材料力学常用基本公式

KIN.jil=9 549外力偶%ral *.b皿矩计算公式（P功率，n转速）弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面1.2.3.4.5.6.7.&9.sincr=crcHaHiiLcr =sin2or面积A,拉应力为正） 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x轴正方向逆时针转=% cueX= crens2 a = (1+cds213至外法线的方位角为正）2纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距ll；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1） Zj i-=显l ci纵向线应变和横向线应变=泊松比胡克定律A70EA cr= Ee受多个力作用的杆件纵向变形计算公式？10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式轴向拉压杆的强度计算公式e许用应力心，脆性材料%二,塑性材料%二丐5=xl00%延伸率A- A截面收缩率剪切胡克定律（切变模量G,切应变g）r = Gy拉压弹性模量E、泊松比卩和切变模量G之间关系式 21 + V）Zt =圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆“皆欝32圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T,所求点到圆心距离r）扭转截面系数（a）实心圆21.22.23.24.（b）空心圆薄壁圆管（壁厚5 R0 /10 ,R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式77申=圆轴扭转角貯与扭矩T、杆长1、扭转刚度GH的关系式 5 p同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时等直圆轴强度条件25.26.扭转圆轴的刚度条件?1 e11HIM或TGIt塑性材料T1 = 0,5 - HE ；脆性材料也=(0,8 - 1,0)rl27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式平面应力状态下斜截面应力的一般公式er = 6 十耳 +耳 巧 5理号谊2抚22工sin2or十t” cqs2ct2 29.平面应力状态的三个主应力十二6十巧-1tktan 2a.=30.（J （J主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力5二書，6二口，巧33.三向应力状态最大与最小正应力巧， 334.弘=巧_巧三向应力状态最大切应力35.勺=11 ”何 + 印）1广义胡克定律唾二*仍_呃+巧）耳二化X巧+印）1殆=i弔= ul-va2十巧）亞二巧一巧% =荷何-巧十+何_曲+何_看36. 四种强度理论的相当应力37. 一种常见的应力状态的强度条件or4 二4-Sr2 cr组合图形的形心坐标计算公式 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.截面图形对轴Z和轴y的惯性半径?A平行移轴公式（形心轴ZC与平行轴Z1的距离为a,图形面积为A）My cr = 纯弯曲梁的正应力计算公式匚横力弯曲最大正应力计算公式矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数？,几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性najt J j-轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处x 2 2 A工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式bh轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处弯曲正应力强度条件48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件弯曲梁危险点上既有正应力。又有切应力T作用时的强度条件 弔+4 cr或 % =心+3” 勻二巧/叫d3w梁的挠曲线近似微分方程 血梁的转角方程梁的挠曲线方程?佃=d.xdx 4- Cjje + Dj轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计卜 _|_ Mt算公式吧%4=生土竺cr A W偏心拉伸（压缩）込 弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式,60. 圆截面杆横截面上有两个弯矩 和皿占同时作用时，合成弯矩为M =M； +瞪61. 圆截面杆横截面上有两个弯矩和“卫同时作用时强度计算公式二占叔；+城+严兰+ 脛 +0.7572 a62.63. 弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式% = 7? + 4? = 十丐孑十4详 cr 込4二7+3?二十碍)十号诒 兰cr*各兰同64. 剪切实用计算的强度条件65. 挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式TcrTpEI67.压杆的约束条件：(a)两端铰支卩=1(b) 端固定、一端自由卩=2(c) 一端固定、一端铰支卩=0。7(d) 两端固定卩=0。568.乂屈压杆的长细比或柔度计算公式69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围E71.压杆稳定性计算的安全系数法72.cr= fl(cr压杆稳定性计算的折减系数法73. 4炉关系需查表求得3 截面的几何参数序号公式名称公式符号说明(3.1)截面形心位置J zdAJ ydAz 二，y 二cAcAZ为水平方向 Y为竖直方向(3。2)截面形心位置工z A工y Az vi i， y = p c 乙Ac 乙Aii(3。3)面积矩S =J ydA，S =J zdAZyA A(3。4)面积矩S =工Ay ,S =工Azzi iyi i(3。5)截面形心位置SSz = T， y = r cAcA(3。6)面积矩S 二 Az，S 二 Ayyczc(3.7)轴惯性矩I = J y2dA， I = J z2dA zyArA(3.8)极惯必矩I = J p 2dA PA(3。9)极惯必矩I = I +1pzy(3.10)惯性积I = J zydAzyA(3。 11)轴惯性矩I = i2 A， I = i2 Azzyy(3.12)惯性半径（回转半径）7 lIi= a 1 z，i=九 iyz Ay A(3.13)面积矩轴惯性矩 极惯性矩惯性积S =工S，S =SSzziyyiI=工I，I =工 IzziyyiI =工 I ，I =工 Ippizyzyi(3.14)平行移轴公式I = I + a2 AzzcI = I + b2 AyycI = I + abAzyzcyc4 应力和应变序号公式名称公式符号说明(4.1)轴心拉压杆横 截面上的应力NA(4。2)危险截面上危 险点上的应力N b=maxA(4.3a)轴心拉压杆的 纵向线应变Al = l(4。 3b)轴心拉压杆的 纵向绝对应变Al = l l = .1 1(4。 4a)(4。 4ab胡克定理b = Eb =E(4.5)胡克定理A7 N.lAl = EA(4。6)胡克定理Al = l =Z Niil i iEAi(4。7)横向线应变Abb b = bb(4。8)泊松比（横向 变形系数）V = = V(4.9)剪力双生互等 定理T =Txy(4.10)剪切胡克定理t = Gy(4.11)实心圆截面扭 转轴横截面上 的应力T = T p Ip(4.12)实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力TRT=max IP(4.13)抗扭截面模量 （扭转抵抗矩）IW T R(4.14)实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力TT=maxWT(4。 15)圆截面扭转轴的 变形T .1申=GIP(4.16)圆截面扭转轴的 变形yy T1Q = ZyiiiGIPi(4.17)单位长度的扭转 角， o= TlGIP(4.18)矩形截面扭转轴 长边中点上的剪 应力TTTmax WPb3TW是矩形截T面W的扭转抵T抗矩(4。19)矩形截面扭转轴 短边中点上的剪 应力T yT1max(4.20)矩形截面扭转轴 单位长度的扭转 角TT9 GIGab 4TI是矩形截T面的I相当极惯T 性矩(4.21)矩形截面扭转轴 全轴的扭转 角TlQ91 Gab 4a,卩,y与截面咼宽 比h / b有关的参数(4.22)平面弯曲梁上任 一点上的线应变6=兰P(4。23)平面弯曲梁上任 一点上的线应力Eyo P(4。 24)平面弯曲梁的曲 率1 MP - EIz(4。 25)纯弯曲梁横截面 上任一点的正应 力Myo =Iz(4。26)离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力M. yO= maxmaxIz(4。 27)抗弯截面模里 （截面对弯曲 的抵抗矩）W = 1z ymax(4。28)离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力Mo=maxz(4。 29)横力弯曲梁横截 面上的剪应力VS *T =丁IbzS *被切割面z积对中性轴 的面积矩。(4.30)中性轴各点的剪 应力_ VS *Tz maxmaxI bz(4.31)矩形截面中性 轴各点的剪应力3VT=max 2bh(4.32)工字形和T形截 面的面积矩S* = Y A* y*zi ci(4.33)平面弯曲梁的挠 曲线近似微分方 程EIv ” = -M (x)zV向下为正X向右为正(4.34)平面弯曲梁的挠曲线 上任一截面 的转角方程EI v = EI 0 = -J M (x)dx + Czz(4。35)平面弯曲梁的挠曲线 上任点挠度方程EI v = -ii M (x)dxdx + Cx + D z(4。36)双向弯曲梁的合成弯 矩M = dM 2 + M 2*zy(4.37a)拉（压）弯组合矩形 截面的中性轴在Z轴 上的截距i 2a = z =z0zpz ,y是集中pp力作用点的 标(4.37b)拉（压）弯组合矩形 截面的中性轴在Y轴 上的截距i 2a y -y 0 yp5 应力状态分析序号公式名称公式符号说明（5。1）单元体上任意截面上的正 应力C +CC -Cc =y + *y cos2a -t sin 2aa22x（5。2）单元体上任意 截面上的剪 应力c -ct =sin2a +t cos2aa2x（5。3）主平面方位 角2ttan 2a =l(a 与t 反号)0 c C0xxy(5.4)大主应力的 计算公式C +C1C= xy + 1max2lc c、2+ T 2xI 2 J(5.5)主应力的计 算公式C +C:C xy c C、xy2+ T 2xC maxI 2 J（5。6）单元体中的 最大剪应力C CT= 13-max2(5.7)主单元体的 八面体面上 的剪应力T =C J2 +(C C 丄 +(C C 丄3121323(5.8)以面上的线 应变8+8 8-8 丫8 =y + y cos 2a + xy sin 2aa 2 2 2(5.9)以面与a +90 o面之间的角应变y = -(8 -8 )sin2a + y cos2axyxyxy(5。10)主应变方向公式ytan 2a 二xy0 8 -8xy(5。11)大主应变18 +8 |8=y + |max2l8 -8、2 y 2 + xy4J 2 J(5.12)小主应变8 +88xy18 -8、xy2 y 2+ 4max2J 2丿(5.13)Y的替代公xy式y 28-8 -8xy45xy(5.14)主应变方向 公式tan2a028-8 -84c0xy8 -8xy(5.15)大主应变f8 +8 18 + 丨max 2 飞r8 -8 xAC02+8 -8450J 2丿245 uJ 2 J(5。16)小主应变j8 +8 18xy 8 -8 、x4 502+8 -8、450J 2丿2max 2 j 2丿(5.17)简单应力状 态下的胡克 定理QQQ8 x , 8 V x ，8 V xx E yEzE(5。 18)空间应和状 态下的胡克 定理8 -丄x E8 -丄 y E8 -丄z EQ -vC +QxyzQ -V(Q +Q MyzxQ -vC +Qzxy(5。19)平面应力状 态下的胡克 定理（应变形8 丄(Q -VQ )xExy式）8 二丄( -VQ )y E yx8zV二(Q + Q )E xy(5.20)平面应力状 态下的胡克QxE /、二(8 +V8 )1 V 2 xy定理（应力形QE /、二(8 +V8 )1 V 2 yx式）yQ = 0z(5。21)按主应力、主8 =Q V(Q +Q M应变形式写1E 123出广义胡克 定理8 =2Q V(Q +Q ME 2318 =3Q V(Q +Q ME 312(5。22)二向应力状 态的广义胡81 / 、二一 (Q vq ) 1 E 12克定理81 / 、 二(q vq )2 E 218V二(Q +Q )E 12(5。23)二向应力状CTE /、二(8 +V8 )1V212态的广义胡Q1克定理Q1E /、二(8 +V8 )1V 212Q2E /、二(8 +V8 )1V221Q = 03(5.24)剪切胡克定 理t = Gyxyxyt = Gyyzyzt = Gyzxzx6 内力和内力图序号公式名称公式符号说 明(2.1a)(2。 1b)外力偶的 换算公式NT 二 9.55 enNT = 7.02 en(2。2)分布何载集度 剪力、弯矩之 间的关系dV (x),q (x) dxq （x）向 上为正(2。3)dM (x)、二 V (x) dx(2。4)d 2M (x)() ,一 q( x)dx 27 强度计算序号公式名称公式符号说明（6。1）第一强度理 论:最大拉应 力理论。G二f （脆性材料）当1丿“八：、时，材料发生脆性断G二f *.（塑性材料）1u裂破坏。(6.2)第二强度理 论：最大伸长 线应变理论。G -V（G+G ）二f （脆性材料）当123ut1时，材G -V（ G +G ）二 f *（塑性材料）123u料发生脆性断裂破坏.(6.3)第三强度理 论:最大剪应 力理论。G -G二f （塑性材料） 当13丿1时，材料发生剪G -G = f （脆性材料）13uc切破坏.(6.4)第四强度理 论：八面体面当剪切理论.il -c+ （c -c+ （c -c L f （夕2121323y |费性材料）脆性材料）I1 G -c+ （c -c+ （c -c=f （2121323uc时,材料发生剪切破坏。（6.5）第一强度理 论的相当应 力G *1 1（6。6）第二强度理 论的相当应 力C* =C -V（ c +c ）2123（6。7）第三强度理 论的相当应 力c* = c -c313（6。8）第四强度理 论的相当应 力cri* = -Uc -c+G -c+G -c4Y 2121323（6。 9a）由强度理论 建立的强度 条件c * c （6.9b）（6.9c）（6.9d）由直接试验 建立的强度 条件c c t maxtc Q c maxcT T max（6。 10a）（6。 10b）轴心拉压杆 的强度条件N r . c = = Q t maxAt|N| c= c c maxAc(6。 11a)(6。11b)由强度理论建立的扭转轴的强度条件=o =T = o (适用于脆性材1 max |WtT料)o* = o v( o +o )=2123V (0 T) = (1 +V)T o maxmaxmaxt(6.11c)TmaxT= WT醫（适用于脆性材料）=t Ct )= 2t omaxmaxmax(6。 11d)TT =maxo（适用于塑性材料）(6.11e)由扭转试验建立的强度条件(6.12a)(6.12b)2=E2 maxo )2 + (o o )2 + (o o )211213230+ G +Tmax=揺 o max+ (TTmax maxTmax = W 冒（适用于塑性材料）TTT = T max WT平面弯曲梁的正应力强度条件ot maxM r = o W tZoc max(6.13)平面弯曲梁 的剪应力强 度条件VS *T= Z max W T maxI bZ(6.14a)(6。 14b)平面弯曲梁 的主应力强 度条件o * = Jo 2 + 4t 2 o 3o * = Jo 2 + 3t 2 o 4(6.15a)(6。 15a)圆截面弯扭 组合变形构 件的相当弯 矩i M2 + M2 + T2 m *o * = o o = Zy = 3-313WWIo* = E o+ (o o+ (o o4*2121323M2 + M2 + 0.75T2m *=_Zy = 4WW(6。 16)螺栓的抗剪 强度条件4 N t = t n兀d 2(6。 17)螺栓的抗挤 压强度条件Nr o b = o b c d 工 tc(6。18)贴角焊缝的 剪切强度条 件N.t = t w 0.7h 工 lffw8 刚度校核序号公式名称公式符号说明(7。1)构件的刚度 条件AAmax 11/l(7.2)扭转轴的刚 度条件0 - T 0 max GIP(7.3)平面弯曲梁 的刚度条件Vmax V ll9 压杆稳定性校核序号公式名称公式符号说明（8.1）两端铰支的、 细长压杆 的、临界力的 欧拉公式兀2 EI P -cr12I取最小值（8。2）细长压杆在厂兀2 EI1 计算长度。不同支承情P -0况下的临界cr屮.1 ）2卩-长度系数；力公式1 卩.10一端固定，一端自由：卩2一端固定，一端铰支：卩0.7两端固定：卩=0.5（8.3）压杆的柔度九ii -是截面的惯性 A半径（回转半径）（8。4）压杆的临界 应力Pb crcu A兀2 Eb cu九2（8.5）欧拉公式的 适用范围九n九兀1 P f1 P（8。6）抛物线公式 E 当xx 兀丨时，c 计 0.57 f九 b - f 1 -a（）2 cry九cf -压杆材料的屈服极 y限；a 常数，一般取a - 0.43九P = A = f i (丁 MA crcry九c(8.7)安全系数法 校核压杆的 稳定公式PP F = P kcrw(8.8)折减系数法 校核压杆的 稳定性P二一 A申一折减系数p=茴，小于110 动荷载序号公式名称公式符号说明(10.1)动荷系数“PNaAdPNaAjjjjP一何载 N-内力 a -应力A 一位移 d-动 j静(10。2)构件匀加速 上升或下降 时的动荷系数K = 1 + dga加速度 g重力加速度(10。 3)构件匀加速 上升或下降 时的动应力a = K a = (1 + )a dd jgj(10.4)动应力强度条件a= K a a d maxd j maxa -杆件在静何载作用的容许应力(10.5)构件受竖直方向 冲击时的动荷系 数12 HK = 1 + ,1 + dV awjH下落距离(10。 6)构件受骤加荷载 时的动荷系数K = 1 + Jl + 0 = 2 dH=0(10.7)构件受竖直方向 冲击时的动荷系 数11V 2K = 1 + 1 + dl gAv-冲击时的速度(10.8)疲劳强度条件o Q = #maxpKo -疲劳极限Po卜疲劳应力容许值 pK疲劳安全系数11 能量法和简单超静定问题序号公式名称公式（9.1）外力虚功：W = PA + PA + M 9 +. = Y PAe1122e3 3i I（9。2）内力虚功：W 二工JMd9 工JVdAY 工JNdAl-ZfTd申llll（9。3）虚功原理：变形体平衡的充要条件是：W + W = 0e（9。4）虚功方程：变形体平衡的充要条件是：W =-We（9。5）莫尔定理：A 二工J M d0+Zj- dAy+Zf N dAl + ZJ T dpllll(9。6)莫尔定理：A Zf M MZf KV VZf NNZf T T ,A J dx + Jdx + Jdx + Jdxl EIl GAlEAlGIP（9.7）桁架的莫尔定理：工 NNiEA（9.8）变形能：U二-W （内力功）（9.9）变形能：U二W （外力功）e（9.10）外力功表示的变形能：11 11U 二一 P A+ P A+ 一 P AP A2 1122 22i i2iI（9.11）内力功表示的变形能：A2（ X） dx + Zf KV 2（ X） dx + 刃2（ x） dx + 工卩2（ x） dx i 2EIi 2GAi 2EA/ 2GIP（9。12）卡氏第二定理：人auA =iapi（9。 13）卡氏第二定理计算位移公式：am dMkv avn aN,tst,A =厶dx + 厶Jdx + 厶Jdx + 厶JdxiiEi apiGA aplEA apiGiapiiipi（9。 14）卡氏第二定理计算桁架位移公式：A y N SN7A =yliea a pi（9。 15）卡氏第二定理计算超静定问题：A M aMdx = 0 Byi EI SRB（9。16）莫尔定理计算超静定问题：A =工严 Mdx = 0Byl EI（9。17）一次超静定结构的力法方程：5 X + A = 0 11 11P（9.18）X1方向有位移A时的力法方程：5 X + A = A1111p（9。19）自由项公式：A 刃气Mpdx1Pi EI（9。20）主系数公式：5-Ef dx11i EI（9。21）桁架的主系数与自由项公式：5-Ef 111i EAA -Ef N1 Nl1Pi EA1、2、3、4、5、6、7、r4材料力学公式汇总应力与强度条件拉压剪切挤压maxmax挤压圆轴扭转平面弯曲maxQ t maxc maxmax挤压maxmax挤压工TWt斜弯曲maxmaxmax拉（压）弯组合t maxmaxt maxcmaxmaxmaxmaxt maxcnaxTmaxt maxaamaxaac max注意：“5”与“6两式仅供参考圆轴弯扭组合：第三强度理论第四强度理论M 2 + 0.75M 2wn2 2 + 3t2 =变形及刚度条件ac max拉压AL =NL=Z Ni L.EAEAN (x)dxEA扭转TLGIiT (x )dxGIGI弯曲r3a 2 + 4t2nvM 2 + M 2GI1800a/m(1) 积分法：EIy (x) = M (x)Ely(x) = EIQ (x) = f M (x)dx + CEly (x) = J J M (x)dxdx + Cx + D(2) 叠加法:f (p , p ) = f (p )+f (p )+,Q(p , p )= Q(p )+0(p )+ (3) 基本变形表(注1 意2 ：以下各1 公式2均指绝对值，1使2 用时1要根2据具体情 况赋予正负号)AA0PL16 EI0B0AML, o3EI AML6 EI0B=0AqL24 EIqL4力影响，其他变形与此相似，不予写出）0 = MLo = pL20 =理B EIB2EIB 6EIf =ML2f =pLf =此B2EIB 3 EIB 8 EITT M 2L - M 2L = J M 2 （x加 U =Z i J -2EI2EI2EIi5）卡氏第二定理（注：只给出线性弹性弯曲梁的公式）& dU 寸 M C) QM C) dx i = Qp =EI Qp三、应力状态与强度理论1、二向应力状态斜截面应力-b4 cos 2a -t sin 2a-bxy4 sin 2a +t cos 2axytg2a0-2txyb - bxy2、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角bb +b : b -bmax =4土 (一x4)2 +t 2b22xymin3、二向应力状态的极值剪应力I.Q QT =（14）2 +T 2max2xy注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为45。4、三向应力状态的主应力：Q “ “123最大剪应力：T =Qi3max 25、二向应力状态的广义胡克定律TY = xxxy G1）、 表达形式之一（用应力表示应变）8=(G-pG )8=(G-pG )8= -(G+G )x E x y y E y x z E x y2)、 表达形式之二(用应变表示应力)E1 -p 2(8+ p8 )xyJ(8一 y1-p2+ p8 )xTxy6、 三向应力状态的广义胡克定律7、Ex+g3zC, y, z)TY =xy G强度理论(1) G =G GQ=Qb r111n(2) G =g-g Gr 31 3G r 2 =G 1 -込 2 +G 3 )G丄28、 平面应力状态下的应变分析Gr41 -G2)2 +G2 -3)2 +xp 中长受压杆九xxps若把直杆分为三类)冗2 EI冗2 Ep =g =cr(pL )2cr九 2g = a 一 b 九cra”O=O 或 Ocrsb九=座冗2 E九=入iP O卡p（圆截面i = d ,矩形截面iz 4 mina Ob亠(b为12短粗受压杆xxs2、关于柔度的几个公式3、惯性半径公式：王 A 短边长度）五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程AT + AV = AU冲击系数 K = 1 + ；1 +业（自由落体冲击） d l A 击）StKdgA水平冲std a =Dbh3hb31212bh 2hb 266六、截面几何性质1、惯性矩(以下只给出公式，不注明截面的形状)I Jp 2 dA =心也JP3232T|兀d4冗D4(JI = J y2dA =1 -a4z6464I兀d3兀D3(4)W = l =1 -a 4 丿zy32322、惯性矩平移轴公式I = I + a2 Az zc