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第3课时 三角形的三种重要线段的概念及特征三角形的三种重要线段的概念及特征 名称名称 概念概念 图形图形 特征特征 角平角平分线分线 在三角形中，在三角形中，一个内角的角一个内角的角平分线与它的平分线与它的对边相交，该对边相交，该角顶点与交点角顶点与交点之间的之间的_ 三角形的三条三角形的三条角平分线交于角平分线交于_.1=2 1=2 线段线段一点一点名称名称 概念概念 图形图形 特征特征 中线中线 连接三角形一连接三角形一个顶点与它对个顶点与它对边边_的线段的线段 三角形的三条三角形的三条中线交于中线交于_._.BD=CDBD=CD 高高 从三角形的一从三角形的一个顶点向它的个顶点向它的对边所在的直对边所在的直线作垂线，顶线作垂线，顶点和点和_之间之间的线段叫做三的线段叫做三角形的角形的_，简称三角形的简称三角形的_ 三角形的三条三角形的三条高线所在的直高线所在的直线 相交于线 相交于_._.ADBC ADBC 中点中点一点一点垂足垂足高线高线高高一点一点探究：探究：三角形的三条高的关系：三角形的三条高的关系：如图，画出锐角三角形、直角如图，画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高三角形和钝角三角形的三条高.锐角三角形的三条高相交于三角形锐角三角形的三条高相交于三角形_部的部的_个点个点.直角三角形的三条高相交于三角形的直角三角形的三条高相交于三角形的_._.钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形_部的部的_个点个点.【归纳【归纳】三角形的三条高所在的直线相交于一点三角形的三条高所在的直线相交于一点.【点拨【点拨】三角形的角平分线、高、中线都是线段三角形的角平分线、高、中线都是线段.内内一一直角顶点直角顶点外外一一【预习思考【预习思考】三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗？三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗？提示：提示：不是不是.它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线线段，而角的平分线是一条射线.三角形的三种重要线段区分三角形的三种重要线段区分【例【例1 1】(9(9分分)如图，在如图，在ABCABC中，中，BCABCA是钝角，完成下列画图，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示：并用适当的符号在图中表示：(1)ABC(1)ABC的角平分线；的角平分线；(2)AC(2)AC边上的中线；边上的中线；(3)AC(3)AC边上的高边上的高.【规范解答【规范解答】如图所示：如图所示：(1)BE(1)BE为为ABCABC的角平分线，可表示为的角平分线，可表示为ABEABECBECBE ABCABC，或或ABCABC2 2ABEABE=2=2CBECBE.3 3分分特别提醒：特别提醒：ABCABC的的ACAC边上的高在三角形外，边上的高在三角形外，不要画在三角形内，注不要画在三角形内，注意在垂足处标上垂直符意在垂足处标上垂直符号号.12(2)BD(2)BD为为ACAC边上的中线边上的中线,可表示为可表示为ADADCDCD ACAC.6 6分分(3)BF(3)BF为为ACAC边上的高边上的高,可表示为可表示为BFBFACAC于点于点F F，或，或AFB=90AFB=90.9 9分分12【规律总结【规律总结】三角形的三种重要线段识别的两点注意三角形的三种重要线段识别的两点注意(1)(1)不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者的区分的区分.(2)(2)注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的三角形三角形,三角形的高可得到垂直关系或直角三角形的高可得到垂直关系或直角.【跟踪训练【跟踪训练】1.1.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，D D，E E，F F是是BCBC边上的三点，且边上的三点，且1=2=3=41=2=3=4，AEAE是哪个三角形的角平分线是哪个三角形的角平分线()()(A)(A)ABEABE(B)(B)ADFADF(C)(C)ABCABC(D)(D)ABCABC，ADFADF【解析【解析】选选D.D.因为因为2=32=3，所以，所以AEAE是是ADFADF的角平分线的角平分线.因为因为1=2=3=41=2=3=4，所以，所以1+2=3+41+2=3+4，即，即BAE=CAEBAE=CAE，所，所以以AEAE是是ABCABC的角平分线的角平分线.2.2.如图，如图，ACBCACBC，CDABCDAB，DEBCDEBC，垂足分，垂足分别为别为C C，D D，E E，则下列说法不正确的是，则下列说法不正确的是()()(A)AC(A)AC是是ABCABC的高的高(B)DE(B)DE是是BCDBCD的高的高(C)DE(C)DE是是ABEABE的高的高(D)AD(D)AD是是ACDACD的高的高【解析【解析】选选C.C.选项选项A A的说法符合高的概念，故正确；选项的说法符合高的概念，故正确；选项B B的说的说法符合高的概念，故正确；选项法符合高的概念，故正确；选项C C，DEDE是是BDCBDC，BDEBDE，EDCEDC的高，不是的高，不是ABEABE的高，故错误；选项的高，故错误；选项D D的说法符合高的概念，的说法符合高的概念，故正确故正确.3.3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是么这个三角形是()()(A)(A)锐角三角形锐角三角形(B)(B)钝角三角形钝角三角形(C)(C)直角三角形直角三角形(D)(D)都有可能都有可能【解析【解析】选选C.C.一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是直角三角形点，则这个三角形是直角三角形.【变式备选【变式备选】下列说法正确的是下列说法正确的是()()三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分三角形的三条角平分线都在三角形内部；线都在三角形内部；三角形三条高都在三角形的内部三角形三条高都在三角形的内部.(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)【解析【解析】选选B.B.正确；而对于三角形的三条高：锐角三角形正确；而对于三角形的三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上，一条的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上，一条在内部；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部在内部；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部.故故错误错误.三角形中三条重要线段的综合应用三角形中三条重要线段的综合应用【例【例2 2】(7(7分分)已知在已知在ABCABC中，中，CCB,B,ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，AEAE平分平分BACBAC，试说明试说明DAE=(C-B).DAE=(C-B).【规范解答【规范解答】因为因为ADBC,ADBC,所以所以BDABDA=90=90,所以所以BAD=BAD=9090-B-B.2 2分分12又因为又因为AEAE平分平分BAC,BAC,所以所以BAE=BAE=BACBAC=(180=(180-B-C),-B-C),4 4分分所以所以DAE=BAD-DAE=BAD-BAEBAE=90=90-BB-(180-(180-B-C)-B-C)=90=90-BB-90-90+B+C+B+C=CC-BB=(C-BC-B).7 7分分特别提醒：特别提醒：不要直接不要直接在在ADEADE中求中求DAE.DAE.1212121212121212【互动探究【互动探究】利用角的和差求利用角的和差求DAEDAE，还有其他方法吗？，还有其他方法吗？提示：提示：还可以求还可以求DAE=CAE-CAD.DAE=CAE-CAD.【规律总结【规律总结】三角形的角平分线和高的综合应用的一般思路三角形的角平分线和高的综合应用的一般思路先确定欲求角在哪个三角形中，然后由角平分线或高确定角的先确定欲求角在哪个三角形中，然后由角平分线或高确定角的数量关系，最后由三角形的内角和求出相关角的关系或度数数量关系，最后由三角形的内角和求出相关角的关系或度数.【跟踪训练【跟踪训练】4.4.如图，如图，ADAD，BEBE都是都是ABCABC的高，则与的高，则与CBECBE一定相等的角是一定相等的角是 ()()(A)ABE(A)ABE(B)BAD(B)BAD(C)DAC(C)DAC(D)C(D)C【解析【解析】选选C.C.在在BECBEC和和ADCADC中，中，CC是公共角，是公共角，ADC=BEC ADC=BEC=90=90，所以，所以CBE=DAC.CBE=DAC.5.5.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADBCADBC，AEAE平分平分BACBAC，若，若1=301=30，2=202=20，则，则B=_.B=_.【解析【解析】因为因为AEAE平分平分BACBAC，所以，所以1=EAD+21=EAD+2，所以，所以EAD=1-2=30EAD=1-2=30-20-20=10=10，RtRtABDABD中，中，B=90B=90-BAD-BAD=90=90-30-30-10-10=50=50.答案：答案：50501.1.把三角形的面积分为相等的两部分的是把三角形的面积分为相等的两部分的是()()(A)(A)三角形的角平分线三角形的角平分线(B)(B)三角形的中线三角形的中线(C)(C)三角形的高三角形的高(D)(D)以上都不对以上都不对【解析【解析】选选B.B.三角形的一条中线把三角形分成两个等底同高的三角形的一条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的三角形，所以把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线中线.2.2.下面四个图形中，线段下面四个图形中，线段BEBE是是ABCABC的高的图是的高的图是()()【解析【解析】选选D.D.线段线段BEBE是是ABCABC的高的图是的高的图是D.D.3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，BCBC边上的高是边上的高是_；在；在ADCADC中，中，DCDC边边上的高是上的高是_；在；在EBCEBC中，中，ECEC边上的高是边上的高是_._.【解析【解析】ABCABC是钝角三角形，是钝角三角形，BCBC边上的高是边上的高是ADAD；ADCADC是直角是直角三角形，三角形，DCDC边上的高是直角边边上的高是直角边ADAD；EBCEBC中中,EC,EC边上的高是边上的高是BG.BG.答案：答案：AD ADAD AD BG BG4.4.如图，如图，ADAD为为ABCABC的角平分线，的角平分线，DEABDEAB交交ACAC于点于点E E，若，若BACBAC5858，则，则ADEADE_._.【解析【解析】因为因为ADAD为为ABCABC的角平分线，所以的角平分线，所以BAD=BAC=29BAD=BAC=29.又因为又因为DEABDEAB，所以，所以ADE=BAD=29ADE=BAD=29.答案：答案：2929125.5.如图，如图，ACBACB中，中，ACB=90ACB=90，1=B.1=B.(1)(1)试说明试说明CDCD是是ABCABC的高；的高；(2)(2)如果如果AC=8AC=8，BC=6BC=6，AB=10AB=10，求，求CDCD的长的长.【解析【解析】(1)(1)因为因为1+BCD=901+BCD=90，1=B1=B，所以，所以B+BCD=90B+BCD=90，所以，所以CDB=90CDB=90，所以所以BDCBDC是直角三角形，即是直角三角形，即CDABCDAB，故，故CDCD是是ABCABC的高的高.(2)(2)因为因为ACB=CDB=90ACB=CDB=90，所以所以S SABCABC=AC=ACBC=ABBC=ABCD.CD.又因为又因为AC=8AC=8，BC=6BC=6，AB=10AB=10，所以所以CD=.CD=.1212AC BC6 824AB105
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