第四章 导数的计算

第四章 导数的计算教学目的：1. 使学生准确掌握导数基本性质。明确其物理、几何意义，能从定义出发求 一些简单函数的导数；2. 弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算 性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数 运算；3. 能利用导数的意义解决某些实际问题的计算。教学重点、难点：本章重点是导数计算；难点是求复合函数的导数。教学时数：4.1 一些简单函数的导数教学目的：1、导数的四则运算；2、反函数的求导；3、复合函数的求导；4、初等函数的导数。教学要求：1、掌握求导法则，特别是复合函数求导法则； 2、熟练应用求 导法则与基本初等函数的导数公式计算初等函数导数。教学重点：求导法则与求导公式表的应用。教学难点：复合函数求导法则及分段函数在分段点的导数。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、基本初等函数的导数(x )=1. (c) = 0，其中c是常数。r ii2. (xa)，ZT，其中a是常数，特别地vxJx3.1x ln a ，CLex( Y (tan x) =1 = sec2 x5vsin x丿=cosx ； vcos x丿=-sin x ；coS2 x(cot xY = 1 = csc2 x ()丄( Y丄sin2x； vsecxY = tanxsecx ； vcscx丿=一cotxcscx初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到，所以初等 函数在其定义域可导。例1求y = x3 + 2ex +兀的导数。例2求函数y = sin xx的导数例3已知f (x)=斗空,求f (0), f G).1+cos x2例 4 求函数 y = tan3ln x 的导数。例 5 求函数 y = lnlnln x 的导数。二、双曲函数的导数定义 1.1 函数ex exex + exshx =; chx =2 2thxchx ex + e 一 xshx ex 一宀,分别称为双曲正弦函数、双曲余弦函数和双 曲正切函数，统称为双曲函数。性质ch(x 土 y) = chxchy 土 shxshy ,ch 2 x 一 sh 2 y = 1sh2 x = 2 shxchxch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2ch 2 x -1 = 1 + 2 sh 2 x1 th x=c h2 x例 6 求双曲函数的导数shhx = chx1c h x=s h xthx =ch2x练习 P162 1 2 3(1,2) 作业 P162 3(3) 4 54.2 反函数的导数教学目的：利用反函数求一些函数的导数； 教学要求：掌握反函数求导法则； 教学重点：反函数导公式的应用； 教学难点：反函数求导公式的应用； 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。、反函数的求导定理定理2.1若函数f（x）在x的邻域连续，并严格单调，函数y二f（x）在x可导, 且八x）丰0，则它的反函数x 7（ y）在y（ y二f（x）可导,例1求指数函数y二ax（0 x丰1）的导数。例 2 求反三角函数 y 二 arcsin x, y 二 arccos x, y 二 arctan x, y 二 arc cot x 的导数。由定理 2.1 知(arcsin x 丿=1x 1 x2 ；9irccos x丿二-.-1 x 2 ；9(arctan(arc cot(shx 匚 chx ； (chx) = shx ；(hx 匚 吕；(coth x 一 讣999练习 P165 1 24.3 复合函数的导数教学目的：1、复合函数的求导；2、初等函数的导数。教学要求：1、掌握求导法则，特别是复合函数求导法则； 2、熟练应用求导法则与基本初等函数的导数公式计算初等函数导数。教学重点：求导法则与求导公式表的应用。教学难点：复合函数求导法则及分段函数在分段点的导数。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、复合函数的求导法则定理3.1若函数y二f (u)在u可导，函数u =申(x)在x可导，则复合函数dy dy duy 二 f 3 (x)在 x 也可导，且(f 仰(x)二广(u )0(x),或 dxdu dx 。例i求函数y二sin5 x的导数例2求对数函数ln(x)(x )的导数。例3幂函数y二xa(a是实数)的导数。二、初等函数的导数基本初等函数的求导公式1、1.(c) - ，其中c是常数。2.(xa) “，其中a是常数,特别地Ix丿x2 ，3.Gog x )= -(ln x )=-ax ln a ，x 。4.(ax) = ax ln a(x) = ex5.(sinx)= cosx ； (cosx)=-sinx.99(tan x 丄1=sec2 xcos 2 x；91=一CSC2 x sin2 x=tan x sec x ；9=-cot x csc x ；9(arcsin x) =(arccos x)=-6.Y 1 x2 ； 1 x2 ；cot x) = 99 rctan x)=-1 + x 2 ；9(i、 j ( 7 Y jChx) = 1(coth x J 二- 17 Vshx丿=chx ； 2hx丿=shx ；ch2x ；sh 2x/ ；o初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到，所以初等 函数在其定义域可导。例 4求函数 y = tan3 ln x 的导数。例5求函数y = 1口山1口x的导数。12 xy = arctan例6求函数 21 -x2的导数。1例7求函数y = e(1sinx)2的导数。例8求函数y =ln(x +、1 + x2)的导数。例9求函数y=sin(cos2(x3+x)的导数。三、微分形式的不变性定理3.2如果函数y = f (u)可导，则不论u是中间变量还是自变量，均有dy = f(u)du。证明(略)例10设y = arctax2 + 2x,求dy.(用两种形式求导)练习 P173 1 2 3 作业 P173 4 5 7(3,4)4.4隐函数及由参数方程所确定函数的导数重点与难点：隐函数与参数方程的求导法则的应用；隐函数概念的理解。 基本内容：1、隐函数及其求导法则；2、参数方程及其求导法则。 基本要求：1、初步了解隐函数的概念；2、掌握求隐函数与参数方程的导 数的方法。基本方法：隐函数与参数方程的求导方法。课时分配：2 学时。一、隐函数的求导法则定义 设有两个非空集合A与B，若冷丘A，由二元方程F（x，y） - 0对应唯一一个x e B，则称此对应关系f （或写为y - /（x）是二元方程F（x，y） - 0确定的隐函数。求由二元方程F（兀y）二0确定的隐函数y二/（x）的导，只须在方程F（兀y） - 0两边对x求导，把y看成是x的函数即可。例i求小+ 3x2 -5y -7 - 0所确定的隐函数的导数。解：将方程中y看作是由方程确定的函数y = f （x），方程两边求x导数，得y + xy + 6 x 一 5 y = 0.6 x + yy =5 - xxx0 一 yy 的切线方程是君応例2求ey二xy所确定的隐函数的导数。x 2 y 2 1例3证明：过双曲线a2 b2 上一点（，y0）例4证明：抛物线x + y 3（0 x 0）的导数。解：（略）二、参数方程的求导法则x 二 p（t）,参数方程的一般形式是1y （t），若x = p与y =屮都可导，且p，（t）丰0，又x = p存在反函数t = pT（x）,则y是X的复合函数，即y二屮,t =QT（X），由复合函数的求导法则，有 dx=號 w（t 如（x “=v，（t）祐=需兰+22 = 1（备，备）例7求椭圆a2 b2 上一点*2 v2的切线斜率。解：（略）例8设炮弹的弹头初速度是vo，沿着与地面成。角的方向抛射出去，求时刻t0 时弹头的运动方向解：（略）练习 P180 1 2 3 4 9作业 P181 5(1,3) 6 7 84.5 高阶导数与高阶微分教学重点：一些基本初等函数的高阶导数。 教学难点：莱布尼兹公式的应用。 基本内容：1、高阶导数定义及一些初等函数的高阶导数； 2、莱布尼兹公 式；3、高阶微分。基本要求：1、会求一些简单的初等函数的高阶导数(高阶微分)； 2、理 解并会应用莱布尼兹公式。基本方法：求一些初等函数高阶导数的方法。 课时分配：4 学时，其中 2 学时为习题课。一、高阶导数定义5.1函数f(x)的导函数 八x)在x的导数称为函数f(x)在x的二阶导Axf()八x) = lim 广(xo +心)一广(xo)f()数，记为 f (x) ，即勺导数称为函数f (x)在x的三阶导数，记为广(x)。一般地，函数f (x)的n-1阶导数在x 的 导 数 称 为 函 数 f(x) 在 x 的 n 阶 导 数 ， 记 为 f (n)(x) ， 即f (n-1)(x +Ax)- f (n-1)(x )Axf (n)( x) = limAx 0“o二 阶 与二 阶 以 上导 数 统 称 为 高阶 导 数 ， 有 时， 高阶 导 数 也 记 为d2y d3ydnydx 2 dx3dx n例1求 P(x) = aoXn + aiXn-1 + + an (ao 丰 0)的各阶导数。解：P(x) =na xn-1 + (n 一 1)a xn-2 +. + a01n-1P(n) (x) = a0例2求f (x) = eg (a为常数)的n阶导数。例3求f (x) = sin x的n阶导数。解： (sin x)( n) = sin( x + 2)例4 求f (x) = cos x的n阶导数。解：兀(cos x)( n)= cos( x + n)例5 求f (x) = ln(l + x)的n阶导数。解: (ln(x + 1)(n) = (j)T -(n-1)!(x + 1)n例 6求 f (x) = (1 + x)a(a G R)的 n 阶导数。二、莱布尼茨公式(uv )(n) = Ciu (n-i) V (i) 定理若u与v都是x的函数，且n阶可导，则i=o n例 7 设 y =x2e2x，求 y(20)例 8 设 y =x2 cos x，求 y(50)dn (1)2nn! dxn X为勒让德次多项式，求Pn (1)与Pn (-1)-P (x) = 1例9称三、高阶微分定义函数y = f (x)的微分dy =八x) dx(抵为常数)的微分，称微函数f (x) 的二阶微分，表为d 2 y。一般情况，函数f的n 1阶微分Iy的微分，称为 函数f (x)的n阶微分，表为dny。二阶和二阶以上的微分统称为高阶微分。总结本章内容： 2 学时，主要总结内容，并针对本章中出现的问题讲些典型习题。练习 P190 2 3 6 7 8作业 P1931 (1,3,5)5(2,4) 7 8111213