第3章相对位置

第3章直线与平面、平面与平面的相对位置3-1 2 3 4 3.1 平行3.2 相交3.3垂直3.4 距离和角度的度量及综合性作图题（一）平行问题（一）平行问题 1 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。面相交求交线的作图方法。3 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题（四）点、线、面综合题 1 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。步骤和方法。直线与平面平行直线与平面平行 两平面平行两平面平行3.1 平行问题平行问题3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行D DB BC CA AP P若：若：ABABCD则：则：ABABPP 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。图问题的依据。几何条件：几何条件：有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。包含已知直线作平面与另一已知直线平行。fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例例11 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面n a c b m abcmn 例例2 2 过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。有无数解有无数解d dX X正平线正平线 例例3 3 过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面 ABCABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX Xbaaffb 例例4 4 试过点试过点K K作水平线作水平线ABAB平行于平行于CDECDE平面平面直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 XOABa(b)CDEFGHcde(f)h(g)aba(b)ccddefe(f)ghh(g)当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。必定平行。3.1.2 3.1.2 两平面平行两平面平行 若一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。几何条件：几何条件：两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。两平面平行两平面平行 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。上的两相交直线，则这两平面相互平行。ABAB；ACAC；则：则：P PQ Q 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。的那组投影必相互平行。XOe(f)Fh(g)GEHgfh(g)e(f)OehABCacbabcacb两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 两一般位置平面平行两一般位置平面平行 acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由于由于ekek不平行不平行于于ac,ac,故故两平面两平面不平行不平行 例例1 1 判断平面判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，已知是否平行，已知ABCDEFMHABCDEFMH 例2 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行emnmnfefsrsrkk 例例3 3 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定。试过点给定。试过点K K作一作一平面平行于已知平面平面平行于已知平面 。例4 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行，所以两平面平行 例例55已知直线已知直线MNMN和和ABCABC平行平行,补全补全ABCABC的投影的投影aaccbbmnmndd作图步骤作图步骤1.过过C点作点作CD平行平行MN(cdmn、cd mn）2.求出求出CD与与AB的交点的交点D3.连连ad并延长并延长求得求得b4.完成完成ABC的水平投影的水平投影 直线与平面相交直线与平面相交 两平面相交两平面相交3.2 相交问题相交问题 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题：(1)(1)求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。(2)(2)判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。我们将分别讨论一般位置的直线与平面或我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。至少有一个处于特殊位置的情况。两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交VHPCBAPHacb3.2.1直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交FEkefkacebfafecbkk交点的一个投影是平面积聚性投影与直线的同面投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。判断直线的可见性判断直线的可见性VHPCBAFEPHacebfkkacebfkafecbk利用积聚性直接判断出可见性例例1 1 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析:求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见为可见。还可通过重影点还可通过重影点判别可见性。判别可见性。平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 1(2(2)2 21 1X X 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。km(n)bm n c b a ac直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析:直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。k 2 2 1 11 1 (2(2)X X()k21k21例2 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线 2.判断平面的可见性 求交线求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk 判断平面的可见性abcdefc f d b e a m(n)例例3 3 求两平面的交线求两平面的交线,MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析：空间及投影分析：求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，在交从正面投影上可看出，在交线左侧，平面线左侧，平面ABC在上，其水在上，其水平投影可见。平投影可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为 正正垂面，它们的交线为一条正垂垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于平投影垂直于OX轴。轴。还可通过重影点还可通过重影点判别可见性判别可见性a abd(e)ebdh(f)cfchmn空间及投影分析：空间及投影分析：平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac、bc的交点的交点m、n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影。的水平投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，点上，点在前，点在前，点在在后，故后，故m c 可见。可见。作图作图X X211 1(2(2)mnbc d e f a b acdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面，说明点的外面，说明点N位位于于DEF所确定的平面内所确定的平面内，但不位于，但不位于DEF这个图这个图形内。形内。所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。mkk nn 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图m DEF的正面投影积聚的正面投影积聚以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图1 1 2 2 QV2 21 1kk步骤：步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线以正垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面的交点平面的交点ABCQ过过EF作作正垂面正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图PH步骤：步骤：1过过EF作铅作铅垂平面垂平面P。2求求P平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。kk 示意图以铅垂面为辅助平面求直线以铅垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面的交点平面的交点2211过过EF作铅垂作铅垂面面P以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图FCABPEFKEfee直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性14kk4 3示意图示意图()1322()1 (2)(4)3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,其作图方法可以有:1.利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。2.用三面共点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线两一般位置平面相交求交线判别可见性判别可见性两一般位置平两一般位置平面相交，求交面相交，求交线步骤：线步骤：1用求直线用求直线与平面交点的与平面交点的方法，作出两方法，作出两平面的两个共平面的两个共有点有点K、E。llnmmnPVQV1221kkee2连接两个连接两个共有点，画出共有点，画出交线交线KE。示意图示意图求两平面的交线求两平面的交线两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 示意图示意图 利用求一般位置利用求一般位置线面交点的方法找出线面交点的方法找出交线上的两个点，将交线上的两个点，将其连线即为两平面的其连线即为两平面的交线。交线。MBCAFKNL利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性3 3 4 4 ()3 43 4 2 21 1()1 1 2 2 ADCBELKF用三面共点法解题用三面共点法解题 示意图示意图T1T2T1VT2Vlkdcafeblkdcafeb1212 投影图投影图3.2.5 3.2.5 综合性问题解法综合性问题解法例例5 5试过试过K K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABCABC，并与直线，并与直线EFEF相交相交 。综合性问题解法 综合性问题解法 综合性问题解法 过已知点过已知点K作平面作平面P平行平行于于 ABC；直线；直线EF与平面与平面P交于交于H；连接连接KH，KH即为所求。即为所求。FPEKHmnhhnmPV11221过点过点K作平面作平面KMN/ABC平面。平面。2求直线求直线EF与平面与平面KMN的交点的交点H。3连接连接KH，KH即即为所求。为所求。直线与平面垂直直线与平面垂直两平面互相垂直两平面互相垂直3.3 3.3 垂直问题垂直问题VHPAKLDCBE几何条件：几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。的一切直线。定理定理1 1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO定理定理2 2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXOacacnnmfdbdbfm例例6 6 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点M作平面的垂线。作平面的垂线。hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例7 7 试过定点试过定点K K作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。efemnmncaadbcdbfXO例例8 8 平面由两平行线平面由两平行线ABAB、CDCD给定，试判断直线给定，试判断直线MNMN是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。有平面都垂直于该平面。PAB 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直ABghacachkkfdbdbfgXOghachackkbbgffdd结论：结论：两平面不垂直两平面不垂直XO3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题3.4.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题3.4.3 综合问题解题举例综合问题解题举例求解综合问题主要包括：求解综合问题主要包括：平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤：1.分析题意分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤拟定解题步骤空间几何元素的空间几何元素的定位问题定位问题（交点、交线）（交点、交线）空间几何元素的空间几何元素的度量问题度量问题（如距离、角度）（如距离、角度）。cghefdcefghdXO 所求得直线所求得直线AB一定在平行于一定在平行于CD的平面上，并且与的平面上，并且与交叉直线交叉直线EF、GH相交。相交。ABCDHGEFkkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb EQFAK2 2 11 1 2 22 2 1 1a efaf e 1 1 2 2PVkk度量问题度量问题是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据 直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求 其实长或实形。其实长或实形。1.1.距离的度量距离的度量点到点之间的距离点到点之间的距离.求二点之间线段的实长（直角三求二点之间线段的实长（直角三 角形法）。角形法）。点到直线之间的距离点到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂过点作平面垂直于直线，求出垂 足，再求出点与垂足之间的线段足，再求出点与垂足之间的线段 实长。实长。点到平面之间的距离点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，过点作平面的垂线，求出垂足，.再求出点与垂足之间的线段实长。再求出点与垂足之间的线段实长。直线与直线平行之间的距离直线与直线平行之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与平面平行之间的距离直线与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。线的距离。包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。间的线段实长。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。面的距离。PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELFcabcabXOPABCK 过过C点作直线点作直线AB的垂线的垂线CK一定在过一定在过C点并且与点并且与AB垂直垂直的平面的平面P内，过内，过C点作一平面与直线点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与垂直，求出该平面与AB的交点的交点K，最后求出垂线，最后求出垂线CK的实长即为所求。的实长即为所求。cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离PVcabcabXOeded1212kk所求距离所求距离PVdd 作出垂线作出垂线后，用辅助平后，用辅助平面法求出垂线面法求出垂线与与平平面的交点（即面的交点（即垂足），再用垂足），再用直角三角形法直角三角形法求出线段的实求出线段的实长即可。长即可。hfeb mbacach所求距离所求距离 MK实长实长kkXOefmccababXOddLKABDCGHEFP 过一条直线过一条直线CDCD作平面作平面P P平行于另一条直线平行于另一条直线ABAB，在过点，在过点A A作平作平面面P P的垂线的垂线AHAH，求出垂足点，求出垂足点E E；在平面；在平面P P上过点上过点E E作直线作直线EFEFABAB与与直线直线CDCD交于点交于点K K；过点；过点K K作直线作直线KL KL AHAH交交ABAB于于L L点，点，KLKL即为所求即为所求的公垂线。的公垂线。gg1122h3434eef kklflccababXOddhPH2.2.角度的度量角度的度量两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角PABCEF任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角 PCAB直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法余角法。直线与平面的夹角直线与平面的夹角 PQ两平面间的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相方法同两相交直线间的夹角交直线间的夹角)的补角，补角即为所求。此法又称的补角，补角即为所求。此法又称补角法补角法。BCA作作的余角的余角，即为所求直线与，即为所求直线与平面的夹角。平面的夹角。fXObe ebacac dd fdfef例例1919 已知等腰已知等腰ABCABC的底边为的底边为BC,BC,过顶点的高过顶点的高ADAD为为40MM,40MM,试完成试完成ABCABCaacb作图步骤作图步骤1.求求AD的水平的水平投影投影2.作作AD的垂面的垂面DEH分别作水平线分别作水平线DH、正平线、正平线DE垂直垂直AD3.在在DEH面上面上取取BC线线4.完成作图完成作图ehehddbcAD实长adad