P在圆内 ； 点 P在圆外 相等 相等 圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 一半 相等 直角 直径 d r dr (6)过三点的圆： 经过不在同一直线上的三点 ， 有且只有一个圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；三角形的外心是三边 的交点 ， 这个三角形叫做 这个圆的内接三角形锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的 外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部 (7)圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角 垂直平分线 互补 常见的辅助线 (1)有关弦的问题 ， 常作其弦心距 ， 构造以半径、弦的一半、弦心距为 边的直角三角形 ， 利用勾股定理知识求解； (2)有关直径的问题 ， 常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明 或计算 (3)有等弧或证弧相等时 ， 常连等弧所对的弦或作等 (同 )弧所对的圆周 (心 )角 1 ( 2016 黄石 ) 如图所示 ， O 的半径为 13 ， 弦 AB 的长度是 24 ， ON AB ， 垂足为 N ， 则 ON ( ) A 5 B 7 C 9 D 11 2 ( 2016 兰州 ) 如图 ， 在 O 中 ， 若点 C 是 AB 的中点 ， A 50 ， 则 BOC ( ) A 40 B 45 C 50 D 60 A A 3 ( 2016 杭州 ) 如图 ， 已知 AC 是 O 的直径 ， 点 B 在圆周上 ( 不与 A 、 C 重合 ) ， 点 D 在 AC 的延长线上 ， 连接 BD 交 O 于点 E ， 若 AOB 3 ADB ， 则 ( ) A DE EB B . 2 DE EB C . 3 DE DO D DE OB 4 ( 2016 兰州 ) 如图 ， 四边形 ABC D 内接于 O ， 若四边形 AB CO 是平行 四边形 ， 则 ADC 的大小为 ( ) A 45 B 50 C 60 D 75 D C 5 (2016宜昌 )在公园的 O处附近有 E， F， G， H四棵树 ， 位置如图所 示 (图中小正方形的边长均相等 )， 现计划修建一座以 O为圆心 ， OA为半 径的圆形水池 ， 要求池中不留树木 ， 则 E， F， G， H四棵树中需要被移 除的为 ( ) A E， F， G B F， G， H C G， H， E D H， E， F A 【例 1 】 ( 2016 安顺 ) 如图 ， AB 是 O 的直径 ， 弦 CD AB 于点 E ， 若 AB 8 ， CD 6 ， 则 BE 【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理 ， 根据题意作出辅助线 ， 构造出直角三角形是解答此题的关键 4 7 对应训练 1 如图 ， O是 ABC的外接圆 ， 弦 BD交 AC于点 E， 连接 CD， 且 AE DE， BC CE. (1)求 ACB的度数； (2)过点 O作 OF AC于点 F， 延长 FO交 BE于点 G， DE 3， EG 2， 求 AB 的长 解： (1) 在 AEB 和 DEC 中 ， A D ， AE ED ， AEB DEC ， AEB DEC ( ASA ) ， EB EC ， 又 BC CE ， BE CE BC ， EBC 为等边三角形 ， ACB 60 (2) OF AC ， A F CF ， EBC 为等边三角形 ， GEF 60 ， EGF 30 ， EG 2 ， EF 1 ， 又 AE ED 3 ， CF AF 4 ， AC 8 ， EC 5 ， BC 5 ， 作 BM AC 于点 M ， BCM 60 ， MBC 30 ， CM 5 2 ， BM BC 2 CM 2 5 3 2 ， AM AC CM 11 2 ， AB AM 2 BM 2 7 【例 2 】 ( 2016 舟山 ) 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开 ， 图中的虚线表示折痕 ， 则 BC 的度数是 ( ) A 120 B 135 C 150 D 165 【点评】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及图形的翻折变换 ， 正确得出 BO D 的度数是解题关键 C 对应训练 2 (导学号： 01262213)(2015台州 )如图 ， 四边形 ABCD内接于 O， 点 E在对角线 AC上 ， EC BC DC. (1)若 CBD 39 ， 求 BAD的度数； (2)求证： 1 2. (1)解： BC DC， CBD CDB 39 ， BAC CDB 39 ， CAD CBD 39 ， BAD BAC CAD 39 39 78 (2)证明： EC BC， CEB CBE， 而 CEB 2 BAE， CBE 1 CBD， 2 BAE 1 CBD， BAE CBD， 1 2. 【 例 3】 (2016南宁 )如图 ， 点 A， B， C， P在 O上 ， CD OA， CE OB， 垂足分别为 D， E， DCE 40 ， 则 P的度数为 ( ) A 140 B 70 C 60 D 40 【 点评 】 当图中出现同弧或等弧时 ， 常常考虑到弧所对的圆周角或圆 心角 ， 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ， 通过相等的弧 把角联系起来 B 对应训练 3 ( 导学号： 01 262214 )( 2016 株洲 ) 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径 ， C 是圆上一点 ， D 是 BC 延长线上一点 ， 过点 D 的直线交 AC 于 E 点 ， 且 AEF 为等边三角形 ( 1 ) 求证： DFB 是等腰三角形； ( 2 ) 若 DA 7 AF ， 求证： CF AB. 解： (1) AB是 O直径 ， ACB 90 ， AEF为等边三角形 ， CAB EFA 60 ， B 30 ， EFA B FDB， B FDB 30 ， DFB是等腰三角形 (2) 过点 A 作 AM DF 于点 M 连接 CF ， 设 AF 2a ， AEF 是等边三角形 ， FM EM a ， AM 3 a ， 在 Rt DAM 中 ， AD 7 AF 2 7 a ， AM 3 a ， DM 5a ， DF BF 6a ， AB AF BF 8a ， 在 Rt ABC 中 ， B 30 ， ACB 90 ， AC 4a ， AE EF AF CE 2a ， ECF EFC ， AEF ECF EFC 60 ， CFE 30 ， AFC AFE EFC 60 30 90 ， CF AB. 【例 4 】 ( 2016 连云港 ) 如图 ， 在网格中 ( 每个小正方形的边长均为 1 个 单位 ) 选取 9 个格点 ( 格线的交点称为格点 ) 如 果以 A 为圆心 ， r 为半径画圆 ， 选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内 ， 则 r 的取值范围为 ( ) A 2 2 r 17 B . 17 r 3 2 C . 17 r 5 D 5 r 29 点拨：如图 ， AD 2 2 ， AE AF 17 ， AB 3 2 ， AB AE AD ， 17 r 3 2 时 ， 以 A 为圆心 ， r 为半径画圆 ， 选取的格点中除点 A 外恰 好有 3 个在圆内 ， 故选 B 【点评】 本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理等知识 ， 解题的关 键是正确画出图形 ， 理解题意 B 对应训练 4 在数轴上 ， 点 A所表示的实数为 3， 点 B所表示的实数为 a， A的半 径为 2.下列说法中不正确的是 ( ) A 当 a 5时 ， 点 B在 A内 B 当 1 a 5时 ， 点 B在 A内 C 当 a 1时 ， 点 B在 A外 D 当 a 5时 ， 点 B在 A外 A 试题 ABC 内接于半径为 r 的 O ， 且 BC AB AC ， OD BC 于 D ， 若 OD 1 2 r ， 求 A 的度数 错解 解：当圆心 O 在 ABC 内时 ， 如图 ， 连接 OB ， OC . OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， DOC 60 . 同理 ， BOD 60 ， BOC 120 ， A 60 . 当圆心 O 在 ABC 外时 ， 如图 ， 同上 ， 可求得 BOC 120 ， A BOC 1 20 . 综上 ， A 的度数为 60 或 1 20 . 剖析 上述解法看上去好像思考周全 ， 考虑了两种情况 ， 其实又错了 ， 因为 BC AB AC， BC是不等边 ABC的最大边 ， 所以 A 60 不正 确 ， 产生错误的根源是图画得不准确 ， 忽视了圆心的位置 ， 实际上本题 的圆心应在 ABC的外部 正解 OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， DOC 60 . 同 理 ， BOD 60 ， BOC 120 ， BAC 度数为 120 ， BmC 度数为 2 40 ， A 120