24.1.2垂直于弦的直径

24.1.2 垂直于弦的直径问题问题：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2 m，你你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？能求出赵州桥主桥拱的半径吗？赵州桥的半径是多少赵州桥的半径是多少？实践探究实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴直径所在直线都是它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二 （1）圆是轴对称图形直径）圆是轴对称图形直径CD所所在的直线是它的对称轴在的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，弧重合，弧AC、弧、弧AD分别与弧分别与弧BC、弧、弧BD 重合重合弧：弧弧：弧AC=弧弧BC，弧，弧AD=弧弧BDOABCDE我们还可以得到结论：我们还可以得到结论：由此，我们得到下面的定理：由此，我们得到下面的定理：即直径即直径CDCD平分弦平分弦ABAB，并且平分弧，并且平分弧AB及弧及弧ACB垂直于弦的直径平分弦，并且平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧这个定理也叫垂径定理，利用这这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？个定理，你能平分一条弧吗？AE=BE，弧，弧AD=弧弧BD，弧，弧AC=弧弧BC解得解得R27.9.ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题：解决求赵州桥拱半径的问题：在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4 m，CD=7.2 m，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用弧如图，用弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与弧与弧AB相交于点相交于点C.根据前面根据前面的结论可知，的结论可知，D是弦是弦AB的中点，的中点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高（m）,1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8 cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的距离为的距离为3 cm，求，求 O的半径的半径OABE练练 习习解：解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5 cm.活活 动动 三三118422AEAB 在RtAOE中，2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证：四边形，求证：四边形ADOE是正方是正方形形OABCDE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB，11 22AEACADAB，AE=AD.四边形四边形ADOE为正方形为正方形.