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第六章 图形的性质 (二 ) 第 26讲 几何作图 1 尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2 基本作图 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线 3 利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形 4 与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆 (即三角形的外接圆 )； (2)作三角形的内切圆； (3)作圆的内接正方形和正六边形 5 有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 1 两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图 ， 又不属于已知条件为边角边、角边 角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题 ， 可以分析图形中 是否有属于上述情况的三角形 ， 先把它作出来 ， 再发展成整个图形 ， 这 种思考方法 ， 称为三角形奠基法；也可以按求作图形的要求 ， 一步一步 地直接画出图形 ， 这时 ， 关键的点常常由两条直线 (或圆弧 )相交来确定 ， 称为交会法 事实上 ， 往往把三角形奠基法和交会法结合使用 2 三点注意 (1)一般的几何作图 ， 初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤 ， 完成作图时 ， 需要注意作图痕迹的保留 ， 作法中要注意作图语句的规 范和最后的作图结论 (2)根据已知条件作几何图形时 ， 可采用逆向思维 ， 假设已作出图形 ， 再寻找图形的性质 ， 然后作图或设计方案 (3)实际问题要理解题意 ， 将实际问题转化为数学问题 3 六个步骤 尺规作图的基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角 ， 画出图形； (2)求作：求作什么图形 ， 它符合什么条件 ， 一一具体化； (3)作法：应用 “ 五种基本作图 ” ， 叙述时不需重述基本作图的过程 ， 但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性 ， 把图作出后 ， 必须再根据已知 的定义、公理、定理等 ， 结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件 ； (5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况 下 ， 问题有一个解、多个解或者没有解； (6)结论：对所作图形下结论 1 (2014安顺 )用直尺和圆规作一个角等于已知角 ， 如图 ， 能得出 AOB AOB的依据是 ( ) A SAS B SSS C ASA D AAS 2 (2016曲靖 )下列尺规作图 ， 能判断 AD是 ABC边上的高是 ( ) B B 3 ( 2015 嘉兴 ) 数学活动课上 ， 四位同学围绕作 图问题： “ 如图 ， 已知直 线 l 和 l 外一点 P ， 用直尺和圆规作直线 PQ ， 使 PQ l 于点 Q. ” 分别作出了 下列四个图形 其中作法错误的是 ( ) , A ) , B ) , C ) , D ) A 4 ( 2015 深圳 ) 如图 ， 已知 ABC ， AB BC ， 用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P ， 使得 PA PC BC ， 则下列选项正确的是 ( ) , A ) , B ) , C ) , D ) D 5 (2016丽水 )用直尺和圆规作 Rt ABC斜边 AB上的高线 CD， 以下四个 作图中 ， 作法错误的是 ( ) D 【 例 1】 (2015杭州 )“ 综合与实践 ” 学习活动准备制作一组三角形 ， 记这些三角形的三边分别为 a， b， c， 并且这些三角形三边的长度为大 于 1且小于 5的整数个单位长度 (1)用记号 (a， b， c)(abc)表示一个满足条件的三角形 ， 如 (2， 3， 3) 表示边长分别为 2， 3， 3个单位长度的一个三角形请列举出所有满足条 件的三角形 (2)用直尺和圆规作出三边满足 a b c的三角形 (用给定的单位长度 ， 不写作法 ， 保留作图痕迹 ) 解： (1)共 9种： (2， 2， 2)， (2， 2， 3)， (2， 3， 3)， (2， 3， 4)， (2， 4， 4) ， (3， 3， 3)， (3， 3， 4)， (3， 4， 4)， (4， 4， 4) (2)由 (1)可知 ， 只有 (2， 3， 4)， 即 a 2， b 3， c 4时满足 a b c.如 图的 ABC即为满足条件的三角形 【 点评 】 (1)作三角形包括：已知三角形的两边及其夹角 ， 求作三 角形；已知三角形的两角及其夹边 ， 求作三角形；已知三角形的三 边 ， 求作三角形； (2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时 ， 一 般先作出直角 ， 然后根据条件作出所求的图形 对应训练 1 (2015南京 )如图 ， 在边长为 4的正方形 ABCD中 ， 请画出以 A为一 个顶点 ， 另外两个顶点在正方形 ABCD的边上 ， 且含边长为 3的所有大小 不同的等腰三角形 (要求：只要画出示意图 ， 并在所画等腰三角形长为 3的边上标注数字 3) 解：满足条件的所有图形如图所示： 【 例 2】 两个城镇 A， B与两条公路 ME， MF位置如图所示 ， 其中 ME 是东西方向的公路现电信部门需在 C处修建一座信号发射塔 ， 要求发射 塔到两个城镇 A， B的距离必须相等 ， 到两条公路 ME， MF的距离也必须 相等 ， 且在 FME的内部 (1)那么点 C应选在何处？请在图中 ， 用尺规作图找出符合条件的点 C.( 不写已知、求作、作法 ， 只保留作图痕迹 ) (2)设 AB的垂直平分线交 ME于点 N， 且 MN 2( 1) km， 在 M处测得点 C位于点 M的北偏东 60 方向 ， 在 N处测得点 C位于点 N的北偏西 45 方向 ， 求点 C到公路 ME的距离 解： (1) 如图 (2) 作 CD MN 于点 D ， 由题意得： CMN 30 ， CND 45 ， 在 Rt CMD 中 ， CD MD tan CMN ， MD CD 3 3 3 CD ； 在 Rt CND 中 ， CD DN tan CNM ， ND CD 1 CD ； MN 2( 3 1) km ， MN MD DN CD 3 CD 2( 3 1) km ， 解得： CD 2 km . 点 C 到公路 ME 的距离为 2 km . 对应训练 2 (2015济宁 )如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， DAC是 ABC的一个 外角 实验与操作： 根据要求进行尺规作图 ， 并在图中标明相应字母 (保留作图痕迹 ， 不写 作法 ) (1)作 DAC的平分线 AM； (2)作线段 AC的垂直平分线 ， 与 AM交于点 F， 与 BC边交于点 E， 连接 AE ， CF. 猜想并证明： 判断四边形 AECF的形状并加以证明 解：如图所示 ， 四边形 AE CF 的形状为菱形 理由如下： AB AC ， ABC ACB ， AM 平分 DAC ， DAM CAM ， 而 DAC ABC ACB ， CAM ACB ， EF 垂直平分 AC ， OA OC ， AOF COE ， 在 AOF 和 COE 中 ， F AO ECO ， OA OC ， AOF COE ， AOF COE ( ASA ), OF OE ， 即 AC 和 EF 互相垂直平分 ， 四边形 AE CF 的形状为菱形 【例 3 】 ( 2015 孝感 ) 如图 ， 一条公路的转弯处是一段圆弧 ( AB ) (1) 用直尺和圆规作出 AB 所在圆的圆心 O ； ( 要求保留作图痕迹 ， 不写作法 ) (2) 若 AB 的中点 C 到弦 AB 的距离为 2 0 m ， AB 8 0 m ， 求 AB 所在圆的半径 解： (1)如图 ， 点 O为所求 【点评】 根据 “ 不在同一直线上的三点确定一个圆 ” ， 在 AB 上另找 一点 C ， 分别画弦 AC ， BC 的垂直平分线 ， 交点即为圆心 O. (2) 连接 OA ， OC ， OC 交 AB 于 D ， 如图 ， C 为 AB 的中点 ， OC AB ， AD BD 1 2 AB 40 ， 设 O 的半径为 r ， 则 OA r ， OD OC CD r 20 ， 在 Rt OAD 中 ， OA 2 OD 2 AD 2 ， r 2 (r 20) 2 40 2 ， 解得 r 50 ， 即 AB 所在圆的半径是 5 0 m . 对应训练 3 (2016青岛 )已知：线段 a及 ACB.求作： O， 使 O在 ACB 的内部 ， CO a， 且 O与 ACB的两边分别相切 解：作 ACB的平分线 CD 在 CD上截取 CO a 作 OE CA于 E， 以 O为圆心 ， OE长为半径作圆 如图所示： O即为所求 试题 尺规作图 ， 已知顶角和底边上的高 ， 求作等腰三角形 已知： ， 线段 a. 求作： ABC， 使 AB AC， BAC ， AD BC于 D， 且 AD a. 错解 如图 ， (1)作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a； (3)过 D画直线 MN交 AE， AF分别于 C， B， ABC为所求作的等腰三角 形 剖析 上述画法考虑 AD平分 BAC， 等腰三角形顶角的平分线与底边 上的高重合 ， 但是画法 (3)没有注意到要使 AD BC， 也难以使 AB AC. 正解 如图 ， (1)作 EAF (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a (3)过 D作 MN AG， MN与 AE， AF分别交于 B， C.则 ABC即 为所求作的等腰三角形
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