蔡氏电路的仿真设计论文

摘要混沌现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题。蔡氏电路是一个能产生混沌行为的最简单自治电路，该电路仅包含三个储能元件，在该电路中能够观察到极为丰富的非线性动力学行为。本文对该电路的复杂动力学行为做了较为深入的仿真和硬件实验研究，应用EWB仿真软件对蔡氏电路的复杂动力学行为进行了计算机仿真，通过改变蔡氏电路线性电阻的阻值，在实验中观察、了解了其通向混沌过程中的各种现象，为蔡氏电路混沌系统在保密通信中应用奠定了基础。关键词：混沌；蔡氏电路；EWB仿真；第 1 章绪论混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是自然界及社会中的一种普遍现象，它是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力学行为。由于其对初值的极端敏感性和类噪声性，在保密通信技术和扩频通信技术中具有广阔的应用前景。设计制造出能产生稳定混沌信号的电路硬件系统是混沌应用于信息通信领域的关键技术之一。为此各国学者进行了一系列的研究，找到并设计出了许多可产生混沌信号的电路系统。1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠教授(Leon.o.Chua)发明了蔡氏电路(Chuas Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范，它是第一个能产生混沌信号的电路系统，该电路不仅广泛地用于研究混沌特性，而且在应用混沌同步进行保密通信方面有较好的前景。1.1混沌学概述1.1.1混沌学基本理论现代非线性科学是人类科学文化的重要组成部分，而混沌又是现代非线性科学的重要组成部分，混沌理论为非线性系统的研究提供了简单有效的模型。混沌揭示的是有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，是继相对论和量子力学问世以来，20世纪物理学的第三次大革命。混沌动力学的诞生不仅使物理学、数学本身有很大的发展，而且它的基本概念、精神实质、研究方法已经渗透到了包括人文社会科学在内的几乎所有科学领域。混沌学既是一门科学，一种世界观、一种方法论。它的基本观点为：世界是确定的、必然的、有序的，但同时又是随机的、偶然的、无序的，有序运动会产生无序，无序的运动又包含着更高层次的有序。混沌是确定性的非线性系统产生的一种回复性、非周期、有界、类似随机的行为。这种类随机性常称作内在随机性，以区别于外在随机性。“确定性”的含义是，系统不含任何随机项，方程完全确定。混沌有以下三个特征1：蝴蝶效应：蝴蝶效应即系统演化对初始条件的敏感性，在混沌出现的参数范围内，初始条件的一个微小误差在迭代过程会不断地被放大，不但使迭代结果变得极为不同而最后随机地历经几乎整个吸引子，由此使得系统的长期预测变得不可能。奇异吸引子：代表系统的稳定态，在相空间中是由点或点的集合表示的。这种集合对周围的轨道有吸引作用，系统运动只有到达吸引子上才能稳定下来并保持下去。经典动力学包括三类吸引子：稳定不动点、稳定极限环和稳定环面。混沌动力学的吸引子是相空间的分形几何体，具有分数维数，称为奇异吸引子。分形：1975年Mandelbrot的专著分形：形状、机遇和维数标志着分形理论的诞生。人们通过列出分形的一系列特性来说明分形：分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构；分形集具有某种自相似形式；分形集的“分形维数”一般严格大于它相应的拓扑维数；分形集通常由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。1.1.2蔡氏混沌电路的提出蔡氏电路一直是在非线性电路中产生复杂动力学行为最有效而简单的混沌振荡电路之一。1983 年，在日本蔡少棠目睹了试图在基于洛仑兹方程的模拟电路中产生混沌现象的试验，于是他也试图提出一个能够产生混沌的电子电路。他意识到在分段线性电路中，如果能够提供至少两个不稳定的平衡点(一个提供伸长，另一个折叠轨迹)，就可以产生混沌。怀着这种想法，他系统地证明了那些含有简单的由电压控制的非线性电阻的三阶分段线性电路能够产生混沌现象。证明了电压控制非线性电阻NR的驱动点特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求，于是，他发明了蔡氏电路如图1-1。0C1C2RNRL图 1-1 蔡氏电路方框图蔡氏电路中的非线性电阻NR又称为蔡氏二级管。可用多种方法实现。由图可以看到，蔡氏电路是由电阻电容和电感及蔡氏二极管组成的三阶自治电路，在满足以下条件时能够产生混沌现象2：(a)非线性元件不少于1 个；(b)线性有效电阻不少于1 个；(c)储能元件不少于3 个。符合以上标准的最简单电路，就是混沌电路之一典型蔡氏电路。蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。现在以其中的线性电阻R(方程中的RG1)为例说明，R两端分别是线性元件与蔡氏二极管，R将这二者连接在线性元件2C、L端，R是非耗能元件，蔡氏二极管是放能元件，只有R是耗能元件。不断地改变电阻R的数值，可以得到各种周期相图和吸引子。1.1.3 混沌的发展与前景展望目前，混沌系统的控制研究已经取得了一定的成果。国内外学术界发表了许多有关控制混沌系绕和混沌现象方面的论文，理论研究除了涉及到以上所介绍的方法外，还有参数扰动OGY 的各种改进法、纳入轨道和强迫迁徒法、弱周期扰动、偶然正比技术法、跟踪法、连续变量反馈法、正比变量脉冲反馈法、线性和非线性反馈法、直接反馈法、变量反馈法、参数共振法、工程反馈控制法、分布参数系统的人工智能控制(包括神经网络和随机控制方法的尝试)等等。在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等。此外，控制混沌的技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去.人们已经对混沌控制进行了大量的研究，并已取得了许多结果，但是混沌控制仍是一个全新的科学前沿，很多系统的理论和有效的方法尚待发展3。1.2 课题来源及论文的主要内容1.2.1 课题来源混沌是非线性确定系统中由于内禀随机性而产生的外在复杂表现，是一种貌似随机的非随机运动。它的基本特征之一是系统对初始条件的极端敏感性，即初始条件的微小差异会随时间的演化呈指数增长，最终不可接受。其长期行为表现出明显的随机，不可控制和不可预测。人们对混沌现象的研究起始于70 年代后期。被誉为“混沌之父”的美国科学家Lo renz 曾经给出过一个通俗的定义：一个真实的物理系统，在排除了所有的随机性影响以后，仍有貌似随机的表现，那么这个系统就是混沌的。1983 年，蔡少棠教授首次提出了著名的Chua电路，它是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最有效而简单的混沌振荡电路之一。通过对Chua 电路参数的改变，可产生从倍周期分岔、单涡卷、周期3 到双涡卷等十分丰富的混沌现象，从而使人们能从电路的角度较为方便地对混沌机理与特性进行研究。由此，本次设计的主要任务就是在设计和实现蔡氏电路方面做一尝试，在计算机上仿真蔡氏电路并对其进行硬件实验，通过观察其丰富的分岔和混沌现象，加深对非线性系统的复杂动力学行为及混沌现象的理解，从而为进一步蔡氏电路的应用奠定基础。1.2.2 论文的主要内容本次设计的主要目标是从数学模型入手，对蔡氏非线性电路进行计算机仿真和电路实验。论文的主要内容包括：第1章：绪论。简要介绍了混沌学的基本理论、蔡氏电路提出的背景和过程以及混沌的发展与前景展望，讨论了本文的课题来源及论文的主要内容。第2章：蔡氏电路结构及数学模型。主要介绍了蔡氏电路的电路结构、数学模型，讨论了蔡氏电路中的非线性电阻，并对蔡氏电路的模型和参数值进行简要分析，为电路仿真和硬件实现提供理论基础。第3章：蔡氏电路仿真实现及分析。详细介绍了蔡氏电路仿真的背景、过程及仿真结果，并对其进行细致分析，在仿真中用了多种仿真软件对电路仿真，并在最后对仿真软件进行了对比。第4章：蔡氏电路硬件实现及分析。这一章主要介绍了蔡氏电路硬件实现的具体过程，并对硬件实验得到的各种实验现象进行讨论。第5章：蔡氏电路混沌同步研究。在蔡氏电路的基础上，运用EWB软件对混沌同步系统进行模拟仿真，讨论了仿真的结果，并介绍了混沌电路同步研究的意义。第6章：结论。对整个实验过程中遇到的困难进行总结，陈述了主要几个难题及其解决方法。第 2 章蔡氏电路结构及模型分析2.1 典型蔡氏电路结构与状态方程1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授发明了蔡氏电路(Chuas Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。蔡氏电路是由线性电阻电容、电感和非线性“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路，它满足以下一种能够产生混沌的条件：(a)非线性元件不少于一个；(b)线性有效电阻不少于一个；(c)储能元件不少于三个，蔡氏电路符合以上标准，如图2-1。0C1C2RNRL图 2-1 蔡氏电路方框图根据图2-1可以列写蔡氏电路的三阶微分方程组为：11211vfvvGdtdvCLivvGdtdvC2122(2-1)2vdtdiLL其中，Li是流经电感的电流，1v、2v、rv分别是1C、2C和非线性电阻两端的电压，G是可调阻抗器的电导，nRG1是等效非线性电阻的电导。rrvfvfi1它是一个三段线性的分段线性函数：EvvmmEvmEvvmEvvmmEvmvfirrr10110111101101,(2-2)也可以写成：EvEvmmvmvf110110121(2-3)Evx1，Evy2，EGizL(2-4)如果定义：2GtG，Gma1，Gmb0，21CC，22LGC(2-5)则原微分方程组式(2-1)变为：xfyxddxzyxddy(2-6)yddz其中：1,1,1,xbabxxaxxbabxxf(2-7)2.2蔡氏电路模型分析2.2.1 蔡氏二极管蔡氏电路中的非线性电阻NR也被称为蔡氏二极管，可用多种方式实现。一个典型的蔡氏电路如图 2-2 所示。图 2-2 典型的蔡氏电路另一种典型的蔡氏电路如图 2-3 所示，也是经常被讨论的一个电路。图 2-3 另一种典型的蔡氏电路图 2-2 和图 2-3 的区别就在于蔡氏二极管的实现方法不同。本文主要讨论图 2-2所示的蔡氏电路，这里使用的是 Kennedy 于 1993 年提出的方法4：使用 2 个运算放大器和 6 个电阻，其电路图及其伏安特性曲线如图 2-4 和图 2-5 所示。图 2-4 蔡氏二极管图 2-5 蔡氏二极管的伏安特性它相当于两个非线性电阻1NR和2NR的并联。图 2-6 给出1NR和2NR电路及其伏安特性。(a)1NR电路(b)2NR电路(c)1NR伏安特性(d)2NR伏安特性图 2-6 两个非线性电阻及其伏安特性图 2-6 中v是两个非线性电阻两端电压，由于两电阻是并联，故电压是相等的。1i和2i分别是流入1NR、2NR的电流。satVRRRE2111satVRRRE5442(2-8)satV是运放得输出饱和电压，它与运放的工作电源有关。适当选取电阻参数值，使2E远大于1E，也远大于蔡氏电路工作时1CV的变化范围，则在电路的工作范围内，2NR是一个线性负电阻，1NR和2NR并联后可实现图 2-5 中非线性电阻的伏安特性，其中434121111111RRGRRGVRRREEbasat(2-9)2.2.2电路中各元件参数标称值的确定电路的混沌特性是由其元件参数值确定的，只有元件的参数值在可能的范围内系统才有可能出现混沌现象，文献 5 对此进行了有益的探讨，但只是给出了蔡氏混沌电路产生分岔时元件R，1C，2C，L与im的关系式和画出了系统产生稳定周期解的参数区域，要确定元件值还是得靠假设，对硬件实现的参考作用不大。现有的其他文献所给出的元件参数值，硬件实现时可行性都比较差，有些给出的元件参数值在现实中根本就找不到与之对应的标称值元件，经过分析发现其容差范围也较小，参数值稍有偏差系统就可能脱离混沌状态，这样就需要去分析并寻找出蔡氏电路出现混沌信号时元件的参数空间，以便确定出电路系统产生稳定混沌信号时各元件的参数标称值去指导硬件的实现。另外，蔡氏电路虽然简单，但是由于电路的混沌特性对元件参数的敏感性，现有文献只是单一地控制电阻器的阻值变化而其余元件的参数值固定不变来对电路进行研究，而对电路中各个元件参数都发生变化以及其各种变化的组合形式改变时电路系统的变化的研究鲜见报道，这显然与电路的实际工作环境相差甚远。文中针对这些情况，利用计算机仿真分析技术和理论分析，对蔡氏混沌电路处于实际工作环境时各元件参数值进行了容差分析，得到了一些重要的结论，为混沌振荡电路的硬件实现提供了有益的理论指导。关于混沌电路元件参数的确定方法，在文献6中已论述了这方面的问题。他们通过仿真分析后认为混沌信号的频谱分量绝大多数都集中在直流分量到基波分量Hf(Hopf 分岔点附近周期或最不稳定周期轨道的频率)之。在文献7中导出了蔡氏电路极限环频率表达式：2111mmfH(2-10)基于此式便可估计出各元件的参数值.蔡氏电路系统式(2-1)中共有 3 个平衡点：EuGGEGGGGGEGGiuuPEuGGEGGGGGEGGiuuPEuiuuPbabbabLbabbabaLL121012101210,0,:,0,:,0,0,0,:(2-11)由于蔡氏电路状态方程中参数达7个之多，为了分析的简便需将其简化为无量纲形式.也就是前面列出的式(2-6)，现重写如下：xfyxddxzyxddy(2-12)yddz式中：1121101xxmmxmxf(2-13)aRGm 0，bRGm 1(2-14)电路中蔡氏二极管的分段线性转折点电压 E 及斜率 Ga，Gb 与元件参数的关系式现重写如下：434121111111RRGRRGVRRREEbasat(2-15)式中satV为运放的输出饱和电压，它与运放的工作电压有关。元件参数值kR3.31，kRR2232，kR2.24，22065RR；运放的工作电源电压取12V。将以上值代入式(2-11)可计算出msGa76.0，msGb41.0，VE1。下面首先确定电阻R及电容1C的值，基于分析和综合现有的文献可以得出R不宜取值太大但又要与实际元件的标称值相符，故其值宜取R=1.6或1.8 k(最佳为1.6 k)；而1C则不能取值太小且也要与实际元件标称值相符，故其值宜取1C=5.1 或10 nF。这里取R=116 k，可得0m=-1.216，1m=-0.656，若取R=1.8 k，则0m=-1.368，1m=-0.7388。这样就确定了式(2-13)中参数0m，1m的值，将其固定不变，只需分析参数，的变化对系统输出特性的影响，简化了分析的难度.用 Matlab 仿真并结合理论分析画出了参数平面中双涡卷混沌区域图(见图 2-7)。从图中可以看出，参数由大变小时系统状态由平衡点周期倍周期分岔单涡卷混沌吸引子区进入双涡卷混沌吸引子区，最后至系统失稳区；而参数则是由小变大时系统状态由平衡点周期倍周期分岔单涡卷混沌吸引子区进入双涡卷混沌吸引子区，最后至系统失稳区。图 2-7-平面上的蔡氏电路系统状态图基于图2-7并利用式(2-4)和式(2-5)进行反变换可得到蔡氏电路出现双涡卷混沌吸引子时元件标称值有很多。根据图 2-7 和最小二乘法原理导出了双涡卷混沌区域中心曲线方程：11.4737.1027.02(2-16)只要参数，满足式(2-16)，再经式(2-4)和式(2-5)反变换就可得到电路元件参数值，在该参数值下，系统都会出现双涡卷混沌吸引子。另外，由于式(2-16)所确定的，值代表了混沌区域中的各中心点，所以，值满足式(2-16)时，系统出现混沌动态变化范围为近似最大。因此，据此确定元件参数值时，电路中各元件参数值的容差范围将是近似最大，下一章的仿真实验也说明了这一点。第 3 章蔡氏电路仿真实现及分析3.1 结构化仿真的意义实际蔡氏电路的实验具有一定的难度，这是由于混沌运动对于电路元件参数的误差特别敏感，一般说来，蔡氏电路中只要一个电路元件的误差超过 1%就有可能导致整体设计的失败9。典型蔡氏电路实验需要仔细选择电子元器件，电子市场买到的普通电感器一般不能产生混沌输出，电子市场买到的普通电容器一般离散性很大，需要精心选择。并且电子器件的参数往往与其标称值有一定的差异，造成元件选择有一定的困难，电阻电容的参数随温度变化较大，这些都对用电子元器件构成的蔡氏电路的精度和稳定性造成影响。这是混沌电子线路实验的特点10。这种特点使非线性电路的设计极易失败，同时使线性电子线路实验具有很大的局限性，所以混沌电路对于系统设计和参数失配的问题尚需要进一步的研究，但对参数失配和初始条件敏感则恰恰是混沌通信的保密性所在。针对上述存在的问题，我们想到了利用计算机软件强大的仿真功能，在计算机上进行模拟仿真，既可以省去筛选元器件的麻烦，又可以提高实际效能。3.2.EWB仿真蔡氏电路的混沌演变3.2.1 EWB软件简介电子工作平台 Electronics Workbench(EWB)(现称为 MultiSim)软件是加拿大 Interactive Image Technologies 公司于八十年代末、九十年代初推出的电子电路仿真的虚拟电子工作台软件，它具有这样一些特点11：(1)采用直观的图形界面创建电路：在计算机屏幕上模仿真实实验室的工作台，绘制电路图需要的元器件、电路仿真需要的测试仪器均可直接从屏幕上选取；(2)软件仪器的控制面板外形和操作方式都与实物相似，可以实时显示测量结果。(3)EWB 软件带有丰富的电路元件库，提供多种电路分析方法。(4)作为设计工具，它可以同其它流行的电路分析、设计和制板软件交换数据。(5)EWB 还是一个优秀的电子技术训练工具，利用它提供的虚拟仪器可以用比实验室中更灵活的方式进行电路实验，仿真电路的实际运行情况，熟悉常用电子仪器测量方法。下面对 EWB 软件的界面及元件库进行简单介绍。1.Electronics Workbench 软件界面(1)EWB 的主窗口图 3-1 EWB 的主窗口(2)元件库栏图 3-2(3)信号源库图 3-3(4)基本器件库图 3-4(5)二极管库图 3-5(6)模拟集成电路库图 3-6(7)指示器件库图 3-7(8)仪器库图 3-8从上述所有图库我们可以看到，由于 EWB 增加了虚拟测量仪器、实时交互控制元件和多种受控信号源模型，除了可以给出以数值和曲线表示的 SPICE 分析结果外，EWB 还提供了独特的虚拟电子工作台仿真方式，可以用虚拟仪器实时监测显示电路的变量值，频响曲线和波形。仿真的步骤为：(1)输入原理图，在工作区放置元件的原理图符号，连接导线，设置元件参数；(2)放置和连接测量仪器，设置测量仪器参数；(3)启动仿真开关，在仪器上观察仿真结果。将EWB 电子平台软件应用于蔡氏电路仿真实验,既增加了该实验的方法,又补足了其他实验方式的欠缺之处,效果好又简单、直观。在实验中可以很方便的改变电路元件参数值，从而观察电路状态的变化情况。3.2.2 EWB仿真蔡氏电路的过程运用电子工作平台(EWB)软件对蔡氏电路进行仿真，其具体步骤如下：1.首先在该软件的主窗口中新建一个新文件“基本蔡氏电路”，文件的后缀名是“ewb”。2.打开元件库栏，移动鼠标到需要的元件图形上，按下左键，将元件符号拖拽到工作区。元件的旋转、反转、复制和删除操作：用鼠标单击元件符号选定，用相应的菜单、工具栏，或单击右键激活弹出菜单，选定需要的动作。3.元器件参数设置：选定该元件，从右键弹出菜单中选 Component Properties可以设定元器件的标签（Label）、编号（Reference ID）、数值（Value）和模型参数（Model）、故障（Fault）等特性。4.连接元器件：鼠标指向一元件的端点，出现小园点后，按下左键并拖拽导线到另一个元件的端点，出现小园点后松开鼠标左键。5.电路图选项的设置：Circuit/Schematic Option 对话框可设置标识、编号、数值、模型参数、节点号等的显示方式及有关栅格（Grid）、显示字体（Fonts）的设置，该设置对整个电路图的显示方式有效。其中节点号是在连接电路时，EWB自动为每个连接点分配的。6.蔡氏电路仿真所使用到的元件及仪器如下：(1)示波器图 3-9示波器为双踪模拟式，其图标和面板如下图所示。其中：Expand-面板扩展按钮；Time base-时基控制；Trigger-触发控制；包括：1Edge-上（下）跳沿触发Level-触发电平2触发信号选择按钮：Auto（自动触发按钮）；A、B（A、B 通道触发按钮）；Ext（外触发按钮）。X（Y）position-X（Y）轴偏置；Y/T、B/A、A/B-显示方式选择按钮（幅度/时间、B 通道/A 通道、A 通道/B 通道）；AC、0、DC-Y 轴输入方式按钮（AC、0、DC）。在我们仿真试验中，观察相图时示波器的设置为 Time base：0.01ms/div,channel A：500mv/div,channel B：500mv/div,显示方式选择“B 通道/A 通道”。(2)线性电阻 7 个：分别为 1.5k(1 个)，2.2k(1 个)，3.3k(1 个)，22k(2个)，220(2 个)。(3)电容：2 个。一个为 100nF，一个为 10nF。(4)电感：1 个，电感值为 17mH。(5)五端运放：2 个。(6)直流电源：2 个，均为 15V。(7)接地：1 个。选好元器件进行连接，然后对每个元器件进行参数设置，完成之后就可以对蔡氏电路进行仿真了。双击该图最上方的示波器，双击它就可以看到示波器的控制面板和显示界面，在控制面板上可以通过相关按键对显示波形进行调节。图 3-10 蔡氏电路仿真原理图3.2.3蔡氏二极管伏安特性实验为了验证所设计的蔡氏二级管是否符合第 2 章所要求的伏安特性，我们用如下电路来测量非线性电阻的伏安特性。按图 3-11 接线，图中NR可以是图 2-6所示的非线性电阻1NR和2NR，也可以是1NR和2NR并联后形成的蔡氏二极管。依次用这三个非线性电阻替换图中的NR，可以利用此实验电路研究它们的伏安特性，仿真电路图如图 3-12。仿真结果如图 3-13 所示。图 3-11非线性电阻实验原理图(a)蔡氏二极管伏安特性 EWB 仿真电路图(b)1NR伏安特性 EWB 仿真电路图(c)2NR伏安特性 EWB 仿真电路图图 3-12 非线性电阻伏安特性 EWB 仿真电路图元件参数值已标注在仿真电路图中，运放的工作电源取为9V。信号源为三角波，其输出幅度从-3V 到 3V。为测量电流i，在电路中串联了一个 10的取样电阻R，其电压v与电流i成正比。数字示波器记录的实验结果如图 3-13 所示。根据所标注的元件参数及所取工作电源值，由式(2-9)可算得蔡氏二极管的参数为aG=-0175m S，bG=-0141m S，E1V。可见其仿真所得到的值与第 2 章中的理论计算值吻合的很好。为方便说明，我们将图由图 3-13 我们可以看到，实验所得的伏安特性曲线与第 2 章的理论曲线基本相符。(a)仿真图形(b)理论图形(1)1NR的伏安特性(a)仿真图形(b)理论图形(2)2NR的伏安特性(a)仿真图形(b)理论图形(3)蔡氏二极管伏安特性图3-13 非线性电阻EWB仿真结果3.2.4蔡氏电路中的电感Chua 电路中存在线性电感，由于其难于集成，给电路带来不少困扰，影响了电路在实际中的应用。文献12设计了一种利用集成运放、线性电阻和电容组成的模拟电感电路，利用模拟电感电路对 Chua 电路进行改进，取得了良好的效果，为实际的应用奠定了基础。本文采用 EWB 软件对该模拟电感进行计算机仿真，首先设计一种测量模拟电感的方法，然后将该电感运用在蔡氏电路中以观察其仿真结果。1.模拟电感及其测量电路(1)电压三角形方法测量模拟电感的仿真电路图3-14 测量模拟电感的EWB仿真电路其中，模拟电感的电路图为：图3-15 模拟电感EWB仿真图(2)使用电压三角形方法测量模拟电感当电阻R与电感L串联，R在上L在下，信号源正弦波电压SV加到此RL串联电路上，示波器通道 1 接R上端，示波器通道 2 接L上端，示波器读数分别为与LV，因为22LSRVVV222LSVVRI得222RVVILS而LVfLI 2得22222222LSLLSLLVVfRVRVVfVfIVL根据以上模拟电感电路 EWB 仿真，看出，当信号源正弦波 100mV(峰峰值200mV)，串联 kR 1电阻，示波器读数mVVS1.197，示波器读数mVVL94，因此，mVVVVLSR24.17322，代入数据，得mHL17。这个值与理论上讨论的蔡氏电路电感的标称值相吻合。2.用模拟电感改进 Chua 电路的可行性从研究中发现图 3-15 所示的模拟电感电路具有纯电感元件的特性，所以可以利用模拟电感电路对 Chua 电路进行改进，以便于 Chua 电路在实际中更好地被应用。具体实现方法是：用图 3-15 所示的模拟电感电路代替图 3-10 所示 Chua 电路中的电感元件。具体电路如图 3-16 所示。图 3-16 模拟电感代替无源电感的蔡氏电路对改进前后的电路进行仿真，得到改进前的1V时域波形如图 3-17 所示，改进后的1V时域波形如图 3-18 所示，改进前后的21VV 相平面图如图 3-19 所示。从结果中可以发现，改进后的 Chua 电路与图 3-10 所示的 Chua 电路具有相同的特性，所以这一改进方案是可行的。图 3-17电路改进前的1V时域波形图图 3-18 电路改进后的1V时域波形图(a)改进前双涡卷混沌吸引子(b)改进后双涡卷混沌吸引子图 3-19改进前后的 Chua 电路所产生的双涡卷混沌吸引子蔡氏电路中的电感器L，它没有串联的一个等效小电阻，而实际电感器L总是等效串联一个小电阻的，若考虑这个小电阻，这种蔡氏电路就叫做蔡氏振荡器。由于蔡氏振荡器分析结果很麻烦，没有多大的理论价值，一般不予讨论。但是电感器L等效串联小电阻，这就引出几个问题：第一，若用实际电感器L组成蔡氏电路，必须考虑L小电阻的影响，仿真时要在L上串联一个小电阻。第二，若要使用无误差的理想化的L，必须专门设计L，可用运算放大器电路实现，这就是有源电感的应用。3.2.5蔡氏电路电压和电流图分析1、波形图分析典型蔡氏电路的电压、电流波形呈现复杂的运动形态，处于无休止的运动，并且不是周期性的运动，其中1V与Li在两个正、负数值之间跳来跳去，波形相同；2V在零附近无规则地变化，如图 3-20 所示。(a)1v波形(b)2v波形(c)Li波形图 3-20 典型蔡氏电路1v、2v与Li信号输出波形2、相图分析蔡氏电路的相图是LiVV21三维空间的相轨迹流线图，在21VV、LiV 1、LiV 2三个相平面的透影如图 3-21(a)、(b)、(c)所示，将 3 个相图画在一起并用立体图的形式表示则见图 3-21(d)。由相图清楚可见，相图轨线在三维相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳去，永不闭合，运动是无周期的。蔡氏电路的这一个运动形态被蔡氏叫做“双涡旋”，因为它的相图很象两个靠近的旋涡。图 3-21(e)是三维相图的形象化画法。(a)21VV 平面相图(b)LiV 1平面相图(c)LiV 2平面相图(d)三维相图产生的三个平面相图(e)三维相图刻画图 3-21 典型蔡氏电路双涡旋输出相图3.2.6蔡氏电路元件参数对运动形态的影响蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有不同的拓扑性质，上述典型蔡氏电路的运动形态仅仅是一个特例，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。现在以其中的线性电阻R为例说明。R两端分别是线性元件与蔡氏二极管，R将这二者连接。在线性元件2C、L端，是非耗能元件(储能元件)，蔡氏二极管是放能元件，只有R是耗能元件。将R的参数为控制变量进行讨论，为了使得讨论过程方便，将电阻R从大到小的顺序进行讨论，使用图 3-2 的电路参数，重点讨论R在 1.298k-1.92k这一范围的状态。先考虑R很大的情况，即R1.92k，例如R为 100k，电路状态变化中1V与2V相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，这就是不动点。图 3-22。(a)R=1.92k(b)R.=2.0k图 3-22R逐渐减小至 1.911k时，等幅振荡，如图 3-23。图 3-23R逐渐减小至 1.910k时，增幅振荡开始，L、2C振幅增至 3.7V，1C蔡氏二极管振幅增至 3.7V，周期 1，如图 3-24。(d)R=1.91k，t=114.43ms图 3-24R=1.9181.820k，周期 2，如图 3-25。(a)R=1.918k(b)R=1.820k图 3-25R=1.8191.818k，周期 4，如图 3-26。(a)R=1.819k(b)R=1.818k图 3-26R=1.787k，周期 8，如图 3-27。图 3-27R=1.787kR=1.786k，周期 16，如图 3-28。图 3-28 R=1.786kR继续减少至1.750k为单涡旋图形，这是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸引子，如图3-29。对比图3-28和图3-29我们可以看到，当电路处于单涡旋混沌状态时,改变电路的初始状态,可分别观察到向左和向右的两种单涡旋混沌吸引子相图(电路工作时,在C1 两端并联一个几十毫亨的电感再突然断开,有可能改变电路的初始状态)。在第4章的硬件电路实验中也可以观察到该现象。图 3-29 R=1.750kR继续减少会出现周期 3、周期 6、周期 12 等，并第二次进入单涡旋混沌。这样继续周期-混沌-周期-混沌地演变，直至洛斯勒形混沌结束。减少至R=1.7165k时演变成双涡旋图形。基本范围是R为 1.716k1.300k。仔细调试R值(在1/10000 精度内)并仔细观察还会发现，双涡旋混沌相图的演变中也有各种“周期”出现，例如R=1.349k时出现“周期 5”，R=1.324k时出现“周期 3”等，如图 3-30。(a)R=1.7165K(b)R=1.349K(c)R=1.324K图 3-30R=1.320K1.300k，无波形，有一个短暂的不动点。200K1.000k时，10.0mS 之前不动，之后缓慢增幅振荡从而达到最大振幅，呈单叶周期，如图 3-31。图 3-31各种演变的波形图如图 3-32 所示。(a)稳定焦点，1v波形(b)周期 1，1v波形(c)周期 3，1v波形(d)单涡旋，1v波形(e)双涡旋，1v波形(f)稳定焦点，2v波形(g)周期 1，2v波形(h)周期 3，2v波形(i)单涡旋，2v波形(j)双涡旋，2v波形图 3-32 蔡氏电路 V1 与 V2 信号输出波形观察图 3-32 我们可以看到，从稳定焦点的产生一直到周期三产生期间，2v的波形基本保持不变，直到单涡旋混沌发生，2v波形变得极不稳定，在零附近无规则地变化，作非周期运动。1v的波形在周期三之前保持稳定规律，周期三到来后，其值在两个正、负数值之间跳来跳去，也变得极不稳定。这是混沌现象的运动复杂性决定的。改变蔡氏电路的其它元件参数如L、1C、2C等参数范围，也能够得到类似结论。此处限于篇幅不再展开讨论。3.2.7蔡氏电路频谱分析因为蔡氏电路输出波形不是周期波形，也不是噪声，而是一个混沌吸引子。这一特点决定它的频谱不是离散谱，也不是光滑连续谱，而是不光滑连续谱。L、1C点的频谱在不同电路状态下的频谱图如图 3-33 所示。周期 1(R=1.83K)周期 2(R=1.80K)单涡旋混沌(R=1.75K)双涡旋混沌(R=1.50K)“周期 5”(R=1.3525K)图 3-33 频谱图由上叙述可见，R的变化引起蔡氏电路运动形态拓扑结构的变化。为了便于看出蔡氏电路中混沌工作区域范围在参数中的位置，特将R参数值作为横坐标予以表示，如图 3-34 所示。双蜗圈混沌n混沌2周期3混沌1周期n周期2周期1衰减振荡极限环（稳定焦点）1.2971.31.41K本具体电路混沌尺度本类型电路混沌尺度电子电路尺度物理尺度1.51.6 1.71.9 1.9221.1K1.2K1.3K 1.4K 1.6K1.8K 1.9K1101001K10K100K1M图 3-34 蔡氏电路中混沌工作区域范围示意图由图可见，混沌工作区域范围在参数中所占的比例很小13，在经典电子学中，这个范围在电子学工作者的经验中可以完全被忽略，这在其它学科中也是类似的，正是这个原因使得混沌现象在历史上多次被观察到而多次被忽视。3.3 蔡氏电路仿真软件的选择对于蔡氏电路仿真方法，除了 EWB 之外还有许多专用软件都可以实现，例如：Pspice，Matlab，VB 等等14。但是尽管有许多种专用软件可以选择，但是任何一种专用软件都远远不能满足我们的要求。在做蔡氏电路仿真的时候，我尝试过用其他几种软件来实现，此处限于篇幅，只描述了应用 EWB 进行仿真的过程及结果，对其他软件不再一一赘述，只对这几种软件的仿真实现做一对比，将它们在蔡氏电路仿真方面的应用情况列表如下。表 3-1蔡氏电路仿真软件特点对比一览表软件名称功能原理图电路原理图波形图相图频谱图管理界面Protel最好最好好无好无Pspice好好好好很好无EWB好好好很好很好无VewSystem好好好很好很好无Matlab很好无很好很好编程编程VB无无编程技巧编程技巧编程编程技巧VC无无编程技巧编程技巧编程编程技巧