非线性的传染的传染病

若干具有非线性传染力的传染病模型的稳定性分析陈军杰(浙江大学 数学系，浙江 杭州 310029)摘 要：讨论了具有常数迁入和非线性传染力的三类传染病模型，即 SIRI 模型， SIRI 框架下 的DS模型及SIR框架下的DI模型。给出了它们基本再生数R0的表达式，证明了 R0 1时地方病平衡点的存在唯一性。关键词：传染病模型；非线性传染力；Liapunov函数；全局稳定性中图分类号： O175.1MR 分类号： 92D30；34D23文献标识码： A0引言大多数传染病模型都假定易感类是同质人群或染病类是同类人群，因而常常忽 视易感类的不同易感性或染病类的不同传染率1-21,3 讨论了具有标准传染率的SIR 框架下的 DS (differential susceptibility)模型和 DI (differential infectivity)模型，4 讨论了具有双线性传染率的SIR框架下的DI模型.本文则讨论具有非线性传染力的 SIRI模型，SIRI框架下的DS模型和SIR框架下的DI模型，这里的第一及第三个模 型可分别视为5及4相应模型的拓展，具有非线性传染力的传染病模型的研究意义 及近期文献可看5-8.1 SIRI 模型及定性分析把人群分成三类，即易感类，染病类，恢复类(或潜病类)，他们的人数分别记 为S,I和R (均为时间t的函数)，于是，总人口为N = S + I + R. 5在总人口不变 的前提下建立和分析了具有非线性传染力的SIRI模型，如果我们让总人口 N变化， 则可得如下模型：S = A-f (S) I - dS,I，= Pf(S-(d + v +o)l + 8R,(1.1)R = vI-(d + e + 8)R,这里A表示易感类的常迁入率，d为每一类个体的自然死亡率，和e分别表示染 病类和恢复类的病死率，v为染病类转化为恢复率的转化率，5为恢复类的免疫失去 率，参数e假设为非负常数，其余诸参数假设都为正常数，(S)表示一个染病者基金项目：浙江大学科技发展基金(107000-544301)所具有的非线性传染力，且f (S)满足以下的条件(H)(参见5,6):(H1)当 S g 0, +)时，f (S) 0; f (0)二 0；(H2) f(S)G C10, +a);当 S g (0, +s), f(S) 0.一些常用的f （s）的特殊形式是（可看5,8,9）:f (S): aSb, b 0;-bS, a, b 0, n 1;a+SnG e bS),a, b 0;aS=1 + bS + y1 + 2bS, a, b 0;1 e bS1 + aebS, a, b 0.应当提及的是，这里的f （S）以线性传染力作为其特殊情形（此时相应的传染率 即为双线性传染率） .由系统（1.1）易得有关N的方程：N，二 A dN aI eR .上述有关N的微分方程暗示R3中的系统（1.1）的所有解将趋近或进入或停留+在 R +3 的子集中：D 二 &I, R ） g R 3 : S +1 + R 1 ,则系统（1.1 ）在D中存在唯一的地方病平衡点Q1（S * ,1 *,R *）/）（）证 令系统（1.1）的右边为零，得到地方病平衡点t ,I*, R*儿*0丿应满足的方程组： dS * )/pf (S*), d+e d + a + d + e + oR*-v I * = 0, 丿d + e +o因为I *丰0,故有d + a +/ (d + e作辅助函数g &)=Pf (S)-d +a +市忑-v则当Ri 1时，g（A Ad）= +a + d+5 叽- 0,又 g（0） 0,于是由 f 在0N）内的连续性及严格递增性可知存在唯一的s* e（0,A/d）,使得gS*丿=0,又I * =(a dS *gf (S *), R* =V I * d + e +8故系统（1.1）在Di中存在唯一的地方病平衡点Qi).以下给出本节的主要结果：定理1.2如果叫 1，则P是不稳定的，唯一的地方病平衡点Q1G,I*,R*）在 D -S,I,R）e D : I = 0）U Is,I,R）e D : R =。中是全局稳定的.1 1 18证 作Liapunov函数L = I +R,贝Id+e+8L = gf(S)-f/ + e8 -v + d +ajI. j d + e + 8丿fd + e ）当R 1时，注意到f （S）的严格递增性可得 L d +a+ - v -1Jd + e + 8 丿6 - 1）I 1时，注意到f （S）的连续性，易见在D中的点P的充分领域内，也 0）n 0非11空，因而点P是不稳定的.下证R 1时地方病平衡点Q的全局稳定性.注意到系 1 0 1统（1.1）等价于:R R:R *丿:R R *S = P f (S) f (S *)I M G*)( I *) d G S *) =P f(S ) f (S *)I 5R:f 早I*R =(d + e + 5)R *f I I作 Liapunov 函数 V =*S*+ f (S*I I: -1: In由计算可得：f (S*)R - R: -R: ln IR :丿VQ-0 f (S)- f 6*)2 -1 -d(S -S*)f(S)- f G*)(*)f Q)仃-1R R:R * R R *-R J2 dS S *)f (S ) f G *) 51:IRR *丿由于f(s)在0严)内严格递增，又fQ)0，故V是D：=Di-衣,1,R)e D : I =。 S,I,R)e D : R = o内的正定函数，V是负定函数并且* *-=.又使得V二0的最大正不变子集R*V二0的充要条件为S = S*且 I*为Q(S:,I:,R*),于是由Laselle不变原理知Q在D:中是全局稳定的. 1 1 12 SIRI 框架下的 DS 模型及定性分析在上一节的SIRI模型中，如果把易感类按易感性的不同再细分为n类(n 2),则可得相应的 DS 模型：* R * 丿S = A 卩 f（S）I - dS , i = 1,n, i i i i ii2.1）I，=工卩 f（S ）-（d + v + a ）I +8r,i i iR = vI -（d + e + 8）R,这里A表示第i类易感类的常迁入率，并记Ai = A（A 0）, 0 f（S）表示与第iii i ii=1i类易感类接触的每一个染病者所具有的非线性传染力，且f（S ）（i = 1,n）也满ii足条件（H）.由系统（2.1）易得有关N的方程：N = A - dN-aI - eR.容易证明ii=1iiD =（S，,S ,I,R）e R n+2 : Y S +1 + R A/d,S A /d,i = 1,n 21 n是系统（2.1）的正不变集.显然，系统（2Q总有无病平衡点P2,0,0 ,记丿R =工卩 f（A /d）/d +a +2i i ii=12.1 无病平衡点的全局稳定性和不稳定性定理 2.1当R2 1，点P是不稳定的.22证 注意到系统（2.1）等价于Sr = -0 f（S ）- f（A /d）I + 0 f（A /d）- d（S - A /d） i = 1,n, ii i i i ii i ii iT = I工 0 f（S ）- f（A /d +1工 0 f（A /d）-（d +a + v）I +8R,i i i i ii i ii =1i=1R = vI-Vd + e + 8R,r a oj ldx +1 + R,d + e +o作 Liapunov 函数L 丄云7A fi（x）- di =1 i idLI工卩f（Al/d）O- fii=1 i i2 d工 f（A / d）ii =1I I经计算可得：f（S ）- fi ii-v 帆-1）I,+ d +a+ d + eId + e + oii由条件(H)知f(X)在0,+s)内严格递增，又f (a /d) 0，故L是D上的ii i2正定函数而L是负定函数且L =0的充要条件为1 =0且Si =令C = 1,n),又使得L = 0的最大正不变子集为点P，于是由Laselle不变原理知点P在D中是2 2 2 全局稳定的.当r 1时，易见在d中点p的充分小领域内，o)nb0非空，从2 2 2而点 P 是不稳定的.22.2 地方病平衡点的存在性和全局稳定性由上一小节可知为R 1的前提下讨论地方病平衡点的存在性与稳 2 2 2定性，我们首先将给出系统(2.1)存在地方病平衡点的一个引理，然后给出如果地 方病平衡点存在，则必是全局稳定的一个定理，最后将两者结合得到一个推论.引理2.2在R 1的前提下，如果存在iG i n)对Vj(1 j 0, k = 1,n)时，系2kk k统(2.D在D2中必存在地方病平衡点.证令系统（2.1）的右边为零得到地方病平衡点G：，,s；,1 *,r*）6*工o）应满足的方程组：/ )A -卩 f s * - dS * = 0, i = 1,n,i ii才 B f * - (d + v + a)I * + Or * = 0,i i ivI * - (d + e + o )R * = 0,由最后二个方程消去R*，并注意到I*0,可得:Y 卩 f ( *)-fi=11d + ed + a + vd + e + o丿(2.2)由第一个方程可知S*北0,消去I*可得:A - ds a - ds一】 , )p f /s *B 八:丿j j ji i i/由引理2.2的条件可知，由方程FG ,S)= p f丄4 dS )卩f(S )()i jj j j ii i i iA(-dS =)0 可 确 定 唯 一 的 连 续 可 微 的 隐 函 数 S = S (S ):(0,A /d)T G,A /d)，且S (0)= 0,S(A /d)= A /d(j 丰 i,1 j n),再利用(2.3)式可jj(2.3)ji知：S*j把(2.4)式代入(2.2)式可得：p f (s *)+Ep f s G*)-=S M 丰 i,1 j 1 时，G(A /d)=P f (A /d)+P f (A /d)-2 ii i ij j jj担d +a +d + e v |(R -1) 0 ， 又利用 f (0)= 0(1 i n)可知 d + e + o I 2iG(0)=B f G)+y P f(0)-iid +a+ d + e -v 0，于d + e + 8 丿是利用 GS ）的连续i性可知，存在 S *ijjj知e（0, A / d ）使得gG *）= 0,再利用（2.4 ）式可得对任意的ij 丰 i6 0,从而此时系P f S*i i i统（2.1）的地方病平衡点存在.再证本引理的后半部分，只需证当f Cx)= c x(c 0,k = 1,n)时引理2.2 kk k前半部分的条件成立.记 = c P (k = 1,n)， = max .由相应的方程kk ki 1 j 0,k = 1,n），当R 1时系统（2.1）的地方病平衡点在D*中是kk k22全局稳定的.注：用类似的方法可以研究相应的SI或SIR框架的DS模型，其结果也是类似 的3 SIR 框架下的 DI 模型及定性分析有些 SIR 框架的模型，其染病类（或感染类）不是同质的（如艾滋病，疟疾， 登革热等3，）,此时需要把染病类再细分为n类，下以艾滋病的DI模型为例分析之, 其它这样类型的模型可类似分析. 参照3的相应模型，可建立起具有非线性传染力的 如下新模型：S = A - cf (S 迟 0 I dS,(3.1a)iii=1I = cp f (S)S 0 I - (d + v)I , i = 1,n(3.1b)iii ii ii=1=工AvI -nI ,j jA3.1c)i=1这里A，d的含义同第一节的模型，I表示第i类感染类的人数，p表示新产 ii生的感染者属于第i类感染类的可能性0 p d）, c表示单位时间内接 触配对的平均数（可参10,13）,邙f（S）表示一个第i类的感染者所具有的非线性 i传染力G = 1,n），f（S）也满足条件（H）.由于艾滋病人的性活动不再积极，因而可忽视方程（3.1c）,以下我们只对系统（3.1a） （3.1b）进行分析.记N = S + 工I，由（3.1a）与（3.1b）易得ii=1N = A - dN - HvI.ii i=1容易证明D =（S）w R n+i： S + XI A / d|是系统（3.1）的正不变集.3 I n +i=1 i J显然，系统（3.1a） （3.1b）总有无病平衡点P3（4/d,0,0），地方病平衡点 的存在唯一性由阈值 R 确定：3R3 = f (A / di=1i3.1 无病平衡点的全局稳定性定理3.1当R 1时，点P是不稳定的.33证 作 Liapunov 函数L = c工巴L,d+vi =1i-1忆 P I ,iii=1经计算可得:L = cf(S 迟 PiP id+vi =1i以下的过程可参考定理1.2 的证明,这里从略.3.2 地方病平衡点的存在唯一性和局部稳定性定理 3.2/(i)如果R 1,则系统(3.1a)( 3.1b)在D中存在唯一的地方病平衡点( 3 ) 33 1 n(ii)在(i)的条件下，点Q是局部渐近稳定的.3定理3.2()的证明令系统(3.1a) (3.1b) 的右边为零，可得地方病平衡点*, I*，,I*施满足的方程组Y *丰0,i 1,2,n丿：1 nii10 I * dS * 0, ii(3.2)cp f C *Ep I * (d + v* 0, i 1,n, ii ii ii1由( 3.2)与(3.3)易得(3.3)p (A dS*)I * ii d + vi利用(3.3)及定理3.1证明过程中用到的L函数，容易得到3.4)P.0 .(3.5)ii 1 d + vi -1i则当R3 1时由类似于引理1.1的证明方法可得存记 g(S )- cf (s 1,d + vi 1i在唯一的S*wG, A/d),使得g(S*) 0，再结合(3.4)即得系统(3.1a) (3.1b)在D3中存在唯一的地方病平衡点Q3 W* M：，M；定理3.2(ii)的证明 记在唯一的地方病平衡点Q3处，系统(3.1a) (3.1b)右边的 Jacobian 矩阵为J七f1，,E血，11，-d cfl近一 cp 广G*Eb i * 1i iicp 广 G*E-P f(S*) cp p f 6*)-0+v)-卩 f G *)cp P f C *)1ncp P f C *)n1cp卩fnnG *)- (d + v )n作辅助矩阵 M：100p10M = ip00n直接计算可得：一-d - cf & *P I * +iiipPiiiMJM -i 二pv11-cpfG*)cp fG*)-Cd + v )01pvnn-(d + v )n记E = MJM -1,则矩阵J的所有特征根均有负实部等价于矩阵E的所有特征根均有负实部。设九为矩阵E的特征根，并设相应的特征向量为X =Cr ,x，,x），则0 1 nEX二九X，于是有-d - cf (* 近 P I * + cf (* 近 p P x - cf (* 近 P x j jj j 0j jj=1j=1j=1jj0j=i=Ax ,0p v x 二 W + v + A, j 二 1,2,，n,j j 0jj3.6)3.7)x p v由(3.7)可知-I (j = 1,n2 代入(3.6)式即得: x d + v + A0j-d - cf 氐逅 P I * +jjj=1pPjjj=1cf(S逅pF儿d+v +Aj=1=A3.8)记九=a + ib（a,b e R）贝I由（3.8）式可得-d - cf 氐逅 0 I cf（S 逅 p 0 - cf（S 逅二 a + ib,冃 j j冃 j j冃9+ Vj + ah + b2比较上式的实虚部可得：/、a + d + cf上広 0 I一 eft逅 p 0 + cfG広_+丫丿 + = 0,冃 j j冃 j j冃。+ : + + b 2p 0 Vj 冷-1b = 0.+ v + a 交 + b 2j3.9a）3.9b）为完成证明，我们先证以下二个引理.引理A矩阵E不存在非负实特征根证首先注意到矩阵E有正的实特征根九二a当且仅当方程（3.9a）当b = 0时有一个正根 a .定义 G（a）= a + d + cf （*0 I*-cfG*Ep 0 + cfG*E jj jj jj jd+v +aj =1j =1j =1j利用（3.5）式可得：G（0）= d + cf 0 I:- cf G 逅p 0 + cf jjjj=1jj=1vjjd+vj=1j=cf （*0 I* 0,jjj=1又当 a 0时，有G f（a ）= 1 - cf G *逅 1 - cf G= 0,d+vj=1jp0vj_-+v + dj=1j于是G（a）在0,+Q内严格递增，又G（0） 0，因此当a 0时，G（a） 0，因此矩阵 E 不可能有非负实特征根.引理B矩阵E中具有非负实部的特征根皆为实根. 证 假设a 0且b丰0，利用（3.5）式易得：p.A 1-0/ 1 = 0 d + vjp p vp p v、1+ v + ab + b2+ v + a2jj再结合（3.9b）即得b二0，这与假设矛盾，因此引理A成立.综合引理A和B,可得E的所有特征根从而J的所有特征根均有负实部，这样就得到系统（3.1a） （3.1b）的唯一地方病平衡点Q是局部渐近稳定的.33.3 地方病平衡点的全局稳定性在上一节我们证明了 R 1时系统（3.1a） （3.1b）存在唯一的地方病平衡点3且是局部渐近稳定的，这一小节中我们将给出当R 1时这个地方病平衡点也是全3局稳定的结果.定理3.3 如果R 1，则系统（3.1a ） （ 3.1b ）的地方病平衡点3Q （*，八,/D，D U（S,I，,I ）g D : I 二 o中是全局稳定的.31n33匸11”3i证 由（ 3.5）和（ 3.4）式可得：沁二右&止d + v jS*d + vjk知kp _ p c j 12Gi _k i,k _ 1,2,n+ v ）1 * d + v ）1 *i ik k3.10）3.11）利用（3.10）和（3.11），可知方程（3.1b）等价于:I _（di_ cd+ c（d + v ）f（S）工 pik Hiq d+v+ c（d + v ）I * f（S）工旦匕iik_1p I p I i_k k_id + v丿ikp p仃I d + v I I *I * ,k k i定义 I * I * lnii1ii_1 j_1bij3.12）甘宀人#(o) p P P I*其中 b = c2 fS)一k i k i- jd + vk利用(3.11)式计算可得：+ b = c2p p f(SL-jii k I I *bijc 2 p p p I *i i kkd + vi又方程定义c2 p p p I * =i_+ kikVd + v )I Ii i k I I * ii-i* 丿Iiiip I * I I * k_i iid + v Iki*.八 i I *kkI*I */*丿i3.13)P I * I I *i_k kJd + v I 丿ik I* Ii匸 kI *I *ikI*k丿(3. la)等价于=cf(S) f G*)工P I dG S*) cf QEpCiii=1由计算易得:SV =2piIi,iii=1V2I *kkIk丿3.14)I*)i3.15)作Liapunov函数V =匕+ V?,则由(3.12) (3.15)式并结合计算得到:V = V + V12i=1 k =1i i k* / *由条件（H）可知f（S）在0,+）内严格递增且非负，从而V是D*中的正定函3/ - /* / - /*数，V是负定函数并且V = 0的充要条件为S = S*且一i = k k ,又使得/ */ *V 二0的最大正不变子集为竽* 4*，叮从而由Loselle不变原理知Q 3在 D； 中是全局稳定的.参考文献1 Moghadas S M. 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For thefirst or the third model, it is also proved there exists an unique endemic equilibrium whenKey words: Epidemic models; nonlinear infectious force; Liapunov function ; Global stability