等差数列前n项和的公式推导

等差数列的前 n 项和一教学目标：知识与技能目标：1. 掌握等差数列前n项和公式；2. 掌握等差数列前n项和公式的推导过程；3. 会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法目标：1. 通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想.情感态度与价值观目标：进入 21 世纪之后，数学文化的研究更加深入。结合文学作品，将教材知识和诗 歌联系起来， 使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体察社 会文化和数学文化之间的互动，提升学生数学抽象和数学建模的核心素养，使学生 感受到数学的文化品位；在公式的推导过程中，体验特殊到一般，又到特殊的认识 事物的规律，提高学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，体会方程的思想方法. 在公式的记忆过程中，借助于几何图形，展现了数学的统一美，提高学生直观想象 的核心素养，培养学生勇于创新的科学精神.二教学重点难点：教学重点：理解并掌握等差数列前n项和S公式的推导；会简单应用求和公式.n教学难点：倒序相加的思想方法推导等差数列前n项和公式思路的获得.三教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、 类比归纳的思想，层层深入，引导学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路， 同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解记忆公式，师生互动、讲练结合，从 而突出重点、突破教学难点.四. 教法、学法本课采用“探究发现”教学模式. 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五. 教学过程教学过程设计为六个教学环节：（一 ）创设情境，提出问题 课前，分发印有宝塔诗花的卡片. 教师：我们常中的校园繁花似锦，不禁让我想起唐代张南史的一首诗花 问题1：（播放媒体资料宝塔诗：花）花（唐） 张南史花深浅凝为雪莺和蝶到已迷金谷路芳草欲陵芳树花芬葩错为霞苑占宫遮频驻玉人车东家半落西家愿得春风相伴去一攀一折向天涯【设计意图】通过宝塔诗，这种非常奇特的诗体的外表形式，让学生感受到用数学 的思想、方法来度量诗歌的写作形式，别有一番风味，努力使学生在学习数学过程 中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。用数学的观点观察现 实，通过理性思维，追求创新精神，欣赏数学之美。让学生体会到数学与文学是相 通的，在文学作品中进一步提升学生的数学建模意识. 教师：从数学的角度，这首诗有什么特点？ 教师追问：能提出一个数学问题吗？（文学中写诗歌、写作文都是有字数要求的） 问题1：这首诗的内容一共有多少个字？即：S = 2 + 4 + 6 + 8 +10 +12 +14 = 2（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7）= ?教师：根据诗中文字的对称性，我们也可以取其一半来研究.怎样快速求出结果？ 教师追问：你是怎么想到的？从而引出 S = 1 + 2 + 3 +100 = ?著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的 呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质.学生活动1： （高斯用的是偶数个相加时首尾等距离配对，变不同数的加法运算为相同数的加法 运算，变加法为乘法，大大提高效率.）特点：首项与末项的和：1 +100二101，第2项与倒数第2项的和：2 + 99二101，第50项与倒数第50项的和：50 + 51二101， 于是所求的和是：101 x 50二50501 + 2 + 3 +100 二 101 x 50 二 5050教师：还有其他办法吗？ 预设：学生会用下发的卡片，进行实验操作，从图形倒置拼补上解决问题.(二) 合作探究，寻求策略教师：到了网络时代，不再过分讲究平仄，宝塔诗的句数不受 限制，你还能提出什么问题？问题2：第1行到第n行一共有多少个字？在过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题， 需要将中间项或或第一项或最后一项“落单”，再进行配对也 可以添上一项预设：有的学生在小学奥数课上学过等差数列求和，会模仿记 忆公式.教师：你能说说公式是怎么来的？我们要知其然，更要知其所以然！如何来操作？ 学生活动2：对项数分奇偶讨论.方法一：对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项 或最后一项，转化化归成了项数为偶数来研究.学生计算后发现无论项数是奇数还是偶数，结果都是S二n(d 2可见，结果与项数的奇偶无关，启发学生去寻找一个对项数为奇数偶数都通用的方 法.此外也可以根据学生的反应情况，引导学生将结果S =呼2书写成2S二n(n +1)，为后面列方程组，利用加减消元法构造相同项做铺垫.方法二：倒序相加法避免了分类讨论在原式的基础上，再加一遍1 + 2 + 3 + n，项数变成了 2n个，让学生意识到实质还是把项数转化化归成了偶数个后，将2n个 数重新分组配对求和倒序求和的本质还是配对，只是换了一种表达形式，避开了 对项数奇偶讨论，S n + (n 1) + (n 2) + +1从而 S 1 + 2 + 3 + + n n (n +12通过思考，避免了对项数的奇偶性进行讨论. 通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引 出倒序相加法做铺垫.教师：刚才从数式相加的角度，我们能从形的角度来理解吗？动画演示：把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形平行四边形中的每行 n +1个，一共n行.【设计意图】通过活动1中的方法一，使学生对数列中常见的奇偶讨论，有了一次 很好的体验；有了两种方法的比较，突出倒序相加法避免了分类讨论.教师追问：能将问题更具一般化吗？开头不一定从1开始，可以从？问题3：第5行到第n行一共有多少个字？教师继续追问：我们能继续从形的角度来理解 吗？动画演示：把“全等梯形”倒置，与原图构成平行四边形.三云云7平行四边形中的每层字的个数均为n + 5个，共n - 4行.【设计意图】通过特殊到一般，一般，再一般的研究方式，教会学生如何去对待新 问题.1.在教师追问中，首项数据从1改变成5,学生发现倒序相加方法避免了分类讨论, 不过在使用倒序相加法的过程中，需要正确地计算出项数，这也是学生在以后数列 求和中容易出错的地方.2学生活动2与教师追问中的动画演示，借助了几何图形的直观性，帮助学生直观 感知到任意项数的等差数列求和都可用倒序相加法，从而避免了对项数n的奇偶性 进行讨论，进一步强化倒序相加法的理解和运用，为一般的等差数列求和打基础.3. 在教师追问中，通过改变首项的数据，使图形变成更具一般性的梯形，为后面类 比梯形的面积公式，加强对求和公式的记忆奠定了基础；体现了由特殊到一般的研 究规律，培养了学生的类比迁移能力.（三）深入研究，推导公式教师继续追问：能将问题进一步地再一般化吗？预设：学生顺势提出等差数列求和.问题4： 一般地，如何求等差数列a 的前n项和S ？nn设等差数列a 的首项为a，公差为d，n1教师：S是什么？猜一猜，S化简的最终结果会和那些量有关呢？nn学生：应该和a , d, n, a这几个基本量有关.1n学生活动3：大家依据前面积累的经验，发挥智慧，独立思考，推导S的表达式,n再分组讨论，进行交流展示.【设计意图】学生在前面的探究的基础上，通过倒序后再相加，利用方程的思想, 推导出一般等差数列的前n项和公式，从而完成本节课的中心任务.在这个过程中 大胆放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和基本性质.数列的前n项和定义对于数列a ，我们称a + a + a + + a 为数列a 的前n项和，用S表示，n123nnn即 S = a + a + a + + an 123n交流展示：方法一：倒序相加法等差数列的求和公式S = a + a + a + + av n 123nS = a + a + a + + annn-1n-21S = a + (a + d) + (a + 2d) + + (a + (n 1)d)S v n1111S = a + (a d) + (a 2d) + + (a (n 1)d)nnnnn两式相加可得： 2S = n(a + a )n1n由此得到等差数列的前n项和S的公式nS = n(a1+ 叮(公式一)n2方法二：化成基本量 结合通项公式 a = a + (n 1)d ，将每一项都化成首项和公差n1S = a + a + a + + a = na + (1 + 2 + 3 + + n 1)d n 123n1又能得怎样的公式？ 学生1：将1 + 2 + 3 + +n 1这个局部进行倒序相加.学生2：前面我们用两种办法处理过1 + 2 + 3 + +n，得到 1 + 2 + 3 + + n = 卩，2只需将结果中的n换成n 1.得：S = na + n( “ d (公式二)n 1 2教师追问： 1.公式一与公式二等价吗？请证明.2.如何恰当地选择公式？请举例说明.适时小结：1. 利用倒序相加法，重新配对分组，这是数列求和的一种常用方法2 体会到了方程的思想方法，这也是后面解决数列计算问题的基本方法.（四）类比联想，加深理解一看公式通过类比梯形的面积公式，引导学生对两个公式的认识：S =叫+叮（公式一）n 2S = na +込卩d（公式二）n12学生活动4:用梯形面积公式来类比联想等差数列前n项和公式占” * dt I-a 二 Fn=dl + S 1加= （I补版平行四边形）（分割成一个平行四边形及一个三南形）【设计意图】通过类比梯形面积公式的补形法和分割法两个角度，帮助学生拓展思 维，类比迁移，激发兴趣，加强对公式的认识与理解，体会知识间的内在联系，感 受到数学的统一美.二看公式总结：两个公式的异同点，在应用时要依据已知条件合适地选取公式.例题：在等差数列a 中，n（1） 已知 a 二 3,a 二 101,求 S ;15050（2） 已知 a = 3,d =,求S ;12 io教师先抛砖引玉，给出两道练习题，让学生熟练公式，合理选择公式.引导学生认识到等差数列前n项和公式，就是一个关于a ,n,a或者a ,d,n的方程，使学生能把1n1方程思想和前n项和S公式相结合，再结合通项公式，对a ,d,n,a及S这五个量 n1nn知其三便可求其二.学生活动5：给出范例后，把主动权交给学生，让学生围绕两个公式的应用进行相互出题.每位学生为同桌出道题，体会到“知三求二” 教师巡视，发现有价值的题目，让 相关学生进行展示分享，不足之处，教师再给于补充三看公式（3）已知 a + a = 104,求S ;15050教师追问：问题（3）的题干还可以变成? 方法一：基本量的方程思想；方法二：利用等差数列的性质： 【设计意图】相互出题，从具体表象中体会到“知三求二”，活跃课堂气氛，促进 学生熟悉并强化公式的理解，问题（3）体现了灵活应用公式，体会整体代入的思 hw . v想方法. 再看公式我们说数列是特殊的函数，公式二反映了前n项和S是关于n的函数，在后续的学 n习中我们可以用函数的思想来进一步研究.教师：回眸，回眸，再回眸！席慕容曾说过：要多少次回眸才能真正住进你的心中。 通过练习的（3）不同做法，体会到等差数列的性质与求和公式的联系，以及基本 量的方程思想.公式一联想到等差数列通项的性质:反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k 项的和都等于首、末两项之和；公式二联想到数列是特殊的函数，蕴含着函数的思想，反映了在公差不为 0 的情况下，等差数列的前n项和S是关于n的没有常数项的“二次函数”型，为以后研 n究等差数的前n项和S的最值问题奠定了基础.n【设计意图】通过三看公式，回眸，回眸，再回眸，进一步促进学生熟悉并理解公 式，学会用联系的观点来看待问题，深化认识，学会学习，也为后续学习做了铺垫.（五）应用举例，深化认识 教师：回首张南史的那首宝塔诗，真的是让人望诗兴叹！其实，数列求和问题不仅 仅在文学作品中有所体现，更在实际生活中有着广泛的应用。 我们可以把宝塔诗中的文字看成是工地上的一堆钢管；超市里摆放别致的果冻；周 末来场电影吧！还可以看成是电影院的一排排座位. 国庆 70 周年大阅兵上也隐藏 着很多的数列问题.课后请大家围绕相关背景，发挥智慧，编一个与等差数列求和有关的应用题. 学生活动 6：围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，编一个等差数列求和的应用题 吗？教师 PPT 上给出若干张图片 工地上的一堆钢管； 超市里摆放的一堆果冻； 电影院的一排排座位； 国庆 70 周年大阅兵上也隐藏着很多的数列问题； 教师： 老师给大家留一个作业题，围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，编一个 等差数列求和的应用题。（数学来源于生活，生活中的数学无处不在！）【设计意图】通过生生互动，抓住问题的本质，把抽象的数学问题还原到实际生活 中去，进一步提升学生数学抽象和数学建模的核心素养，培养了学生逆向思维的品 质.（六）小结反思，拓展引申学生小结： 知识上，方法上，思想上1 . 倒序相加法求和的思想及应用；2. 等差数列前n项和S公式的推导过程；n3 .掌握等差数列的两个求和公式s = 叫 *叮,s = na +也二丄d ;n 2 n 1 24. 前n项和S公式“知三求二”的简单应用及方程的思想；n5. 特殊到一般的研究方法，数形结合的思想； 【设计意图】引导学生学会自己总结，通过不断的回眸,让学生进一步体会知识的 形成、发展、完善的过程,进而学会学习.