立体几何的外接球问题

立体几何中的外接球问题 长方形的外接圆圆心为对角线的中点，r 2 + b 2 （a, b为长方形的长、2宽）。长方体的外接球球心为体对角线的中点，R 2 + b2 + C2 （a,b,c为长 2方体的长、宽、高）。 三角形的外接圆圆心是底边的中垂线的交点，外接圆半径可由，余弦定理求得2r二二；等边三角形的外心是高的三等分点（靠底边）；直角三 sm A角形的外心是斜边中点。 三棱锥或其它几何体，其外接球球心一定在过面的外心且与该面垂直的 垂线上。 过球心的截面截得的圆是大圆。 勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理、面积法、体积法等平面几何性质灵活应用。1圆柱、直棱柱、一侧棱垂直底面的棱锥设底面外接圆半径为r，高为h，则外接球半径R =h2、；r 2 + ，见截面图中Rt aoao 。2、圆锥、各侧棱都相等的棱锥（包括正三棱锥、正四棱锥）H 2 + r 2 设底面外接圆半径为r，高为H，则外接球半径R =，截面图中RtOAO勾股定理解得。2 H1R 2 =（H - R）2 + r 2 n R = H 2 + r 2。2 H3、等腰四面体补成长、宽、高分别为x，y，z的长方体，则x 2 + y 2 = b 2a 2 + b 2 + c 2 x 2 + z 2 = c 2 n x 2 + y 2 + z 2 =2z 2 + y 2 = a 2外接球半径R =垃宁；a 2 + b 2 + c 22、迂注：（1）棱长为a的正四面体外接球半径R =ya 2 +a2 +a2 6， S = 4兀 r2 6兀，选 D。6.如图，ABCD - Aqq是棱长为1的正方体，S - ABCD是高为1的正四棱锥,若S,名、B,q,在同一球面上，则该球的表面积为（25 9.三棱锥D - ABC中，DA,DB,DC两两垂直，且DA - 3,DB - 4,DC - 5 ,求此三棱锥的外接 球半径。16161616【解析】球的半径即为ASAC的外接圆半径SA1二SC1二 洋,sin ZC = 21i 33 22981兀2R =空迈=R = 8，球的表面积为4兀R2 =，选D丁SA7.如图，网格纸上小正方形的边长为】，粗线画的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积为【解析】侧面三角形外接圆半径为5，2外接球半径R 2 =41外接球表面积为S二4k。8.在四面体ABCD 中,AB - CD =、：5，AC 二 BD 二 v13， AD 二 BC =、：10，则该四面体的外接球的表面积为（）A、63兀B、8、弟 C、14兀D、16兀外接球表面积为S- 4兀-14兀【解析】补成一个长、宽、高分别为3,4,5的长方体，则体对角线为直径，即32 + 42 + 525 迈R -一2 210. 求侧棱为4：5，底棱为4Q的正三棱锥的外接球半径。（方程法）4/3-42 = 8，根据【解析】外接球球心在高上底面外接圆半径r二 品 几何关系列方程：R2 =（8 - R）2 + 42 n R = 511. 求侧棱为2，底棱为丫2的正四棱锥的外接球半径。（方程法、转化法）R2=(,3- R )+12 n R =罟【解析】底面外接圆半径r =1，高H = 22 -12 = J3，根据几何关系列方程:12.三棱锥A-BCD中，AB = CD = 5, AC = BD = J34, AD = BC = J41，求此三棱锥的外接球半径。a 2 + b 2 + c 2 【解析】补成一个长、宽、高分别为a，bc的长方体，则体对角线为直径，即R =-由题可知：a 2 + b 2 = 25 a2 + c2 = 34，b 2 + c 2 = 412a = 3j 解得|b = 4，所以R *32 + 42 + 52 =空 c = 513. 求棱长为2的正四面体的外接球半径。（方程法、比例法、补体法）【解析一】外接球球心在高且靠近底面的四等分点处，棱锥的高h=斗a=竽r=4 h=甞【解析二】补成一个边长为f2的正方体，则体对角线为直径，即R =14. 三棱锥A-BCD中，ZBAC = ZBDC = 9o，BC = AD = 4，求此三棱锥的外接球半径。【解析】根据几何性质“直角三角形的外形在斜边的中点”及题意知：斜边BC的中点到各顶点的 距离相等，即为外接球之球心，故R =1BC = 2215. 三棱锥 A BCD 中，ZDBC = ZBDA = 90。，二面角 A- BD - C 为直二面角，且 AD = 5， BD=4， BC =3，求此三棱锥的外接球半径。【解析】根据空间几何的垂直关系可补成一个长、宽、高分别为3,4,5 的长方体。16. 三棱锥 A-BCD 中，ZDBC = ABDA = 90。，M、N 分别为 AB、CD 的中点，AD = 10, BC = 6, BD = 竿，MN = 7，求此三棱锥的外接球半径。【解析】取BD的中点P，分别过M,N作平面ABD、平面BCD的垂线N四点共面,且O,M,P、N四点共圆，OP即为外接圆的直径。交于一点O，则O为外接球的球心。易证明：O,M, PMP = 5, NP = 3，由余弦定理可求ZMPN = 120。MN 14R = J OP 2 + BP 2 = J2 = io76由正弦定理得0P = sinzMPN = 7317.三棱锥A- BCD中，ZABC = ZABD = 60o, AB = 10, BD二BC二5，求此三棱锥的外接球半径。ABI解析】根据边角关系，易得“丄BC，AD丄BD，则R = 丁 = 518.三棱锥 A-BCD 中，ZABC = ZABD = 90o,ZCBD = 60o, AB = 2, CD = 3，求此三棱锥的外接球半径。J3【解析】ABCD的外接圆O0的半径为r = 1，外接球球心O与O的连线，OO丄平2sm 60o面BCD，即 OOllAB，由于OA = OB，故=丄 AB = 1，所以R = 12 +12 =迈 219.三棱锥A- BCD中，ZBAD = 90。，ABCD是边长为2J3的等边三角形，二面角A-BD- C为150O，求此三棱锥的外接球半径。【解析】ABCD的外接圆圆心为0，半径r =2运 =22sin 60O 外接球球心0 定在过BD的中点M，且垂直于平面BAD的 垂线l上，进而由二面角A-BD-C为150o可得ZOMO = 150o - 90o = 60o，所以 OM = 20 M = 2R20.三棱锥 A BCD 中，/BAD = 90o，BD = &BC = CD = 4*5，二面角 A BD C 为 150。， 求此三棱锥的外接球半径。人【解析】在ABCD中，由余弦定理求得=3=3sin /BCD =-58r = 5，过AABD的外心即BD的1 2上5中点M作平面ABD的垂线交过ABCD的外心作平面BCD于点O （即外接球球心），MO】=3/OMO = 150o 90o = 60o，OM = 6，R =詔2 + 62 = 2,;13121.三棱锥 A - BCD 中，/BAD = 90o , BD求此三棱锥的外接球半径。【解析】2ABCD的外接圆半径厂1=环乔=2，O1O2/OO O =30O， OO =1,OO = 22 1 1 2R = OB = .22 +12 = 5 。22.三棱锥 A BCD 中，BC = BD = AC = AD = 4/5 , AB = CD = 8求此三棱锥的外接球半C径。【解析】棱锥的外接球半径。PA =竿求四23.三棱锥 A- BCD 中，ZDAB = ZDAC = ABAC = 60O, AB = 4 J3, AC = DA = 6、込,求此三24 四棱锥P- ABCD , AB = 3,BC = CD = 7, AD = 5 , PA 丄平面 ABCD ,棱锥P - ABCD外接球半径。x 2 + y 2 - 5【解析】等腰四面体，补成长宽高分别为x, y，z的长方体，则X2 + Z2 -13 , y 2 + z 2 -10