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，其中其中a叫做复数叫做复数 的的 、b叫做复数叫做复数 的的 .全体复数集记为全体复数集记为 .1.对对虚数单位虚数单位i 的规定的规定 i 2=-1;i 可以与实数一起进行四则运算可以与实数一起进行四则运算,并且加、并且加、乘法运算律不变乘法运算律不变.2.我们把形如我们把形如a+b i(其中其中 )的数的数 a、b R称为称为 复数复数,记作记作：z=a+biz z实部实部z z虚部虚部C有时把实部记成为有时把实部记成为Re(z);Re(z);虚部记成为虚部记成为I Im(z).m(z).3.由于由于i2=-1，知，知 i为为-1的一个的一个 、-1的另一个的另一个 ;一般地，一般地，a(a0)的平方根为的平方根为 、(-i)2平方根平方根平方根为平方根为-ia ia-a(a0)的平方根为的平方根为4.复数复数z z=a+bi(a、b R)实数实数小数小数(b=0)有理数有理数无理数无理数分数分数正分数正分数负分数负分数零零不循环小数不循环小数虚数虚数(b 0)特别的当特别的当 a=0 时时 纯虚数纯虚数a=0是是z=a+bi(a、b R)为纯虚数的为纯虚数的 条件条件.必要但不充分必要但不充分5.两个两个复数相等复数相等设设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d R),则则 z1=z2 ,dbca即即实部等于实部实部等于实部,虚部等于虚部虚部等于虚部.特别地，特别地，a+bi=0 .a=b=0注意注意:一般地一般地,两个复数只能说相等或不相等两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小而不能比较大小.显然显然,实数集实数集R R是复数集是复数集C C的真子集的真子集,即即R C.R C.思考思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案答案:当且仅当两个复数都是实数时当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小才能比较大小.即即:若若z z1 1zz2 2 z z1 1,z,z2 2R R且且z z1 1zz2.2.复数的四则运算复数的四则运算 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别区别，最主要的是在运算中将最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去结合到实际运算过程中去。idbcadicbia 即即:两个复数相加两个复数相加(减减)就是实部与实部就是实部与实部,虚部与虚部与虚部分别相加虚部分别相加(减减).).例例1 1.计算计算)43()2()65(iii解解:iiiii11)416()325()43()2()65(复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1,(z,(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2 2、复数的乘法法则：、复数的乘法法则：设设 ，是任意两个复数，是任意两个复数，那么它们的积那么它们的积biaz 1dicz 2任何任何 ，Czzz 321,交换律交换律1221zzzz 结合律结合律)()(321321zzzzzz 分配律分配律3121321)(zzzzzzz ibcadbdacdicbia)()(3、复数的乘方：、复数的乘方：对任何对任何 及及 ，有，有Czzz 21,Nnm,nmnmzzz mnnmzz)(nnnzzzz2121)(12 iiiii 23134 iiiiiii 1特殊的有：特殊的有：iiiiiinnnn 3424144,1,1一般地，如果一般地，如果 ，有，有 NnnZ例例2 2.计算计算)2)(43)(21(iii解解:iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21(复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须但必须在所得的结果中把在所得的结果中把i i2 2换成换成-1-1,并且把实部合并并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数两个复数的积仍然是一个复数.223.:()()(,).abi abiab a bR例 证明两个复数的和与积都是实数的充要条件是,这两个复数互为共轭复数.:a-biZ在复平面内在复平面内,如果点如果点Z表示复数表示复数 z,点点 表表示复数示复数 ,那么点那么点Z和和 关于实轴对称关于实轴对称.ZZZ复平面内与一对共轭复数对应的点复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和和 关于实轴对称关于实轴对称.ZxyoxyoZ:a+bib-b:a-biZZ:a+bib-b 例例4 已知复数已知复数 是是 的共轭复数，求的共轭复数，求x的值的值 222(32)xxxxii204 解：因为解：因为 的共轭复数是的共轭复数是 ，根据复数相等的定义，可得根据复数相等的定义，可得i204 i204 .2023 ,4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x把满足把满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di0)的复数的复数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数c+di的商的商,.)()(dicbiadicbia或记做idcadbcdcbdacdciadbcbdacdicdicdicbiadicbiadicbia222222)()()()()(4、复数的除法法则、复数的除法法则 2222acbdbcadabicdiicdcd4、复数的除法法则、复数的除法法则 设设 ，是任意两个复数，是任意两个复数，那么它们的商那么它们的商biaz 1dicz 2 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式,再把分子与分母再把分子与分母都乘以分母的共轭复数都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式化简后写成代数形式(分母实数化分母实数化).).例例5 5.计算计算)43()21(ii解解:iiii4321)43()21()43)(43()43)(21(iiii2510543468322iiii5251例例6 6 设设 ，求证：，求证：（1）；（；（2）i2321 012 .13 证明：（证明：（1）22)2321()2321(11ii ;0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 .)2321(.16i计算练习.)31()22(.254ii计算练习练习练习3.(2003年高考题年高考题)113i _)3(312ii1344i.)23123(.48ii计算练习88 3i 1005015.,21.izzz 练习 当时 求 的值-i练习练习6.计算计算:(1+i)2=_;(1-i)2=_;_;11_;11iiii._)11(2000ii2i-2ii-i17.2,13.ziz例 已知复数求复数的模的最大值与最小值xyoz140221.1.复数加减法的运算法则复数加减法的运算法则2 2、复数的乘法法则、复数的乘法法则3、复数的乘法运算律、复数的乘法运算律4 4、复数的除法法则复数的除法法则5 5、复数的一个重要性质复数的一个重要性质两个共轭复数两个共轭复数z,zz,z的积是一个实数的积是一个实数,这个实数等于每一这个实数等于每一个复数的模的平方个复数的模的平方,即即z z=|z|z z=|z|2 2=|z|=|z|2 2.如果如果n nN N*有有:i:i4n 4n=1;i=1;i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1;i=-1;i4n+34n+3=-i.(=-i.(事实上事实上 可以把它推广到可以把它推广到n nZ.Z.设设 ,则有则有:i2321 .01;12_23 事实上事实上,与与 统称为统称为1 1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _.11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 6 6、一些常用的计算结果一些常用的计算结果
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