中考数学 第23讲 圆的基本性质课件1.ppt

1 主要概念 (1) 圆：平面上到 _ _ 的距离等于 _ _ _ 的所有点组成的图形叫做 圆 _ _ 叫做圆心， _ 叫做半径，以 O 为圆心的圆记作 O. (2) 弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做 _ _ ，连接圆上任意两点的线 段叫做 _ _ ，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的 _ (3) 圆心角：顶点在 _ _ ，角的两边与圆相交的角叫做圆心角 (4) 圆周角：顶点在 _ _ ，角的两边与圆相交的角叫做圆周角 (5) 等弧：在 _ _ _ 中，能够完全 _ _ _ 的弧叫做等弧 定点 定长 定点 定长 弧 弦 弦 圆心 圆上 同圆或等圆 重合 2 圆的有关性质 (1) 圆的对称性： 圆是 _ _ 图形，其对称轴是 _ _ _ 圆是 _ _ _ _ 图形，对称中心是 _ _ _ _ _ 旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的 图形重合 轴对称 过圆心的任意一 条直线 中心对称 圆心 ( 2 ) 垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径 _ _ _ ， 并且 _ _ _ _ _ 垂径定理的推论： 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 _ _ _ _ _ ， 并且 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 弦的垂直平分线 _ _ _ _ _ _ ， 并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所对的另一 条 弧 平分弦 平分弦所对的两条弧 垂直于弦 平分弦所对的两条弧 经过圆心 ( 3 ) 弦、弧、圆心角的关系定理及推论： 弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中 ， 相等的圆心角所对的弧 _ _ _ _ ， 所对的弦 _ _ _ _ 推论：在同圆或等圆中 ， 如果两个 _ _ _ _ _ _ 、 _ _ _ _ _ _ 、 _ _ _ _ _ _ 、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 中有一组量相等 ， 那么它们所对应的其余各组量都 分别相 等 相等 相等 圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 ( 4 ) 圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 _ _ _ 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧 _ _ 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 _ _ _ ； 9 0 的圆周角所对的弦是 _ _ 一半 相等 直角 直径 ( 5 ) 点和圆的位置关系 ( 设 d 为点 P 到圆心的距离 ， r 为圆的半径 ) ： 点 P 在圆上 _ _ _ 点 P 在圆内 _ _ _ 点 P 在圆外 _ _ _ d r dr 垂直平分线 互补 ( 6 ) 过三点的圆： 经过不在同一直线上的三点 ， 有且只有一个 圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；三角形的外心是三边 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的交 点 ， 这个三角形叫做 这个圆的内接三角 形 锐 角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外 心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外 部 ( 7 ) 圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角 _ _ _ _ _ 常见的辅助线 (1) 有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为 边的直角三角形，利用勾股定理知识求解 ； ( 2 ) 有 关直径的问题 ， 常通过辅助线构造直径所对的圆 周角是直角来进行证明或计 算 ( 3 ) 有等弧或证弧相等时 ， 常连等弧所对的弦或 作等 ( 同 ) 弧 所对的圆周 ( 心 ) 角 A A 1 ( 2016 黄石 ) 如图所示 ， O 的半径为 13 ， 弦 AB 的长度是 24 ， ON AB ， 垂足为 N ， 则 ON ( ) A 5 B 7 C 9 D 1 1 第 1 题图 第 2 题图 2 ( 2016 兰州 ) 如图 ， 在 O 中 ， 若点 C 是 AB 的中点 ， A 50 ， 则 BOC ( ) A 4 0 B 4 5 C 5 0 D 6 0 D 3 ( 2016 杭州 ) 如图 ， 已知 AC 是 O 的直径 ， 点 B 在圆周上 ( 不与 A ， C 重合 ) ， 点 D 在 AC 的延长线上 ， 连接 BD 交 O 于点 E ， 若 AOB 3 AD B ， 则 ( ) A D E EB B . 2 DE EB C . 3 DE DO D D E OB A 4 ( 2016 宜昌 ) 在公园的 O 处附近有 E ， F ， G ， H 四棵树 ， 位置如图 所示 ( 图中小正方形的边长均相等 ) ， 现计划修建一座以 O 为圆心 ， OA 为半 径的圆形水池 ， 要求池中不留树 木 ， 则 E ， F ， G ， H 四棵树 中需要被移除 的为 ( ) A E ， F ， G B F ， G ， H C G ， H ， E D H ， E ， F 5 ( 2016 信阳模拟 ) 如图 ， AB C 内接于 O ， AB 是 O 的直径 ， BAC 60 ， 弦 AD 平分 BAC ， 若 AD 6 ， 那么 AC _ _ 垂径定理及其推论 【例 1 】 ( 2 016 安顺 ) 如图 ， AB 是 O 的直径 ， 弦 CD AB 于点 E ， 若 AB 8 ， CD 6 ， 则 BE _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键 对应训练 1 ( 2016 郑州模拟 ) 如图 ， O 是 AB C 的外接圆 ， 弦 BD 交 AC 于点 E ， 连接 CD ， 且 AE DE ， BC CE . ( 1 ) 求 A CB 的度数； ( 2 ) 过点 O 作 OF AC 于点 F ， 延长 FO 交 BE 于点 G ， DE 3 ， EG 2 ， 求 AB 的 长 ( 1 ) 在 AEB 和 DE C 中 ， A D ， AE ED ， AEB DEC ， AEB DE C ( AS A ) ， EB EC ， 又 BC CE ， BE CE BC ， EBC 为等边三角形 ， A CB 60 ( 2 ) OF AC ， AF CF ， EBC 为等边三角形 ， GEF 60 ， EGF 30 ， EG 2 ， EF 1 ， 又 AE ED 3 ， CF AF 4 ， AC 8 ， EC 5 ， BC 5 ， 作 BM AC 于点 M ， BCM 6 0 ， MBC 30 ， CM 5 2 ， BM BC 2 CM 2 5 3 2 ， AM AC CM 11 2 ， AB AM 2 BM 2 7. 圆心角 、 弧 、 弦之间的关系 C 【例 2 】 ( 201 6 舟山 ) 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开 ， 图中的虚线表示折痕 ， 则 BC 的度数是 ( ) A 1 20 B 1 35 C 1 50 D 1 65 【点评】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及图形的翻折变 换，正确得出 BOD 的度数是解题关键 对应训练 2 ( 2015 台州 ) 如图 ， 四边形 A BCD 内接于 O ， 点 E 在对角线 AC 上 ， EC BC DC. ( 1 ) 若 C BD 39 ， 求 BA D 的度数； ( 2 ) 求证： 1 2. ( 1 ) 解： BC D C ， CBD CD B 39 ， BAC CD B 39 ， CAD CBD 39 ， BAD BAC CAD 39 39 78 ( 2 ) 证明： EC BC ， CE B CB E ， 而 C EB 2 B AE ， CB E 1 CBD ， 2 BA E 1 CBD ， BAE C BD ， 1 2. B 圆周角定理及其推论 【例 3 】 ( 20 16 南宁 ) 如图 ， 点 A ， B ， C ， P 在 O 上 ， CD OA ， CE OB ， 垂足分别为 D ， E ， DC E 4 0 ， 则 P 的度数为 ( ) A 1 40 B 7 0 C 6 0 D 4 0 【点评】 当图中出现同弧或 等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或 圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的 弧把角联系起来 对应训练 3 ( 2016 株洲 ) 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径 ， C 是圆上一点 ， D 是 BC 延长线上一点 ， 过点 D 的直线交 AC 于 E 点 ， 且 A EF 为等边三角 形 ( 1 ) 求证： DF B 是等腰三角形； ( 2 ) 若 DA 7 AF ， 求证： CF A B. 解： ( 1 ) AB 是 O 直径 ， ACB 90 ， AEF 为等边三角形 ， CAB E F A 6 0 ， B 30 ， EF A B FDB ， B FDB 30 ， D FB 是等腰三角形 ( 2 ) 过点 A 作 AM DF 于点 M ， 连接 CF ， 设 AF 2a ， A EF 是等 边三角形 ， FM EM a ， AM 3 a ， 在 Rt DAM 中 ， AD 7 AF 2 7 a ， AM 3 a ， DM 5a ， DF BF 6a ， AB AF BF 8a ， 在 Rt ABC 中 ， B 30 ， AC B 90 ， AC 4a ， AE EF AF CE 2a ， ECF EF C ， AEF EC F EF C 6 0 ， C FE 30 ， AF C AFE EFC 60 30 90 ， CF AB. 点与圆的位置关系 B 【例 4 】 ( 2016 连云港 ) 如图 ， 在网格中 ( 每个小正方形的边长均为 1 个单位 ) 选取 9 个格点 ( 格线的交点称为格点 ) 如 果以 A 为圆心 ， r 为半径画 圆 ， 选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内 ， 则 r 的取值范围为 ( ) A 2 2 r 17 B . 17 r 3 2 C . 17 r 5 D 5 r 29 点拨：如图 ， AD 2 2 ， AE AF 17 ， AB 3 2 ， AB AE AD ， 17 r 3 2 时 ， 以 A 为圆心 ， r 为半径画圆 ， 选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内 ， 故选 B 【 点评 】 本题考查了点与圆的位置关系 、 勾股定理 等知识 ， 解题的关键是正确画出图形 ， 理解题意 A 对应训 练 4 ( 2016 南阳模拟 ) 在数轴上 ， 点 A 所表示的实数为 3 ， 点 B 所表示的 实数为 a ， A 的半径为 2. 下列说法中不正确的是 ( ) A 当 a 5 时 ， 点 B 在 A 内 B 当 1 a 5 时 ， 点 B 在 A 内 C 当 a 1 时 ， 点 B 在 A 外 D 当 a 5 时 ， 点 B 在 A 外 23.外心位置要分清 试题 ABC 内接于半径为 r 的 O ， 且 BC AB AC ， OD BC 于 D ， 若 OD 12 r ， 求 A 的度 数 错解 解：当圆心 O 在 AB C 内时 ， 如图 ， 连接 OB ， O C. OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， D OC 60 . 同理 ， B OD 60 ， BOC 120 ， A 60 . 当圆心 O 在 AB C 外时 ， 如图 ， 同上 ， 可 求得 B OC 12 0 ， A BOC 120 . 综上 ， A 的度数为 60 或 120 . 剖析 上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了， 因为 BC AB AC ， BC 是不等边 ABC 的最大边，所以 A 60 不正确， 产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题的圆心 应在 A BC 的外部 正解 OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， DO C 60 . 同 理 ， BO D 60 ， BOC 120 ， BAC 度数为 120 ， B m C 度数为 24 0 ， A 1 20 .