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第三章 函 数 第一节 函数及其图象 考点精讲 函数及其图象 平面直角坐标系中点的坐标特征 函数及其图象 分析判断函数图象的突破点 函数自变量的取值范围及函数值 平面直角坐标系 中点的坐标特征 坐标系中各象限点的坐标特征 坐标轴上点的坐标特征 各象限角平分线上点的坐标特征 对称点的坐标特征 点平移的坐标特征 点到坐标轴及原点的距离 温馨提示 ： 坐标轴上的点不属于任何象限 + 坐 标 系 中 各 象 限 点 的 坐 标 特 征 坐标轴上点 的坐标特征 点 P(x,y)在 x 轴上 y=0 点 P(x,y)在 y 轴上 _=0 原点的坐标为 _ x (0,0) 各象限 角平分 线上点 的坐标 特征 点 P（ x, y）在第一、三象限 角平分线上 x=y 点 P（ x, y）在第二、四象限 角平分线上 _ 口诀 ：一、 三横纵都相 等 ,二、四横 纵却相反 x =-y 对 称 点 的 坐 标 特 征 点 P (a, b)关于 x轴对称的点的 坐标为 (a,-b) 点 P (a, b)关于 y轴对称的点的 坐标为 _ 点 P (a, b)关于原点对称的点的 坐标为 _ 口诀 :关于谁对 称谁不变 ,另一 个变号 ,关于原 点对称都变号 (-a, -b) (-a, b) 点 P(a,b)关于直线 y=x对称的点的坐标为 (b,a) 点 P(a,b)关于直线 y= -x对称的点的坐标为 _ (-b,-a) 点 平 移 的 坐 标 特 征 x-a y-b 口诀 ：右加左减，上加下减 点到坐标 轴及原点 的距离 点 P(a,b)到 x轴的距离为 |b|； 点 P(a,b)到 y轴的距离为 _； 点 P(a,b)到原点的距离为 _ |a| 22ab 11 12 函 数 及 其 图 象 表示方法： 1.解析式法； 2. _； 3.图象法 函数图象的概念：一般地 ,对于一个函数 ,如果把自变 量与函数值的每个对应值分别作为 点的横、纵坐标，那么坐标平面内 由这些点组成的图形，就是这个函 数的图象 图象的画法： 1.列表； 2.描点； 3. _ 连线 列表法 13 14 分析判 断函数 图象的 突破点 明确“两轴”所表示的意义 明确图象上的点所表示的意义 弄清图象上的转折点 ,最高（低）点、交点所 表示的意义 弄清上升线、下降线与 x轴平行线所表示的意义 函数自变量 的取值范围 及函数值 自变量取值范围 函数值： y是 x的函数，如果当 x=a时 y=b， 那么 b叫做当自变量的值为 a时的 函数值 自变量取值范围 函数表达式的形式 自变量的取值范围 分式 二次根式 分式 +二次根式 使分母不为 0且被开方数非负的实数 使分母不为 0的实数 15 16 使被开方数大于或等于 0的实数 重难点突破 分析判断函数图象（难点） 例 （ 2016甘肃 ）如图 , ABC是等腰直角三角形 , A=90 , BC=4,点 P是 ABC边上一动点，沿 B A C的路径移动 .过 点 P作 PD BC于点 D,设 BD=x, BDP的面积为 y,则下列能大 致反映 y与 x函数关系的图象是（ ） 【 思维教练 】 要判断 BDP的面积 y与 BD=x函数关系 的图象 ,由题知点 P沿 B A C运动时 ,A点是转折点 ,需分： 点 P在 BA上运动 , 点 P在 AC上运动 ,两种情况讨论 ,由 于 PD BC,故以 BD为底 ,PD为高 ,利用三角形面积公式分 别求出 y与 x的函数关系式 ,再判断函数的图象即可求解 . 【 解析 】 ABC是等腰直角三角形 , A=90 , B= C=45 . 当 0 x2时 ,点 P在 AB上运动 , BDP是 等腰 直角三角形 , PD=BD=x, y= x2 (0 x2),其图象是抛物 线的一部分 ; 当 2 x4时 ,点 P在 AC上运动 , CDP是等腰 直角三角形， PD=CD=4-x， y= BDPD= x（ 4-x） = - x2+2x（ 2 x4） ,其图象也是抛物线的一部分 .综上 所述 ,两段图象均是抛物线的一部分 ,因此选项 B能大致反映 y与 x之间的函数关系 . 1 2 【 答案 】 B 1 2 1 21 2 满 分 技 法 以几何图形为背景 ,判断函数图象的题目 ,一般分为两种： 一种不含动点 ;一种含动点 .解题思路有两种情形： 1.需要列函数关系式 ,往往根据题干中给出的时间为 t （或线段长为 x） ,找因变量与 t（或 x）之间存在的函数 关系 ,用含 t（或 x）的式子表示 ,再找相对应的函数图象 , 若含有动点 ,先找出转折点 ,首先分清整个运动过程分为 几段 ,关注运动过程中的特殊位置（即转折点） ,要注意 是否需要分类讨论自变量的取值范围； 2.不需要列函数关系式 ,直接根据几何量的变化趋势判断 函数图象 ,根据题目中自变量与因变量对应的几何量及 动点运动轨迹 ,先确定转折点 ,然后判断每个转折点前后 区间内相关量的增减性，最后判断函数图象 . 【 拓展 】 如图，点 P是边长为 1的正方形 ABCD对角线 AC 上一动点（点 P与 A、 C不重合），点 E在线段 BC上，且 PE=PB.设 AP=x， PBE的面积为 y.则能够正确反映 y与 x 之间的函数关系的图象是（ ） 【 解析 】 如解图 ,过点 P作 PF BC于点 F, PE=PB, BF=FE , 正方形 ABCD的边长是 1， AC= , AP x, PC ， PF FC , BF FE 1-FC ， S PBE = BEPF ,即 （ 0 x ）， 选项 A能够正确反映 y与 x之间的函数关系 . 221 1 2 2 x 2 2 2 x 22( 2 ) = 1xx 1 2 22( 1 ) = 22x - x 212 22xx 【 答案 】 A 拓展题解图 212 22y x x
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