二重积分计算课件

柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出3.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第第3章章 重积分重积分1播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示2步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积3 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo4定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积，在每 个也表 示它 的 面积，在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ，),2,1(ni，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念二、二重积分的概念5如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.6(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值7 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为8性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质9性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有10 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续，为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),(使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）11如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 3.2 二重积分的计算二重积分的计算12为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得13.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D14 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.15例例1 计算计算,122 dyxyD 其中其中 是由直线是由直线D1 xxy、和和 所围成的闭区域所围成的闭区域.1 y解解如图如图,D既是既是 型型,X又是又是 型型.Y若视为若视为 X型型,则则原式原式dxdyyxyx 111221dxyxx1112/322)1(31 .21)1(32)1|(|31103113 dxxdxxxy 16例例1 计算计算,122 dyxyD 其中其中 是由直线是由直线D1 xxy、和和 所围成的闭区域所围成的闭区域.1 y解解 若视为若视为 X型型,则则原积分原积分.21 若视为若视为型型,Y则则,111221122dydxyxydyxyyD 分次序对重积分的计算非常重要分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积故合理选择积其中关于其中关于x的积分计算比较麻烦的积分计算比较麻烦,xy 17解解两两曲曲线线的的交交点点),1,1(,)0,0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 18例例3计算二重积分计算二重积分,Dxyd 其中其中 是由抛物线是由抛物线Dxy 2及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.2 xy解解 如图如图,(见见P141图图3-12)D既是既是 型型,X也是也是 型型.Y但易见选择前者计算但易见选择前者计算较麻烦较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算需将积分区域划分为两部分来计算,择后者择后者.dyxydxxydyyD 2122 dyyyydyyxyy 21522212)2(2122故选故选19例例3计算二重积分计算二重积分,Dxyd 其中其中 是由抛物线是由抛物线Dxy 2及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.2 xy解解 如图如图,(见见P141图图3-11)D既是既是 型型,X也是也是 型型.Y但易见选择前者计算但易见选择前者计算较麻烦较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算需将积分区域划分为两部分来计算,择后者择后者.故选故选 Dxyd dyyyy 2152)2(212162346234421 yyyy.845 20例例4 计算二重积分计算二重积分 Dyxdxdye,其中区域其中区域D是是由由1,0,1,0 yyxx围成的矩形围成的矩形.如图如图,因为因为D是矩形区域是矩形区域,且且,yxyxeee 所以所以 1010dyedxedxdyeyDxyx.)1()(21010 eeeyx解解Oxy11D21例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1,1(),0,0()1,0(为为顶顶点点的的三三角角形形.dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 22例例6 交换二次积分交换二次积分 1010),(xdyyxfdx的积分次序的积分次序.解解 题设二次积分的积分限题设二次积分的积分限:,10,10 xyx 可改写为可改写为:,10,10yxy 所以所以 yxdxyxfdydyyxfdx10101010.),(),(xy 123例例7交换二次积分交换二次积分 21201020),(),(2xxxdyyxfdxdyyxfdx的积分次序的积分次序.解解题设二次积分的积分限题设二次积分的积分限:xyxxxyx20,2120,102可改写为可改写为yxyy 211,102所以所以原式原式.),(102112dxyxfdyyy xy 222xxy 24AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分25.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).()(21 rAoD)(2r)(1r26AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(27 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd注：极坐标系下区域的面注：极坐标系下区域的面积积.Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 028例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11|),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd29例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae Oxyr 30例例3 计算二重积分计算二重积分,122 Dyxdxdy其中其中D是由是由所确定的圆域所确定的圆域.解解如图如图,可表示为可表示为,20 ,10 r故故 Dyxdxdy221 102201rrdrd 122 yx区域区域D在极坐标下在极坐标下 dr10220)1ln(21 d2ln2120 202ln21 .2ln Oxyr 31