练习4 守恒定律5

练习4 守恒定律关于动量定理4.1 写出动量定理的一般表达式, 讨论该式及式中各物理量的意义, 并判断下列表述的正误。(1)“ 神舟”5 号返回舱落地时的速度约为2m/s , 杨利伟说:“当时头朝下, 感觉身体很重, 胸背感觉有压力。”这是由于座椅对他产生了I = 130Ns 的冲量的缘故。( 杨的质量m= 65kg)(2) 质点在t1 到t2 时间内, 受变力Fx = B + At2 作用, B、A 为常量, 则其所受冲量为(3) 上述冲量越大, 则质点的动量越大。(4) 冲量是矢量, 其方向与动量方向一致。(5) 系统的总动量发生变化, 与系统的内力无关。(6) 质点在作匀速率圆周运动的过程中, 动量保持不变。分析与解答 略4.2 应用动量定理处理问题的一般思路和方法如何( 包括恒力或变力作用的情况) ? 然后请根据自己的思路解题4.34.6。4.3 Fx = 30 + 4 tN 的力作用在质量m= 10kg 的物体上, 试求:(1) 在开始2s 内此力的冲量I。(2) 若冲量I = 300Ns , 此力作用的时间为多少?(3) 若物体的初速度v1 = 10m/s , 方向与Fx 相同, 在t = 6.86 s 时, 此物体的速度v2 为多少?分析与解答 (1)开始2S内的冲量为 (2)从开始到任意时刻的冲量为 将I=300Ns代入，得 解得t=6.68s(3)由题设条件，在-6.86s 内外力的冲量I=300Ns。按动量定理 得：4.4 高空作业时系安全带是 非 常 必 要 的，假 如 一 质 量 为 50.1kg的 人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。知此时人离原处的距离为 2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。4.5 质量为m 的小球, 在力F = - kx 作用下运动, 已知x = Acost, ( k, , A 均为常量) , 求在t = 0到t =/2时间内小球动量的增量。分析与解答 由可求得速度为 以t = 0和t =/2代入，得，则动量增量为，本题也可以来计算。4.6 某物体受一变力作用, 在0s0.1s 内, F 由0 均匀增加到20N; 在以后的0.2s 内, F 保持不变; 再经0.1s , F 由20N 均匀减小到0。试求:(1) 画出F - t 图, 并说明图中曲线与x 轴间所包围的面积表示什么?(2) 在这段时间内, 力的冲量及力的平均值。(3) 如果物体m= 3kg , 开始时速度为1m/s ,与F 方向一致, 问力最后变为0 时, 物体的速度为多少?分析与解答（1）F-t图线如图所示。冲量，在F-t曲线中就等于曲线下的面积。（2）冲量I即为图中的梯形面积 平均冲力（3）由动量定理 动量守恒定律4.7 试讨论分析:(1) 系统动量守恒的条件是什么?(2) 若，系统的动量不一定守恒, 这是为什么?(3) 有人说:“系统始末状态的动量大小、方向均相同, 称为动量守恒”, 你认为如何?(4) 以A, B 两小球在光滑平面上发生正碰为例, 说明为什么在分析动量守恒时, 必须强调“系统”?分析与解答 （1）系统动量守恒意味着在过程中，为恒矢量，所受的合外力始终为零。（2）不一定能保证守恒条件 （3）不正确 4.8 判断正误:(1) 质点作匀速圆周运动, 其动量守恒;(2) 不计空气阻力, 抛体在x 方向上动量守恒, 在y 方向上动量不守恒;(3) 几个质点组成的孤立系统, 所受的合外力为零, 但由于质点之间有相互作用, 因此, 系统的动量不守恒;(4) 系统的动量守恒, 则动能当然守恒;(5) 系统受外力的冲量为 -5Ns 作用, 其动量一定减小。分析与解答（1）错误。匀速圆周运动时速度方向在变化，动量不守恒。 （2）正确，质点作抛体运动时只受向下的重力作用，水平方向不受力，因此在水平方向动量守恒，而竖直方向动量不守恒。 （3）错误。内力不影响系统的总动量。（4）错误。动量守恒只说明系统所受合外力为零，但外力做功和内力做功都可导致系统动能改变，如两小球的完全非弹性碰撞，动量守恒而动能不守恒。 （5）错误。冲量为负值仅说明动量的改变量（增量）为负值，并不能说明动量在减小，如负方向的动量增大过程就是受到负值冲量的结果。4.9 一静止的原子核, 在一次衰变过程中, 放射出一个电子和一个中微子,放射出来的电子和中微子的速度相互垂直, 电子的动量为,中微子的动量为。试求衰变后原子核反冲动量的大小和方向。分析与解答 静止的原子在对蜕变过程中应满足动量守恒定律。以P，P1，P2分别表示蜕变后原子核、电子和中微子的动量，则有+ = 0由图可知，故的大小为方向为方向为 4.10 如图所示, 一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮, 两端分别拴有质量为m 和M 的物体A, B, 且M稍大于m。物体B 静止在地面上, 当物体A 自由下落h距离后, 绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时, 两物体的速度及B 能上升的最大高度。质点的动量矩定理、动量矩守恒定律分析与解答 把整个过程分成三个阶段来处理。第一阶段物体A自由下落。物体A自由下落h 距离时，正好拉紧绳子，此时物体A的速度为，方向向下。第二阶段，绳子被拉紧，物体A和物体B同时受到绳子的冲力作用。经过极短时间t 后，以共同的速度V运动，此时，物体的受力情况如图（B）所示。如取竖直方向为正方向，则物体Ad的速度由-v增为-V，物体B的速度由0增为V。根据动量原理得： 题4.10图由于作用时间极短，绳子冲力的冲量远大于重力的冲量，故式，式可简化为 因，解得： 第三阶段，绳子拉紧后，物体A向下运动，B向上运动，但由于Mm,A和B 都作减速运动，故有Mg-T=Ma,T-mg=ma 求得物体B以速度V上升，其加速度与速度方向相反。设最后B上升的高度为H，则有 故 质点的动量矩定理、动量矩守恒定律4. 11 质量为m的质点, 以r为半径绕点O在水平面内做逆时针圆周运动,则(1) 动量矩L =_？ , 并说明其大小和方向。(2) 力矩的表达式M=_？ , 并说明其大小和方向。(3) 动量矩定理的表达式是_？ , 并说明其意义及式中各量的意义。(4) 动量矩守恒的条件是_? 分析与解答 (1)如图（a）所示，动量矩为由于，故L=rmv,方向方向。（2）如图(b)所示，力对点O的力矩为，力矩的大小为，方向为垂直于、构成的平面（即xoz面）。按右手螺旋法则指向y轴正方向。（3）质点动量矩定理为 式中， 为力矩的时间积累，称为冲量矩；，分别表示始末状态的动量矩，此式表明，外力矩的冲量距等于质点动量矩的增量。（4）动量矩守恒条件为，由式可知，在t1-t2全过程中，当M=0时，（实际上各时刻的L都相同）。所以动量矩守恒。4. 12 判断正误:(1) 作匀速圆周运动的质点, 对圆心的动量矩大小为mvR;(2) 作变速圆周运动的质点没有动量矩;(3) 动量矩是对作圆周运动的质点而言的, 作直线运动的质点无动量矩而言;(4) 由于动量矩, 只要,不为零, 就不会为零;(5) 由于, 只要,不为零, 动量矩就不可能守恒。分析与解答 略4. 13 按照玻尔氢原子理论, 氢原子中电子绕核运动的动量矩只可能是的整数倍, 式中称为普朗克常量,已知电子圆形轨道的半径(亦称玻尔半径),求此轨道上电子的运动速度和频率。分析与解答 电子绕原子核在特定的量子化轨道上作圆周运动，由核对电子的库仑引力提供向心力。由牛顿第二定律有 式中m,e分别为电子的质量与电荷量，为真空电容率（介电常数）由动量矩量子化特征，有： （n=1，2.） 式中n为量子数，h为普朗克常数。求解式，式 ，可得容许的电子轨道半径和相应的速度为当r=r1时，n=1，则，(c为真空中光速)4.14 我国第1 颗人造卫星东方红1号沿椭圆轨道绕地球飞行, 近地点439km, 远地点2384 km, 已知在近地点的速度v1 = 8.1 km/s , 试求卫星在远地点的速度v2 和卫星的运动周期T。分析与解答 （1）求：如图所示，地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上。设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该引力总指向O点，故卫星在运动的全过程中对O点的动量矩守恒。即： 由于两者的方向一致，式可直接用大小来表示 ， 有 ：得 （2）求T：卫星径矢r 在单位时间内扫过的面积为面积速度。卫星运行的周期T即为椭圆面积S与ds/dt 的比值。由于椭圆面积为 根据开第二普勒定律，有： 不变量对近地点而言： 则面积速度为： 故 功和动能定理4.15 讨论功的物理意义, 并回答:(1) 恒力做功的表达式A=_ 。(2) 变力做功的表达式A= _。(3) 试述正功和负功的意义。(4) 用F = 10N 的拉力, 将m= 1kg 的物体沿= 30的粗糙斜面向上拉1m,已知= 0.1 , 则:拉力的功AF = ; 摩擦力的功Ar = ; 重力的功AP = ; 斜面支承力的功AN = ;合外力的功为A= 。( 5) 一个人用吊桶从井中提水, 桶与水共重15kg , 井深10m。试求: 匀速向上提时, 人做功Av = ; 若以a = 0.1m/s2 匀加速向上提, 做功为Aa = ; 比较Av 与Aa , 并说明原因。分析与解答（1）、（2）、（3）略（4）设拉力F为沿斜面向上方向。拉力所做的功 ：摩擦力所做的功 ：重力所做的功 ：支撑力所做的功 ：物体一共受到4个力的作用：重力，拉力，支撑力，摩擦力。则合外力所做的功：=（5）匀速上提时，拉力只需克服重力做功：匀加速上提时，拉力除克服重力外，还要提供加速度a。显然，这是因为匀加速上提时，不仅要克服重力做功，而且还要使物体的动能增加，需要额外多做一部分功。学会计算变力的功4.16 如何计算变力的功? 整理一下你处理此类问题的思路和方法, 然后练习下列各题。4.17 物体在沿x 轴运动过程中, 受力F = -6x 3 N 作用, 则从x = 1m 到x = 2m, F 做功为多少? 物体的动能变化了多少?分析与解答 取位移元，外力在dx 上作的元功为该变力F所做的功为由动能定理可知：动能的变化等于外力所做的功。所以，动能改变量为 ，即动能变小了。4.18 一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为M的小球。先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触。 再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为 止。求在此过程中外力所作的功。 题4.18 图4.19 质量为m= 6kg 的物体, 当t = 0 时, 从x = 0 处自静止开始沿x 轴运动, 在力Fx = 3+4xN 作用下运动了3m, 若不计摩擦, 则(1) 力Fx做功A =_ ;(2) 此时物体的速度v =_ ;(3) 此时物体的加速度a =_ ;(4) 功率P =_ 。分析与解答（1）F所做的功（2）由动能定理并考虑初始条件 ，得 （3）物体在X=3m处的加速度 （4）功率4.20 求解下列各题:(1) 质量为m 的物体自静止出发沿x 轴运动, 设所受外力为Fx = bt , b 为常量, 求在时间T(s) 内此力所做的功。(2) 物体在外力Fx = 5 + 10x(SI ) 作用下, 由x = 0 沿x 轴方向运动到x =3m 处, 求外力所做的功。(3) 一物体在介质中的运动方程为x = ct3 , c 为常量。设介质对物体的阻力正比于速度的二次方, 即。试求物体由x0 = 0 运动到x = 时, 阻力所做的功。分析与解答 （1）由加速度 得： 由动能定理 由于v0=0 ，得（2）有变力做功的计算方法，有（3）按题意，阻力欲求功，必须把它变换为f(x)。为此，有得， 又由 , 故 ： 则阻力做功为=-保守力的功与势能4.21 讨论下列问题, 检查自己的阅读效果。( 1) 何谓保守力和保守场?( 2) 保守力做功具有什么特性?( 3) 保守力的功A 与势能增量的关系A = _。( 4) 一维情况下, 保守力与势能的关系式Fx = _。( 5) 回顾一下你已接触到的力中, 哪些是保守力?分析与解答 略4.22 试分析:( 1) 势能是属于系统的, 通常又说:“某物体的势能为mgh”, 应如何理解?( 2) 教室里有一盏灯, 设m= 1kg , 离地面3m, 离天花板2m, 甲、乙、丙3 位同学计算该盏灯的势能分别为30J , 0J , - 20 J (他们均取g = 10m/s2 ) , 他们的答案正确吗? 为什么?( 3) 再请你引用甲、乙、丙的答案, 计算一下灯与地面的势能差, 从中能得到什么样的结论?分析与解答略4.23 弹性势能的表达式Ep = 。因此, 一般取 为零势能点。图示（参教材p156）一弹簧振子为l 0 , 挂一质量为m的物体后伸长x0 , 并在O点平衡, 此时的弹性势能Ep = 。分析与解答 弹性势能的表达式为一般取X=0，（即弹簧原长处）为零势能点。 如图，系统平衡时，有：或则此时的弹性势能为 4.24 计算下列两题, 体会一下势能在计算中的作用。 题4.23 图(1) 铅球m= 4kg,推铅球时,你把铅球由地面上举到肩上,需做多少功?(2) 把一根平放在地上的质量为m、长度为l 的均匀铁棒竖起来,你需做多少功?分析与解答 做功用来增加其势能。因此（1）A=mgh;(2)A= mgl /24.25 关于“恐龙灭绝”的原因至今尚无定论。有一种观点认为是6500 万年前一颗小行星撞击地球造成了这次灾难。设小行星的半径R A = 10km, 密度与地球相近为。试问它撞击地球将释放多少引力势能?分析与解答取小行星与地球为系统，它们的质量分别为 和，半径分别为和。选小行星距离地球为无限远时，为系统的零势能点。则小行星刚撞击地球时，系统的引力势能应为。因此，可求得小行星撞击地球将释放的引力势能为：机械能守恒4.26 正误题: (1) 只要始、末状态的机械能相等, 表明机械能必守恒;(2) 系统的动量守恒, 机械能必守恒;(3) 物体的动能不变, 动量也不会变;(4) 如图所示, 质量为m的物体开始不动,现以一个恒力F向右拉此物体, 当F 与弹簧的弹性力平衡时, 物体离初始位置最远,此时的弹性势能。分析与解答（1）错误。机械能守恒是指全过程中机械能时时刻刻保持不变，只有始末态机械能相等，而其他时刻机械能在变化，不是机械能守恒。（2）错误。动量守恒的条件是合外力为零，但外力的功以及内力的功不一定为零，故机械能不一定守恒，如完全非弹性碰撞。（3）错误。物体的动能不变，只说明速度的大小（速率）不变，但速度的方向可能变化，因此动量可能在变化。如匀速圆周运动的情形。（4）错误。当F与弹性力平衡时，物体不在最远位置 。4.27 机械能守恒的条件是什么? 它与系统的划分有无关系? 在下列情况下, 对哪个系统而言, 机械能守恒?(1) 小球自由下落;(2) 竖直弹簧振子上下做无阻尼振动;(3) 单摆无阻尼摆动。分析与解答 略 题4.26（4）图 题4.28 图 题4.29 图4.28 如图所示,一竖直悬挂的弹簧,劲度系数为k,下端挂一个物体,平衡时弹簧已有一伸长。若以此平衡位置为竖直y轴的原点,并作为弹性势能和重力势能的零点。试证:当物体的位置坐标为y时,弹性势能和重力势能之和为。分析与解答 物体处于平衡时,弹簧伸长了y0,有mg=k y0.并已具有弹性势能 ，若选O1为坐标原点，并作为弹性势能 和重力势能的零点，则当物体的位置坐标为y时，其弹性势能为此时，其重力势能为 因此，总势能为得证。综合练习4.29 如图所示,质量为m,速度为v的钢球,射向质量为m置于光滑水平面上的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k的弹簧。此靶最初处于静止状态,求钢球射入靶内弹簧后, 弹簧被压缩的最大x。分析与解答 建立如图所示的x坐标，这是一个沿x方向的一维碰撞问题。碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触，直至弹簧被压缩到最大，小球与靶刚好共同达到共同速度为止的运动过程。在这过程中，小球和靶组成的系统在x方向不受外力作用，因此，在此方向上动量守恒。即 式中，为小球与靶碰后的共同速度。在此过程中，除了弹性力（保守内力）做功以外，没有其他外力和非保守力做功。故系统的机械能守恒，取弹簧原长时的O点为弹性势能零点，则有 解式 ，式 得4 .30 如图所示, 在光滑的斜面上置一弹簧振子, 弹簧原长为l 0 , 劲度系数为k, 小球的质量为m。沿斜面方向取x 坐标, 并取小球的平衡位置O 为坐标原点, 当小球坐标为x时。试求:(1) 小球沿x 方向所受的合外力; (2) 系统的势能。分析与解答 小球处于平衡位置O点时，弹簧已伸长了,可知： （1）当小球坐标为X值时，在斜面方向上有重力的分力和弹性力，并考虑到式，可得它们的合力为 (2) 取O点为弹性势能与重力势能零点，则小球坐标为x时，系统的弹性势能为其重力势能为故系统的势能为 题4.30 图 题4.31 图4 .31 如图所示, 弹簧下面悬挂着质量分别为m1,m2 的两个物体A 和B , 设弹簧的劲度系数k = 8.9N/ m, m1 = 0.5kg, m2 =0.3 kg。开始时它们都处于静止状态。若突然把A, B 之间的连线剪断, 求物体A 的最大速度是多少?分析与解答 在A，B连线被剪断前，系统在位置处于平衡（如图b），此时弹簧伸长 ，则 即在A，B连线剪断后，弹簧下端只挂了物体A，系统将在位置处于平衡，则有即根据运动分析，连线剪断后，物体A将以为平衡位置上下来回振动，可见物体A通过位置时，具有最大速率。由于在运动中物体A与弹簧组成的系统只受弹性力和重力的作用，故机械能守恒，取O点（即弹簧原长处）为重力势能和弹性势能的零点，对A位于及处两状态时总机械能相等，则有 解得 4.32 在劲度系数为k 的轻弹簧两端各固定一质量均为m的木块A和B,置于光滑水平台面上,并保持静止(如图)。今有一颗质量为m、速度为v0 的子弹, 沿弹簧的轴线方向射入木块A内并一起运动。试求此后弹簧的最大压缩长度为多少?分析与解答 可分为两个运动过程。第一过程：子弹射入木块A内并一起运动，由于作用时间极短，可视为完全非弹性碰撞过程。取A与子弹为系统，并设两者碰后的共同速度为V，根据动量守恒定律，有 第二过程：A与子弹一起以速度V运动，压缩弹簧并推动B也开始运动。当A与B达到相同速度时，弹簧将达到最大压缩长度。取A，B与子弹为系统，三者的共同速度为u ，系统仍满足动量守恒定律，有 同时，在此过程中，系统的机械能守恒，即 求解联立方程，可得 题4.32图 题4.33 图4.33 如图所示, 在光滑的水平面上,有一轻质弹簧, 其劲度系数为k, 它的一端题固定, 另一端系一质量为m1 的滑块, 最初滑块静止, 弹簧呈自然长度l0 , 今有一质量为m2 的子弹以速度v0 沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中, 滑块在水平面内滑动, 当弹簧被拉伸至长度为l时, 求滑块速度的大小和方向。 分析与解答 子弹射入滑块，可看作完全非弹性碰撞过程，取子弹与滑块为一系统，由动量守恒，有 式中，为碰撞后系统的共同速度。子弹与滑块碰后以共同速度运动，由于弹簧不断伸长，系统在弹性力（法向力）作用下沿弧线运动。在此过程中，系统的动量守恒，即 式中，是滑块到达B点的速度。取子弹，滑块和弹簧为系统，由机械能守恒，有 联立解式，式，式，得速度的大小和方向分别为应用研究4.34 如图形象地展示了撑杆跳高及其能量转换的过程,请分析说明全过程中能量转换的情况, 并说明机械能是否守恒。分析与解答 A区：起跑阶段，运动员具有动能；B 区：当撑杆前端着地（处），运动员使杆弯曲时，除动能外，杆中已储存了弹性势能；C区：运动员腾空而起，绕杆端支点转动，杆由弯曲逐步变成竖直，动能，弹性势能由大变小，因重心上移，重力势能增大；D区：运动员过杆时，动能和弹性势能很小，重力势能达到最大值；由以上分析可知，在全过程中，既要克服摩擦力做功，又有人体内部非保守力做功，故机械能不守恒。4.35 某产品上有一个减摩片,由一端为半球形的小圆柱体和涂有特种涂料的衬底平板组成一对摩擦副(见图) , 请设计一个测其摩擦因数的方案。(圆柱体的直径约5mm,高约15mm)题4.34 图 题4.34 图