清华微积分高等数学第八讲微分中值定理

2022-11-261 作业作业P88 习题习题4.1 5(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122 综合题综合题:4.5.复习复习：P8088预习预习：P89952022-11-262应用导数研究函数性态应用导数研究函数性态局部性态局部性态 未定型极限未定型极限 函数的局部近似函数的局部近似整体性态整体性态 在某个区间上在某个区间上 函数的单调性、函数的极值函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形函数的凸性、渐近性、图形2022-11-263微分中值定理，包括：微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分学的理论基础。是微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。利用导数研究函数性质的理论依据。微分中值定理的共同特点是：微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。某种微分性质。2022-11-264第八讲第八讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理2022-11-265).()()()()()(),(.)()(0000000或或极极小小值值点点的的极极大大值值点点为为并并称称或或极极小小值值取取得得极极大大值值在在则则称称函函数数或或有有若若定定义义有有的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数fxxfxfxfxfxfxNxxNxxf 一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理（一）极值的定义：（一）极值的定义：2022-11-2660 x1xxyo)(xfy 极极大大值值)(0 xf极极小小值值)(1xf)(极大值点极大值点)(极极小小值值点点极值的研究是微积分产生的主要动力之一极值的研究是微积分产生的主要动力之一2022-11-2670)(,)(,)(000 xfxxfxxf则则必必有有可可导导在在点点并并且且取取得得极极值值在在点点设设函函数数（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极值必要条件极值必要条件).0)(200驻驻点点这这种种点点称称为为的的一一个个极极值值点点函函数数不不一一定定是是的的点点满满足足注注意意fxxf .0)(10必必要要条条件件是是可可导导函函数数取取得得极极值值的的注注意意 xf2022-11-268xyo3xy 0)0(32 yxy不不是是极极值值点点0 x驻驻点点未未必必是是极极值值点点！2022-11-269证证)0)(0)(:(00 xfxf且且只只须须证证明明.)(0处处取取得得极极大大值值在在点点不不妨妨设设xxf)()(0 xfxf 有有内内的的邻邻域域在在点点即即,),(000 xxx000)()()(xxxfxfxxf 考考察察0)()(000 xxxfxfxx0)()(000 xxxfxfxx2022-11-2610并并且且有有都都存存在在和和所所以以存存在在因因为为,)()(,)(000 xfxfxf 0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)(0 xf2022-11-2611微分中值定理的引入微分中值定理的引入.,.,平平行行的的切切线线与与弦弦在在点点使使得得曲曲线线上上至至少少存存在在一一点点那那麽麽切切线线有有连连续续不不断断且且其其上上各各点点都都平平面面曲曲线线ABCABCABAB(AB切切线线平平行行于于弦弦CAB2022-11-2612xyC轴轴切切线线平平行行于于 xoab AB0)(f2022-11-2613xoAB切切线线平平行行于于弦弦CAB)()()(fabafbf yab 2022-11-2614xoAB切切线线平平行行于于弦弦CAB)()()()()()(gfagbgafbf y)(ag)(bg)(g)()()(btatfytgx :的的参参数数方方程程AB)(af)(bf)(f2022-11-2615使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(),()()3(;),()2(;,)1()(babfafbabaxf)(0)(baf 二、罗尔二、罗尔 (Rolle(Rolle)定理定理2022-11-2616怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！的最大最小值定理！CxyoabABC2022-11-2617.,)(,)1(mMbaxf和和最最小小值值最最大大值值上上达达到到在在闭闭区区间间知知由由条条件件.,)(,)1(baxMxfmM 则则若若,0)()(baxxfxf 常常数数有有内内任任取取一一点点作作为为可可在在因因此此,),(,ba0)(f,)2(mM 若若).(,)()(afmMbfaf不等于不等于至少有一个至少有一个和和知知由由).(afM 不不妨妨设设罗尔定理的证明：罗尔定理的证明：2022-11-2618)()(baMf 即即处处达达到到某某点点内内部部只只能能在在最最大大值值这这就就是是说说从从而而有有因因为为,),(,).(),()(baMbfMafbf 于于是是由由费费尔尔马马定定理理知知因因而而是是极极大大值值内内部部达达到到且且在在是是函函数数的的最最大大值值又又存存在在所所以以因因为为.,),(,)(.)(),(baffba )(0)(baf 2022-11-2619使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(,),()2(;,)1()(bababaxf)()()()(bafabafbf 三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理2022-11-2620怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:)()(bfaf 则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:)()(bfaf 则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！2022-11-2621xo0)(:kakxafyAB方方程程弦弦CABabafbfk )()(yab 满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端点处相等在端点处相等kakxafxf )()(设设函数函数2022-11-2622)()()()()()(axabafbfafxfxF ).()(,),(,)(:bFaFbabaxF 且且可可导导内内在在上上连连续续在在容容易易验验证证拉格朗日定理的证明：拉格朗日定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在由由罗罗尔尔定定理理知知,),(,ba0)()()()(abafbffF abafbff )()()(拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式2022-11-2623abafbff )()()(拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式)()()()(abfafbf )()()()(1212xxfxfxf xfxfxxf )()()(00 xxxfxfxxf )()()(000),(ba ),(ba ),(21xx ),(00 xxx )10(有限增量公式有限增量公式2022-11-2624思思考考题题：有有什什麽麽区区别别？限限增增量量公公式式比比较较微微小小增增量量公公式式与与有有)()()()(000 xxxfxfxxf xxxfxfxxf )()()(0002022-11-26250,xba上上任任意意取取定定一一点点在在)()()(00 xxfxfxf 条条件件满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理上上或或在在,)(,00 xxxxxfbax .,)(上上恒恒为为常常数数在在则则上上恒恒为为零零在在若若bafbaxf 推论推论1：证证有有由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,0)()(0 xfxf之之间间与与在在0 xx 0)(f已已知知常常数数 )()(0 xfxf2022-11-2626)()()(,),()(,是是常常数数其其中中有有则则有有若若CCxgxfbaxxgxfbax 推论推论2：).(,),0)(0)(,单单调调减减少少上上单单调调增增加加在在则则有有若若bafxfxfbax 推论推论3：).(,),0)(0)(,严严格格单单调调减减上上严严格格单单调调增增在在则则有有若若bafxfxfbax 推论推论4：2022-11-2627使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在且且内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(.0)(,),()2(;,)1()(),(baxgbabaxgxf )()()()()()()(bagfagbgafbf 四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理2022-11-2628.0)()(agbg先先证证矛矛盾盾！这这与与假假设设条条件件使使得得存存在在一一点点由由罗罗尔尔定定理理知知0)(,0)(),(,xgcgbac用用反反证证法法)()(,0)()(agbgagbg 即即假假设设柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 即即使得使得故存在故存在满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件,0)(),(,)(FbaxF)()()()()()(gfagbgafbf 2022-11-2629辑辑关关系系：四四个个定定理理之之间间有有如如下下逻逻费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理2022-11-2630?1根根讨讨论论下下列列方方程程有有几几个个实实例例1222 xxx零点问题零点问题图图形形发发现现三三个个交交点点而而且且大大体体上上能能确确定定位位置置以下证明恰好以下证明恰好有三个根有三个根-3-2-111234246810204060801001201222 xxyyx交交点点个个数数该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线2022-11-2631首先证明至少有三个根首先证明至少有三个根计算表明计算表明0)10(,02)1(,023)1(,043)2(ffff根据介值定理根据介值定理122)(2 xxxfx令令)10,1(,)1,1(,)1,2()(和和在在 xf各至少有一个零点各至少有一个零点因此方程至少有三个根因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法用反证法 有有四四个个相相异异实实根根0122)(2 xxxfx假假定定方方程程2022-11-2632至少有三个相异实根至少有三个相异实根02222ln)(xxfx根据洛尔定理根据洛尔定理至少有两个相异实根至少有两个相异实根022)2(ln)(2 xxf至至少少有有一一个个实实根根02)2(ln)(3 xxf矛盾！矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根综上所述，方程恰好有三个实根352022-11-2633)0)(,0)(;0)(,0)(bfafbfaf或或者者直观观察可直观观察可以启发思路以启发思路)(),(bfaf在第一种情形在第一种情形,都不是最小值都不是最小值0)()(,)(2 bfafbaxf并并且且可可导导在在设设例例0)(),(fba使使得得存存在在所以最小值一定在区间内部达到所以最小值一定在区间内部达到ba)(af)(bfyxab)(af)(bfyx2022-11-2634.0)(,0)(bfaf不不妨妨设设.)(0)(不不是是区区间间上上的的最最小小值值也也又又可可以以推推出出利利用用条条件件bfbf .),(达达到到内内部部某某个个点点于于是是最最小小值值在在 ba.0)(),(:fba由由费费尔尔马马定定理理推推出出可知可知即即由由0)()(lim,0)(axafxfafax)()(,afxfax 有有充分近时充分近时距距当当不不是是区区间间上上的的最最小小值值)(af证证2022-11-2635证明思路直观分析证明思路直观分析 例例330)(,),0(.0)(lim,0)0(,),0(),0 fxfffCfx则存在则存在并且并且可导可导在在设设内内部部达达到到最最大大或或最最小小值值必必然然在在),0()(xfxyo2022-11-2636证证0)(),0(xf如如果果在在结结论论自自然然成成立立不不恒恒等等于于零零在在不不妨妨假假设设),0()(xf0)(),0(00 xfx使使得得0)(0 xf不不妨妨设设0)(lim xfx)()(,0101xfxfxxxx 根据连续函数的根据连续函数的最大最小值定理最大最小值定理使使得得存存在在,01x 0|)(max)(1xxxff 0 并并且且0|)(max)(xxff 是驻点是驻点所以所以内部内部在在由于由于 ,),0(0)(f2022-11-2637证证明明恒恒等等式式例例4)1(2arccosarcsin xxx)1(01111)(22 xxxxf则则)1(arccosarcsin)(xxxxf令令知知理理的的推推论论于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定1)1()()(xccxf为为常常数数20arccos0arcsin)0(f又又证证2022-11-2638时时有有当当又又1,x21arccos1arcsin)1(f于于是是得得到到)1(2arccosarcsin xxx)1(2arccosarcsin xxx 故故2)1arccos()1arcsin()1(f442022-11-2639221arctanarctan1,05aababbabba 有有不不等等式式时时证证明明当当例例,arctan)(baxxxf 令令且且可可微微内内在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：显显然然,),()2(;,)1()(,babaxf211)(arctan)(xxxf 证证2022-11-2640)()(11arctanarctan2baabab 有有理理于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定,222111aababbab 因因为为所所以以有有221arctanarctan1aababbab 2022-11-2641.)(,)(,)(lim,)()(6lafaxflxfaaUaxfax 且且可可导导在在点点则则函函数数且且外外可可导导除除点点连连续续的的邻邻域域在在点点若若函函数数例例使使得得点点之之间间至至少少存存在在一一与与则则在在定定理理条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值或或在在函函数数显显然然且且,)(,.),(cxaaxxaxfaxaUx )()()(cfaxafxf 证证2022-11-2642从从而而有有时时因因为为当当.,acax)(lim)(lim)()(limcfcfaxafxfacaxax 即即有有由由已已知知条条件件,)(lim,lcfac lcfaxafxfacax )(lim)()(lim.)(,)(,lafaxf 且且可可导导在在点点函函数数由由导导数数定定义义知知2022-11-2643注注意意)()(lim,)(,)(lim,)(,000000 xfxfxxfxfxxxxfxxxx 且且必必可可导导在在则则函函数数存存在在且且处处可可导导在在连连续续附附近近在在点点只只要要此此例例说说明明.,;,或或是是有有第第二二类类间间断断是是连连续续它它或或在在每每一一点点处处不不能能有有第第一一类类间间断断则则导导函函数数若若函函数数在在某某区区间间内内可可导导2022-11-2644有有不不等等式式时时证证明明：当当例例,17 xxxxx )1ln(1等等号号成成立立时时当当,0 xxxxxf 1)1ln()(令令2)1()(xxxf 则则证证.)0()(,上上严严格格增增加加在在从从而而 xf0)0(1)1ln()(fxxxxf0)(,0 xfx有有时时当当2022-11-26450)0(1)1ln()(fxxxxf)1ln(1xxx 即即xxxxxg )1ln()1ln()(同同理理可可证证令令0)(,01 xfx有有时时当当.)0,1()(,上上严严格格减减少少在在从从而而 xf)1ln(1xxx 即即2022-11-2646.)(,)0()(801110实实根根也也仅仅有有证证明明的的根根全全是是实实根根设设实实系系数数多多项项式式例例xPaaxaxaxaxPnnnnnn 故故设设的的根根全全是是实实根根因因为为,)(xPnmkmkknxxxxxxaxP)()()()(21210 nkkkxxxmm 2121,其其中中证证2022-11-2647)()()()()()(1211201xfxxxxxxaxxxPkkmkknm .0)(,)(111 xfkxPxn所所以以重重根根的的是是因因为为)()()()()()()()()(11111111111xfxxxfkxxxfxxxfxxkxPkkkn 0)()()()(1111111 xfkxfxxxfk又又.)1()(11重重根根的的是是故故 kxPxn2022-11-2648.)1()(,)1()(,22重重根根的的是是重重根根的的是是同同理理 mnmnkxPxkxPx.0)(,),(,),(),(,12113221 xPxxxxxxnmmm使使内内分分别别有有在在又又根根据据罗罗尔尔定定理理 的的实实根根个个数数至至少少为为所所以以0)(xPn11)1()1()1(21 nmkkkm.,10)(故故都都为为实实根根个个根根只只有有又又 nxPn2022-11-2649.),(0)(:,0)(,0)(lim,0)(lim,0)(,),()(00有有且且仅仅有有两两个个实实根根在在方方程程求求证证使使又又存存在在一一点点且且上上二二次次可可微微在在设设思思考考题题：xfxfxxfxfxfxfxx .02)(,0,0)(lim)1(xfaxaxfx有有时时使使当当知知由由证证有有理理上上应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定在在区区间间,xa2022-11-2650)()()()(xaaxfafxf 有有时时于于是是当当,ax )(2)()(axafxf )(limxfx由由此此推推知知.0)(,0 bfxb使使从从而而.0)(,0)(1010 xfxxxf使使知知于于是是根根据据介介值值定定理理又又知知.0)(,202 xfxx使使同同理理可可证证.,),(0)(21xxxf两两个个实实根根上上至至少少有有在在因因此此 2022-11-2651.),(0)()2(个个实实根根上上仅仅有有两两在在证证明明 xf.,0)(321321xxxxxxxf 且且有有三三个个实实根根假假设设.0)(,0)(),(),(,3221 ffxxxx使使得得存存在在根根据据罗罗尔尔定定理理这这与与题题设设矛矛盾盾！得得使使存存在在再再用用罗罗尔尔定定理理.0)(),(,f.),(0)(,个个实实根根上上仅仅有有两两在在因因此此 xf