高数第一章小结ppt课件

西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1 1、函数的定义、函数的定义记作记作的函数，的函数，是是对应，则称对应，则称则总有确定的数值和它则总有确定的数值和它按照一定法按照一定法，变量，变量集如果对于每个数集如果对于每个数是一个给定的数是一个给定的数是两个变量，是两个变量，和和设设定义定义)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因变变量量叫叫做做自自变变量量，叫叫做做这这个个函函数数的的定定义义域域数数集集yxD.),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)单值性与多值性单值性与多值性:若若对对于于每每一一个个Dx,仅仅有有一一个个值值)(xfy 与与之之对对应应,则则称称)(xf为为单单值值函函数数,否否则则就就是是多多值值函函数数.xyoxey xyo1)1(22 yx2 2、函数的性质、函数的性质西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ;)()()(为为偶偶函函数数称称xfxfxf ;)()()(为为奇奇函函数数称称xfxfxf yxoxyoxy 3xy 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。1x2x21xx)()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统.)(,)(,0,否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数成立成立有有若若XxfMxfXxMDX (4)函数的有界性函数的有界性:;),0()0,(上上无无界界及及在在 .),11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.Dx Dlx )(5)函数的周期性函数的周期性:oyx11xxy 1 T西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3 3、反函数、反函数.)()(1称称为为反反函函数数确确定定的的由由xfyxfy 0 yexy如如4 4、隐函数、隐函数.)(0),(称为隐函数称为隐函数所确定的函数所确定的函数由方程由方程xfyyxF xysinh)(1xfy sinhar x西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy 则则函数函数是一一对应是一一对应设函数设函数,)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 图象对称于直线图象对称于直线的的与与5 5、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数)(是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数）对数函数)1,0(log aaxya4）三角函数）三角函数;cosxy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统7 7、复合函数、复合函数设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域fD,而而函函数数)(xu 的的 值值 域域 为为 Z,若若 ZDf,则则 称称 函函 数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数.8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切双曲函数常用公式双曲函数常用公式西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统ararar;coshsinh22sinhxxx ;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦;tan xy 反反双双曲曲正正切切;cosh xy 反双曲余弦反双曲余弦;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx.sinhcosh2cosh22xxx ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx)(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统.,0,0 axNnNn恒恒有有时时使使1 1、极限的定义、极限的定义定定义义N 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4 4、求极限的方法、求极限的方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.利用数列和函数极限的迫敛性和四则运算法则利用数列和函数极限的迫敛性和四则运算法则;c.利用两个重要极限利用两个重要极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.f.利用等价无穷小量利用等价无穷小量.g.利用初等函数的连续性求极限利用初等函数的连续性求极限.西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)准则准则 如果当如果当),(00rxUx(或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim;1sinlim 某过程某过程.)1(lim1e 某过程某过程6 6、两个重要极限、两个重要极限西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统);(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地7 7、无穷小的比较、无穷小的比较西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设.),0,0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的是是是是就就说说如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点.1 1、连续的定义、连续的定义).()(lim200 xfxfxx 定义定义西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理.)()(00既既左左连连续续又又右右连连续续处处在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf4 4、间断点的定义、间断点的定义西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、间断点的分类、间断点的分类西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在点如果如果xfxxxf西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理 3(3(零点定理零点定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号(即即0)()(bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点,即至少有一点即至少有一点)(ba ，使，使0)(f.定理定理2(2(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf)(及及 Bbf)(,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点，使得，使得cf )()(ba .西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1010、一致连续、一致连续定义：定义：设设 是定义在区间是定义在区间 上函数，若上函数，若 使得当使得当 且且 时，恒有时，恒有 则称则称 在区间在区间 上一致连续上一致连续.)(xfI,0,021xxIxx21,)()(21xfxf)(xfI定理：定理：若函数若函数 在区间在区间 上连续，则函数上连续，则函数 在在 上一致连续上一致连续.)(xf,ba)(xf,ba西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统证明：由于证明：由于21seclim20 xxxxxxxcos12cos1lim20=xxxxcos122lim220=10 x 1.证明当证明当时，有时，有21sec2xx 21sec2xx 所以，所以，西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统7.利用等价无穷小性质求下列极限：利用等价无穷小性质求下列极限：xxxxxarctan1sin1lim0（8）解：解：202sinlimxxxxxxx2sinlim021=xxxxxarctan1sin1lim0（11）)1sin1)(11(tansinlim320 xxxxx 解：解：)1sin1)(11(tansinlim320 xxxxx=xxxxxsin213)sec1(sinlim20=621lim220 xxx=-3 西藏大学理学院数学系西藏大学理学院数学系 第一章第一章 小小 结结 高等数学高等数学 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统（2 2）若）若（对称性）（对称性），则，则8.证明无穷小的等价关系具有下列性质：证明无穷小的等价关系具有下列性质：（1）（自反性）（自反性）（3 3），则，则（传递性）（传递性），