模糊控制及其应用

模糊控制及其应用模糊控制及其应用本课程主要内容n第一章 概述n第二章 模糊数学的相关知识n第三章 基本模糊控制器的设计n第四章 较高层次模糊控制器的设计n第五章 模糊控制软件开发工具与模糊控制芯片n实验：基本模糊控制器设计6第二章 模糊数学的相关知识2.1 普通集合及其运算规则2.2 模糊集合及其运算规则2.3 模糊关系与模糊推理 和自动控制是在自动控制理论的基础上发展起来的一样，模糊控制是在模糊数学的基础发上展起来的。只有掌握了模糊数学相关的知识，才能实现模糊控制，本章主要学习模糊数学的知识。1)普通集合的基本概念被讨论的对象的全体称作论域。论域常用大写字母U、X、Y、Z等来表示。2.1 普通集合及其运算规则论域中的每个对象称为元素。元素常用小写字母a、b、x、y等来表示。给定一个论域，论域中具有某种相同属性的元素的全体称为集合。集合常用大写字母A、B、C等来表示，集合的元素可用列举法（枚举法）和描述法表示。列举法：将集合的元素一一列出，如：A=a1，a2，a3，an。描述法：通过对元素的定义来描述集合。如：Axx0 and x/2=自然数若某集合包含论域里的全部元素，则称该集合为全集。全集常用E来表示。不包含论域中任何元素的集合称作空集。空集用来表示。设A、B是论域U上的两个集合，若集合A上的所有元素都能在集合B中找到，则称集合A是集合B的子集。记作A B。集合相等设A、B为同一论域上的两个集合，若A B，且B A，则称集合A与集合B相等。记作A=B。设A、B为同一论域上的集合，则A与B的并集 、交集 、补集 分别定义为：()AB()AB()AABu uAoruBABu uAanduBAu uA11风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低 在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。常用大写字母下加波浪线的形式来表示，如 、等。元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度隶属度或模糊度来表示。用于计算隶属度的函数称为隶属函数隶属函数。AB举例：1)模糊集合的概念隶属度隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用 来表示。隶属度的值为0，1闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。计算隶属度的函数称为隶属函数隶属函数。用 表示。()Ax()Aix 隶属度和隶属函数的表示形式看起来很相似，但是它们的意义是完全不一样的。指论域中特定元素xi属于A的隶属度，而 中的x是一个变量，可表示论域中的任一元素。()Aix()Ax12,nUx xx12(),(),(),AAAnAxxx1212()()()AAAnnxxxAxxx例：设论域U=钢笔，衣服，台灯，纸，他们属于学习用品的隶属度分别为:1，0，0.6，0.8，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示如下：100.60.8学习用品（）100.60.8=学习用品钢笔衣服台灯纸10.60.8=学习用品钢笔台灯纸如扎德给出的计算老年人模糊集合的隶属函数为:其论域为0，200的连续区间，论域上任一元素的隶属度，可通过隶属函数求得。当论域当论域U为连续区域时为连续区域时,模糊集合可用隶属函数来表示201()51()50Axx050 x50200 x当论域当论域U由无限个元素组成时由无限个元素组成时，可用扎德表示法表示AAxAx（）xU上式表示模糊集合 由论域U上无限多个元素与其相应的隶属度关系组成。对论域U上一个确定元素u0是否属于论域上的一个边界可变的普通集合A*的问题，针对不同的对象进行调查统计，再根据模糊统计规律计算出u0的隶属度。用模糊统计法确定隶属度的基本思想*00()limAnuAun的次数2)隶属度及隶属函数的确定182517301728182516351425183018351835162515301835173518251825183520301830163020351830183015251830152816281830183016301835182518251628183016301628183518351727162815281630192815301526172515361830173018351635152515251828163015281835183017281835152818301525152518301624152516321527183516251828162818301835183018301730183018351630183517251530182517301425182618291835182818301825163517291825173016281830162815301535153020302030162517301530183016301828183516301530183518351830173016351730152518351530152515301830172518291828模糊统计法举例例：用模糊统计法确定27岁的人属于“青年人”模糊集合的 隶属度。武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：表2-1 关于“青年人”年龄的调查 由张教授调查统计结果可知，共调查统计129次，其中27岁的人属于“青年人”这个边界可变的普通集合的次数为101次。根据模糊统计规律计算隶属度为：*27101(27)lim0.78129Ann青年人的次数 求取论域中足够多元素的隶属度，根据这些隶属度求出隶属函数。具体步骤为：求取论域中足够多元素的隶属度；求隶属函数曲线。以论域元素为横坐标，隶属度为纵坐标，画出足够多元素的隶属度（点），将这些点连起来，得到所求模糊结合的隶属函数曲线；求隶属函数。将求得的隶属函数曲线与常用隶属函数曲线相比较，取形状相似的隶属函数曲线所对应的函数，修改其参数，使修改参数后的隶属函数的曲线与所求隶属函数曲线一致或非常接近。此时，修改参数后的函数即为所求模糊结合的隶属函数。隶属函数的确定271010.78表2-2 1535岁的人属于青年人的隶属度由表2-1可分别计算出1535岁的人属于模糊集合“青年人”的隶属度，计算结果如下表：例：根据张南伦教授的统计结果，求 青年人模糊集合的隶属函数。根据表2-2的计算结果，以年龄为横坐标，隶属度为纵坐标，绘出隶属函数曲线如下图所示。2321182412410024.51()5xxxx青年人（）所求隶属函数曲线与降半哥西型函数曲线较相似，降半哥西型隶属函数为：11,0,01()xaxaxxa（）修改降半哥西型隶属函数参数，使其函数曲线与所求隶属函数曲线非常接近。此时取=1/25，a=24.5，=2。参数修改后的降半哥西型函数即为模糊集合“青年人”的隶属函数。即：补集补集：将集合的每一个元素的隶属度取反。设 、为论域U上的两个模糊集合。则 与 的并集()、交集（）、补集（）也是论域上的模糊集合。BAAABABAB并集并集：将对应的论域元素的隶属度两两取大。交集交集：将对应的论域元素的隶属度两两取小。2.3 模糊关系与模糊推理 关系是指对两个普通集合的直积施加某种条件限制后得到的序偶集合。常用R表示。例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）则直积集合为：AB=(1，2)(1，4)(1，6)(3，2)(3，4)(3，6)(5，2)(5，4)(5，6)对其施加ab的条件限制，则满足条件的集合为：ABab=(3，2)(5，2)(5，4)对AB施加ab的条件限制后得到的新的集合定义为关系，记做R。则：Rab=(3，2)(5，2)(5，4)。1)关系与模糊关系关系R可以用矩阵形式来表示。一般形式为：11121120()1()nijijmmmnrrrxyRRrrxyRrrr，（），其中，则对上例有：模糊关系指对普通集合的直积施加某种模糊条件限制后得到的模糊集合。记作R表示。模糊关系可用扎德表示法、隶属函数或矩阵形式来表示。当论域元素有限时，模糊关系当论域元素有限时，模糊关系R可用扎德表示法表示和模糊关系矩阵可用扎德表示法表示和模糊关系矩阵来表示。来表示。模糊关系例：设A和B为两个不同论域上的普通集合，A=（1 2 3），B=（1 2 3 4 5），对AB施加 ab的模糊条件限制后得到一个模糊关系为：0.50.810.50.80.51314152 42 535R （，）（，）（，）（，）（，）（，）或000.50.810000.50.800000.5R120()1001Rabababab，（）当论域为连续区间时，模糊关系当论域为连续区间时，模糊关系R可用隶属函数来表示。可用隶属函数来表示。(1)并、交、补运算RS()ijRr()ijSs1,2,im1,2,jnTRS并运算：交运算：补运算：max(,)()ijijijijijtr srsTRSmin(,)()ijijijijijtr srsTR1ijijtr(2)相等与包含(3)转置运算模糊关系矩阵的转置与普通矩阵的转置相似，即将行和列互相交换，记作 。TR例如：0.10.20.30.40.50.60.70.80.9R0.1 0.4 0.70.2 0.5 0.80.3 0.6 0.9TR设同一论域上的两个模糊关系矩阵，()ijRr()ijSs1,2,im1,2,jn，。若所有的 ，则称 包含 ，或 包含于 ，记作 。ijijrsRSSRRSijijrs若所有的 ，则称 与 相等。记作 。SRSR(4)合成运算回忆普通矩阵的乘法运算121231 12 41 22 51 32 6344563 14 43 24 53 34 691215192633 TR S设模糊关系 ，则 对 的合成定义为：()ijm nRr()jkn lSsSR()ikm lTt1()nikijjkjtrs 模糊关系矩阵的合成与普通矩阵的乘法运算过程一样，运算符号不同。2RR R3RR R R(1)准备知识模糊集合的直积3）模糊推理TA BAB三个模糊集合的直集定义为：()()LA B CA BCA BCL运算表示将括号内的矩阵按行写成mn维列向量的形式设 、分别为不同论域上的模糊集合，则 对 的直积定义为：ABAB例：设模糊集合(0.50.70.3)A(0.80.2)B(0.90.4)C。求A B C解：0.50.50.20.70.80.20.70.20.30.30.2TA BAB0.50.50.40.20.20.20.70.70.4()0.90.40.20.20.20.30.30.30.20.20.2LA B CA BC 复合词、否定词和联接词复合词复合词=修饰词修饰词+原子词原子词放在原子词的前面对原子词进行修饰的词。如极、非常、相当、比较、略、稍微等。表示概念的最小单位。如：好、差、胖等。3）模糊推理(1)准备知识常用修饰词的隶属函数为：极非常相当比较略稍微1.25AA相当4AA极2AA非常0.75AA比较0.5AA略0.25AA稍微集中化算子散漫化算子语气算子语气算子否定词“非”的隶属函数：联接词“或”的隶属函数：联接词“与”的隶属函数：否定词和联接词共有三个：“与”、“或”、“非”，它们是人们表达意思的常用词，为进行模糊数学的运算，定义其隶属函数如下：否定词、联接词A BABA BAB1AA(2)模糊条件语句和模糊推理三种基本类型的模糊条件语句在程序设计中，经常用到的三种条件语句if 条件 then 语句if 条件 then 语句1 else 语句2if 条件1 and 条件2 then 语句三种普通条件语句模糊条件语句简记形式if A then Bif A then B else Cif A and B then C模糊推理Zadeh推理法是假言推理在模糊事件情况下的一种近似推理方法。1AR若 ，则 ；如今 ；结论 A1B B1A扎德推理的逻辑结构结构为：Zadeh推理结构()()A BA E()()A BA C()LA B CA BC若 则 型AB1AR若 ，则 ；如今 ；结论 A1B B1A若 则 否则 型ABC若 ，则 否则 ；如今 ；结论ABC1A1B 1AR若 且 则 型ABC若 且 ，则 ；如今 且 ；结论ABC1A1B111()L TCABR对上式模糊关系，可用模糊关系矩阵表示为：上式中E为全称矩阵。相应的模糊推理为：A若 则B型(,)()()1()ABABAx yxyx()ABRA BA E11ABBAR(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，则开大阀门。模糊控制器模糊控制器条件语句AB 设 、分别是论域X、Y上的模糊集合，其隶属函数分别 为 、。又设 是XY论域上描述模糊条件语句“”的模糊关系，其隶属函数为：()Ax()ByABRA若 则B型AB相应的模糊推理结论为：A若 则B否则C型()()RA BA C1AR1B 设模糊集合 的论域为X，和 的论域为Y。则由“”条件语句所决定的在XY上的模糊关系 为：ABCRA若 则B否则C型(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，则开大阀门，否则关小阀门。ABC模糊控制器模糊控制器条件语句或（举例）设 、分别为不同论域X、Y、Z上的模糊子集，则由“”型条件语句所决定的在XYZ上的三元模糊关系为：相应的模糊推理结论为：A若 且B则C型A若 且B则C型ABC()LRA B CA BC111()L TCABR11()L TAB11()ABL运算表示将括号内的矩阵按行写成mn维列向量的形式(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，且继续快速下降，则将阀门开到最大。模糊控制器模糊控制器条件语句ABC(i)在模糊控制中，模糊条件语句的条件对应于模糊控制器的输入，语句则对应于输出。(ii)每一条模糊条件语句对应一种控制策略。(iii)控制策略模糊条件语句模糊关系模糊推理推理结论(模糊结合形式表示的输出控制量)目前我们已经学习了三种基本的模糊条件语句，简单小结如下：()()A BA E()()A BA C()LA B CA BC1AR1B 若 且 则 型ABC1AR1B 111()L TCABR若 则 型AB若 则 否则 型ABC 类型 模糊关系R 模糊推理 掌握了三种基本的模糊条件语句后，一些较复杂的模糊条件语句的模糊关系和推理结论可以在三种基本的模糊条件语句基础上扩展而得到。几种模糊条件语句的扩展if AandBthenCelseDif AthenBelseC可在上进行扩展，ifAandBandCthenD可在上进行扩展，if A andB then Cif AorBthenCorD可在上进行扩展，ifAthenB可在和上进行扩展，ifAandBthenCandDif AandBthenCif AandBthenD如：模糊条件语句扩展的基本原则是：推理结论均为模糊条件与模糊关系的合成；模糊关系扩展时，如果两个模糊集合用and相连，模糊关系中进行直积运算；如果两个模糊集合用or相连，模糊关系中进行并运算。if AandBthenCelseDif AthenBelseC可在上进行扩展，例：扩展模糊关系和推理结论：()()RA BCA BD111()L TCABR()()RA BA C1AR1B 原模糊关系和推理结论：ifAandBandCthenD可在上进行扩展，if A andB then C扩展模糊关系和推理结论：1111()L TDABCR原模糊关系和推理结论：RA B C111()L TCABRRA B CDif AorBthenCorD可在上进行扩展，ifAthenB扩展模糊关系和推理结论：原模糊关系和推理结论：()()RA BA E1AR1B()()()RABCDABE111()CABR扩展部分两模糊结合相或，用并进行运算可在和上进行扩展，ifAandBthenCandDif AandBthenCif AandBthenD扩展模糊关系和推理结论：原模糊关系和推理结论：RA B C111()L TCABR12RA B CRA BD11111112()()L TL TCABRDABR双输入多输出系统都可以用此方法进行扩展