中考数学 考点聚焦 第5章 图形的性质（一）第22讲 矩形、菱形与正方形课件1.ppt

第五章 图形的性质 (一 ) 第 22讲 矩形、菱形与正方形 1 一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时 ， 要明确是在 “ 四边形 ” 还是在 “ 平行四 边形 ” 的基础之上来求证的要熟悉各判定定理的联系和区别 ， 解题时要 认真审题 ， 通过对已知条件的分析、综合 ， 最后确定用哪一种判定方法 2 三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上 ， 增加 “ 一个角是直角 ” 或 “ 对角线相等 ” 的条 件可为矩形；若在四边形的基础上 ， 则需有三个角是直角 (第四个角必是直 角 )则可判定为矩形 (2)平行四边形与菱形的联系： 在平行四边形的基础上 ， 增加 “ 一组邻边相等 ” 或 “ 对角线互相垂直 ” 的条件可为菱形；若在四边形的基础上 ， 需有四边相等则可判定为菱形 (3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形 ， 其证明思路有两个：先 证四边形是菱形 ， 再证明它有一个角是直角或对角线相等 (即矩形 )；或先 证四边形是矩形 ， 再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直 (即菱形 ) 1 (2016莆田 )菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A 对边相等 B对角相等 C 对角线互相平分 D对角线互相垂直 2 (2016雅安 )如图 ， 四边形 ABCD的四边相等 ， 且面积为 120 cm2， 对角线 AC 24 cm， 则四边形 ABCD的周长为 ( ) A 52 cm B 40 cm C 39 cm D 26 cm D A 3 (2016绥化 )如图 ， 矩形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O， CE BD， DE AC， 若 AC 4， 则四边形 OCED的周长为 ( ) A 4 B 8 C 10 D 12 4 (2016海南 )如图 ， 矩形 ABCD的顶点 A， C分别在直线 a， b上 ， 且 a b， 1 60 ， 则 2的度数为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 B C 5 (2016毕节 )如图 ， 正方形 ABCD的边长为 9， 将正方形折叠 ， 使顶 点 D落在 BC边上的点 E处 ， 折痕为 GH.若 BE EC 2 1， 则线段 CH的长 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 【 例 1】 (2016台州 )如图 ， 点 P在矩形 ABCD的对角线 AC上 ， 且不与 点 A， C重合 ， 过点 P分别作边 AB， AD的平行线 ， 交两组对边于点 E， F 和 G， H. (1)求证： PHC CFP； (2)证明四边形 PEDH和四边形 PFBG都是矩形 ， 并直接写出它们面积之 间的关系 证明： ( 1 ) 四边形 AB CD 为矩形 ， AB CD ， AD BC. PF AB ， PF CD ， CPF PCH . PH AD ， PH BC ， PCF CPH .在 PHC 和 CFP 中 ， CPF PCH ， PC CP ， PCF CPH ， PHC CFP ( ASA ) (2) 四边形 ABCD为矩形 ， D B 90 .又 EF AB CD， GH AD BC， 四边形 PEDH和四边形 PFBG都是矩形 EF AB， CPF CAB.在 Rt AGP中 ， AGP 90 ， PG AGtan CAB. 在 Rt CFP中 ， CFP 90 ， CF PFtan CPF.S矩形 DEPH DEEP CFEP PFEPtan CPF； S矩形 PGBF PGPF AGPFtan CAB EPPFtan CAB. tan CPF tan CAB， S矩形 DEPH S矩形 PGBF. 【 点评 】 本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以 及平行线的性质 ， 解题的关键是： (1)通过平行找出相等的角； (2)利用矩 形的判定定理来证明四边形为矩形 对应训练 1 (导学号： 01262210)(2016扬州 )如图 ， AC为矩形 ABCD的对角线 ， 将边 AB沿 AE折叠 ， 使点 B落在 AC上的点 M处 ， 将边 CD沿 CF折叠 ， 使 点 D落在 AC上的点 N处 (1)求证：四边形 AECF是平行四边形； (2)若 AB 6， AC 10， 求四边形 AECF的面积 ( 1 ) 证明： 折叠 ， AM AB ， CN CD ， FNC D 90 ， AM E B 90 ， ANF 90 ， CME 90 ， 四边形 AB CD 为矩形 ， AB CD ， AD BC ， AM CN ， AM MN CN MN ， 即 AN CM ， 在 ANF 和 CME 中 ， F AN ECM ， AN CM ， ANF CME ， ANF CME ( ASA ) ， AF CE ， 又 AF CE ， 四边形 AE CF 是平行四边形 ( 2 ) 解： AB 6 ， AC 10 ， BC 8 ， 设 CE x ， 则 EM 8 x ， CM 10 6 4 ， 在 Rt CEM 中 ， ( 8 x ) 2 4 2 x 2 ， 解得： x 5 ， 四边形 AE CF 的面积的面积为： EC AB 5 6 30. 【 例 2】 (2016聊城 )如图 ， 在 Rt ABC中 ， B 90 ， 点 E是 AC的 中点 ， AC 2AB， BAC的平分线 AD交 BC于点 D， 作 AF BC， 连接 DE 并延长交 AF于点 F， 连接 FC. 求证：四边形 ADCF是菱形 证明： AF CD ， AFE CDE ， 在 AFE 和 CD E 中 ， AFE CDE ， AEF CED ， AE CE ， AEF CED ( AAS ) ， AF CD ， AF CD ， 四 边形 AD CF 是平行四边形 ， B 90 ， AC 2AB ， ACB 30 ， CAB 60 ， AD 平分 CAB ， DAC DAB 30 ACD ， DA DC ， 四边形 ADC F 是菱形 对应训练 2 (导学号： 01262211)(2016滨州 )如图 ， BD是 ABC的角平分线 ， 它的垂直平分线分别交 AB， BD， BC于点 E， F， G， 连接 ED， DG. (1)请判断四边形 EBGD的形状 ， 并说明理由； (2)若 ABC 30 ， C 45 ， ED 2， 点 H是 BD上的一个动点 ， 求 HG HC的最小值 解： ( 1 ) 四边形 EBGD 是菱形 理由： EG 垂直平分 BD ， EB ED ， GB GD ， EBD EDB ， EBD DBC ， EDF GBF ， 在 EFD 和 GFB 中 ， EDF GBF ， DF BF ， EFD GFB ， EFD GFB ( ASA ) ， ED BG ， BE ED DG GB ， 四边形 EBG D 是菱形 (2) 作 EM BC 于 M ， DN BC 于 N ， 连接 EC 交 BD 于点 H ， 此时 HG HC 最小 ， 在 Rt EBM 中 ， EMB 90 ， EBM 30 ， EB ED 2 10 ， EM 1 2 BE 10 ， DE BC ， EM BC ， DN BC ， EM DN ， EM DN 10 ， MN DE 2 10 ， 在 Rt DNC 中 ， DNC 90 ， DCN 45 ， NDC NCD 45 ， DN NC 10 ， MC 3 10 . 在 R t EMC 中 ， EMC 90 ， EM 10 ， MC 3 10 ， EC EM 2 MC 2 （ 10 ） 2 （ 3 10 ） 2 10. HG HC EH HC EC ， HG HC 的最小值为 10. 【 例 3】 (2016贵阳 )如图 ， 点 E是正方形 ABCD外一点 ， 点 F是线段 AE上一点 ， EBF是等腰直角三角形 ， 其中 EBF 90 ， 连接 CE， CF. (1)求证： ABF CBE； (2)判断 CEF的形状 ， 并说明理由 ( 1 ) 证明： 四边形 AB CD 是正方形 ， AB CB ， ABC 90 ， EBF 是等腰直角三角形 ， 其中 EBF 90 ， BE BF ， A BC CBF EBF CBF ， ABF CBE . 在 ABF 和 CBE 中 ， AB CB ， ABF CBE ， BF BE ， ABF CBE ( SAS ) (2)解： CEF是直角三角形理由如下： EBF是等腰直角三角形 ， BFE FEB 45 ， AFB 180 BFE 135 ， 又 ABF CBE， CEB AFB 135 ， CEF CEB FEB 135 45 90 ， CEF是直角三角形 【 点评 】 本题考查了正方形的性质 ， (1)根据判定定理 SAS证明 ABF CBE； (2)通过角的计算得出 CEF 90 .解决该题型题目时 ， 通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边 ， 再通过角的计算找出 相等的角 ， 以此来证明两三角形全等是关键 对应训练 3 (导学号： 01262212)(2016杭州 )如图 ， 已知四边形 ABCD和四边形 DEFG为正方形 ， 点 E在线段 DE上 ， 点 A， D， G在同一直线上 ， 且 AD 3 ， DE 1， 连接 AC， CG， AE， 并延长 AE交 CG于点 H. (1)求 sin EAC的值 (2)求线段 AH的长 解： (1) 作 EM AC 于 M. 四边形 ABC D 是正方形 ， ADC 90 ， AD DC 3 ， DCA 4 5 ， 在 Rt ADE 中 ， ADE 90 ， AD 3 ， DE 1 ， AE AD 2 DE 2 10 ， 在 Rt EMC 中 ， EMC 90 ， ECM 45 ， EC 2 ， EM CM 2 ， 在 Rt AEM 中 ， sin EAM EM AE 2 10 5 5 ， sin EAC 5 5 (2) 在 GDC 和 EDA 中 ， DG DE ， GDC EDA ， DC DA ， GDC EDA ( S AS ) ， GCD EAD ， GC AE 10 ， EHC EDA 90 ， AH GC ， S AGC 1 2 AG DC 1 2 GC AH ， 1 2 4 3 1 2 10 AH ， AH 6 5 10 . 试题 在 ABC的两边 AB， AC上向形外作正方形 ABEF， ACGH， 过点 A作 BC的垂线分别交 BC于点 D， 交 FH于点 M， 求证： FM MH. 错解 证明：如图 ， 四边形 ABEF与四边形 ACGH都是正方形 ， AF AB， AH AC.又 FAH BAC， AFH ABC， 5 2. 3 1 90 ， 3 2 90 ， 1 2， 1 5. 1 4， 4 5. AM FM.同理 ， AM MH， 故 FM MH. 剖析 上述解法错在将 BAC画成了直角 (题中没有这个条件 )， 从而导 致 FAH， BAC和 1， 4分别成为对顶角 ， 不认真画图 ， 匆匆忙忙进 行推理 ， 就很容易犯错误 正解 证明：分别过 F， H作 FK MD， HL MD， 垂足为 K， L. 四边 形 ACGH是正方形 ， AC AH， CAH 90 ， 1 2 90 ， AD BC， 2 3 90 ， 1 3.又 HLA ADC 90 ， AHL CAD， HL AD.同理： AFK BAD， FK AD， FK HL.又 FMK HML， FKM HLM 90 ， FMK HML， FM MH.