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专题一 集合、函数与导数1集合的概念及运算(1)集合中元素的三个特性:确定性;互异性;无序性有关集合的运算,特别需要注意的是元素的互异性,其方法是将所得结果代入问题中检验(2)特别要注意用描述法表示集合时,集合中元素的意义取决于它的“代表元素”的特征如A=x|y=x2表示的是函数的定义域;B=y|y=x2表示的是函数y=x2的值域;C=(x,y)|y=x2表示的是函数y=x2的图象 “”“”“”“”“”221223nnnn 注意元素与集合、集合与集合的关系的区别元素与集合之间的关系是 属于 与 不属于,符号与只能用于表示元素与集合之间的关系,不能用于表示集合与集合的关系集合与集合之间的关系常用符号有、等注意空集的特殊性:空集是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集由 个元素组成的集合有个子集,有个真子集,有个非空真子集2常用逻辑用语(1)命题的判断与命题真假的判断:判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,才有可能正确地判断其真假(2)四种命题及其关系:互为逆否命题的两个命题等价,即同真同假“否命题”与“命题的否定”的区别 对于 ,当且仅当p为真时,它是假命题;当且仅当p为假时,它是真命题“否命题”与“命题的否定”不是同一概念“否命题”是对原命题“若p则q”既否定其条件,又否定其结论;而“命题的否定”,即“非p”,只是否定命题中的结论(3)充分条件和必要条件:充要条件的判断,重在从定义出发,利用命题“若p则q”的真假进行区分在具体解题中,一定要注意分清谁是条件,谁是结论,有时也可以通过对其逆否命题“若 则 ”的真假来判别 pqp(4)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词:简单命题与复合命题的真假判断只有p、q全假时,pq为假,其余为真;只有p、q全真时,pq为真,其余为假,的真假与p的真假相反全称量词与存在量词常见的全称量词有:“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”;常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”同一个全称命题、存在性命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表达方法,在实际应用中注意灵活选择p 23|301()A 32 B 16 1 C 8 D 41SaTx xxxZSTPSTP已知集合,那么集合 的子一集的个数是、集合及其运算例 3|031,2111,2,321.8CZTxxxSTaPSTP因为,又,所以,故,因此集合 的子集的个数为,解析:故选 2|20|20()()A 0,1 B(21(20110)C(0 D 0,1)RRxAx xxBy yxBA一已知集合,是实数集,则等于,、集合及其运模算例常德三(0)(2)B.(1)()(0)2 RABBA,解析,所以,:选必要时可借助韦恩图和数轴等帮【点评】助运算 ()(2(201)ABC1)1D yf xxMxMfxf xxMfxf xxMfxf xxMfxf x下列四个命题为命题“函数是偶函数”的否定的是 例株洲县三,二、,命题与逻辑联结模词A答案:奇偶函数的概念要清楚;全称命题与特称命题的否定,应改变量词属性,并否【点评】定结论 22410._2_ RPaaQxxaxPQPQa设命题:,命题:对任何,都有已知为假,为真,则 的取值范围是22201.410111640.2201011111211(02221110.1)2222 RPaaaQxxaxaaPQaaaaaaaaa命题:成立,则命题:,成立,则命题 与 中有且仅有一个成立,或则或或或故 的取值范围,(是析,解:掌握好复合命题真假条件,正确转化相应不等关【点评】系求解 3(2011/()ABCD)1abab“直线平面”是“直线 至少平行于平面 内的一条直线”的.充要条件 .充分不必要条件.必要不充分例株洲市调研条件.三、充既不充分分条也件与必要条件不必要条件【答案】Bpqpqqp掌握充要条件的判断与求充要条件,必须正确理解互相推出的含义“”是指“若 则”与“若 则”均为【点评】真命题 523_ _2_pxyqxypq已知命题:,命题:且,则命题 是命题 的条件52423231455xyxyxyxyxyxyxypq当时,可选取,故此时且不成立同样,当且时,可取,则,故此时也不成立因此,命题 是命题 的既不充分也不必解析:要条件 232312xyxy说明判断一个命题不成立,常常可通过反例证明;此类条件与结论均为否定形式的命题,亦可用其逆否命题的判断来说明,但应注意“且”的否定是“或【点评】”1 1 1,01,2,33 2_4si1n cos2 3cos21.242_2 _xAAAMf xxxxpxq f xmpqm 若,则,就称 是伙伴关系集合集合,的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数为已知函数给定条件:,若:,且 是 的充分条件,则 的取值范围是备选题 411111 2323212sin22 3cos214sin(2)11.335.42222.251.|333555.22xAAAxf xxxxpxf xq f xmmf xmmpqmmmmm 若,则,就称 为伙伴关系集合,故,都是伙伴关系集合,故这样的非空子集的个数为由:,得又:,得因为 是 的充分条件,所以,解得故 的取值范围为解析:1解答与集合有关的问题时,一是要注意“元素”的三个特征,弄清“元素”的实质;二是要分清集合间的关系,要注意空集的特殊性,同时注意三种语言,即自然语言,图形语言,集合语言之间的关系,能充分利用韦恩图、数轴、函数图象相结合的作用2含有逻辑联结词的命题要理解其含义,写命题的否定和否命题时要分清条件和结论,要注意它们的区别对含有一个量词的命题的否定,不但其量词要转换,而且对量词后面的结论要作出否定3判断充要条件,必要条件一定要用好“”,同时注意数形结合、分类讨论、等价转化思想方法的应用,注意命题与其逆否命题的等价性
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