数学分析第三章极限与函数的连续性ppt课件

为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 极限与函数的连续性极限与函数的连续性为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一一 割圆术：割圆术：刘徽（公元 3 世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为 Sn当 n 越来越大时，Sn 越接近于圆的面积。即：求圆的面积就要看当 n无限增大时，Sn 的变化趋势这就是数列的极限。1 1 极限问题的提出极限问题的提出如图所示,可知nS nnnrcossin2),5,4,3(nrn为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二二 瞬时速度瞬时速度 以前（中学）一般讨论平均速度：需以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻讨论一个运动的物体在某一时刻 t 的速度的速度（设为瞬时速度）（设为瞬时速度）的变化趋势，的变化趋势，v思想：时间段思想：时间段 t,t+h上的平均速度上的平均速度 ，让时间段越来越小，让时间段越来越小，就越来越接近于就越来越接近于 vv让让 h 无限变小，研究无限变小，研究v这就是函数的极限。这就是函数的极限。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2 数列的极限数列的极限 定义域为正整数的函数称为数列，记为xn即有(),nxf nnNxn 是数列的第 n 项，也叫做数列的通项。数列也可表示为123,nx x xx定义定义3.1为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1nnxn写出来就是 3 4 52,2 3 42nxn写出来就是 1，4，9，16，11nnx ，写出来就是 0，2，0，2，关心的是：当无限增大时，nx的变化趋势。1nxn写出来就是 1 1 11,2 3 41nnxn写出来就是 11 11,23 4例如例如为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1、极限的概念nx=1n容易看出，当n无限增大时，nx无限接近于0，因而nx的极限为0。nx=(1)nn当nnx的极限也是 0。无限增大时，它的值时而为正，时而为负，但总的趋势仍然是无限的接近于0这个数，因此例例1例例2n无限增大时，nx越变越小，无限的接近于1，因此nx的极限是1。nx=1nn即3 4 5101 1022,2 3 4100 101当例例3为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益nx=2n并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。当n无限增大时，2n也无限增大，1(1)nnx 一个常数，因此也没有极限。它在0和2两个数中不停的跳动，前三个数列的特点：当n无限增大时，nx的值无限地接近某个数 .a例4，例5中的数列没有极限。“当n无限增大时，nx无限接近于a”是什么意思?例例5 5例例4 4也不是无限地接近为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益以数列以数列1n 为例：当为例：当n无限增大时，无限增大时，1n无限接近于无限接近于01n与与0可以任意接近，要多近有多近可以任意接近，要多近有多近10n可以任意小，要多小有多小可以任意小，要多小有多小10n总能小于总能小于任给一个正数任给一个正数，无论多么小，无论多么小，只要只要n足够大足够大(充分大充分大)无限用任意性无限用任意性来反映来反映为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益0.1分别对分别对(只要只要n 10),0.001(只要只要n 1000)尽管尽管0.00001“很小很小”，但毕竟是确定的数。要描述，但毕竟是确定的数。要描述10n可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，10n才行。这也能够做到。从才行。这也能够做到。从110nn可知只要可知只要1n即可。也就是说即可。也就是说 取取1N ，当，当nN时，时，10n即从第即从第1N 项以后的所有项都满足项以后的所有项都满足10n例：例：都可以做到都可以做到.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益综上：“当n无限增大时，1n无限接近于0”的实质是：对任意给定的（无论它多么小），总存在一个正整数N（例取1N ），nN时，10n.将上面的语言抽象化，有下面定义：正数当 nx是一数列，a是一实数，若对于任意给定的正数 ,存在正整数N，当nN时，都有 nxa,则称 a为数列 nx nx收敛，且收敛于 ,a记为 limnnxa或()nxa n的极限。或数列定义3.2为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益没有极限的数列称为发散数列。nx的极限为 ”的几何意义“数列aaa1Nx2Nx1xa为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（不一定去找满足要求的最小的 ）几点说明：几点说明：1.使用邻域概念：开区间(,)aa称为a的邻域，记为(,)O alimnnxa对任意给定的0，存在N，当nN时，nx(,)O a 定义中 必须具有任意性：这样才能保证nx与a但为表明渐近过程的不同阶段，又具有相对固定性。即是通过无限多个相对固定性表现出来的。的无限接近，的任意性这就是任意与固定的辨证关系。的某个函数也可有同样作用。3.2.定义中，自然数 不是唯一的。若存在0N满足要求，0N任一自然数都能起到0N的作用，N则比大的所以强调自然数的存在性4.N为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益下面看几个例子：证明 1lim0(0).pnpn证明：对任意给定的0，要使，只要11pn.取111pN,则当nN10pn1pn的极限为0.时，有故110ppnn例例6为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1q，证明lim0nnq证法1：若0q，结论显然成立。故不妨设0.q 对任意给定的0，不妨设1，要使0nnqq，即lglgnq只要 lglgnq，令lg1lgNq，则当nN时，有nq.这就证明了lim0nnq设证法2：0.q 由1q 知存在0，使得11q，从而 1111.1nnnqnn对任给的0，要使nq，只要放大后的1n.因此取11N，则当nN时，有10nnqqn这就证明了 .lim0nnq不妨设例例7为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益极限为0的数列称为无穷小量。下面给出非常重要的定义：nx的极限为a 的充要条件是：nxa是无穷小量。命题命题3.13.1定义定义3.33.3值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数.由极限的定义显然有,以a为极限等价于数列以0为极限.我们把它写成下面的命题 nxnxa为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益从前面的例子可见，N的过程，nxa出发，看满足条件的N是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。0nq 适当放大到1n于是我们很容易找到N当然放大要适当，要保证把nxa放大后仍然是无穷小量。整个证明过程实际上是找采用的是反推法，即从证明2用的是适当放大法，它将为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益(0)a 证明lim1nna证明：若1a 结论显然成立。1a .记1(0)nnna ，则 (1)1.nnnnnnann 因此1nnaan对任意给定的0，不妨设1，取aN ，则当nN时，有1naan最后设01a。这时存在1b 使1ab，因此11111nnnnnbabbb由于lim1nnb，故对任意给定0，存在N，当nN时，有11nnab这样我们证明了当0a 时，总有lim1nna设例例8为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明221lim12nnnn证明：当4n 时，222222213324122244nnnnnnnnnnnnnn对任意给定的0，取4max 4,N 则当nN22142nnnn即221lim12nnnn时，有例例9为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2、极限的四则运算与性质寻找求极限的方法lim,lim,nnnnxayb则)ilim;nnnxyab)ii limnnnx yab)iii lim(0)nnnxabyb定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。设定理定理3.13.1为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益给出收敛数列的两个性质：称数列 nx有界，若存在正数MnxM对一切的n成立，等价于：若存在,A B，使得nAxB，又称,A B分别为 nx的下、上界。，使得定义定义3.43.4为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（有界性）有极限存在的数列必有界。定理定理3.23.2若 nx无界，则 nx发散。推论推论3.13.1证明设数列 nx有极限a.由定义，对 01则存在N,当 nN，时有1nxa 因此1nnnxxaaxaaa 令12max(,1),NMxxxa则,1,2nxMn这就证明了 nx是有界的。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明：由lim0,nnxa知对02a0，存在N,当 nN时，有2naxa，从而022naaxa证毕。（保号性）若lim,0nnxa a，则存在N，当nN时，有 02nax 设limna)i若0a 则存在N，当nN时，有02nax)ii若0a 则存在N，当nN时，有02nax 证明：)i 由limna0知对002a 存在N当 nN时，有2naxa 即有 022naaxa推论推论3.23.2定理定理3.33.3为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理3.1的证明：)ii对任意n，有nnnnnnx yabx yx bx bab.nnnnnnnx yx bx babxybb xa任给0，由limna及limnnyb由定理3.2，知存在0M，使,1,2,.nxM n又知存在1N，当1nN时，有,21nxab并存在2N，当2nN时，.2nybM令12max(,),NN N则当nN时，有nnnnnx yabxybb xa221MbMb这就证明了limnnnx yab有根据极限定义，为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益)iii由lim0nnyb，根据推论3.2，存在1N，当1nN时，有02nby从而当1nN时，有212nnnnnnnbxayb xaa ybxaybybb已知lim,lim,nnnnxayb由极限定义，对任意给定的0存在2N，当2nN时，有4nbxa存在3N，当3nN时，有241nbyba为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益若limnnybc，是常数，则lim()nncycb若 nx是无穷小量，ny是有界数列，则nnx y是无穷小量。由定理3.1知，无穷小量的代数和、积仍是无穷小量。推论推论3.33.3定理定理3.43.4令123max(,),NN NN则当nN时，有222nnnnaxaxaybybbb22这就证明了lim(0)nnnxabyb为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 求1limsinnnn解 因为1lim0nn，sinn是有界数列，1limsin0nnn例例1010而所以为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益求2241lim256nnnn解 2241lim256nnnn2214lim562nnnn221lim 456lim 2nnnnn2214lim2562limlimnnnnnn例例1111更一般的，若000,0,abk l是正整数，则kl101101limkkkllnla na nab nbnb1010limkkk lnllaaannnbbbnn00,0,aklbkl为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 （保序性）若lim,limnnnnxayb，且,ab则存在N当nN时，有nnxy（用定理3.3的证明方法）对02ab，由lim,nnxa知存在1N当1nN时，有,2nabxa则有 2nabx又由limnnyb 知存在2N，当2nN时，有2nabyb则有2naby12max(,)NN N，则当nN时，有.2nnabyx令 nnnzxy，则 limlim()0nnnnnzxyab由定理 3.3 知,存在,N当nN时，有02nnnabzxy即 nnxy，这又证明了定理3.5 证法2证法1定理定理3.53.5,令（用定理3.3的结论）0,3a b取或02()3a b如何?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理3.6（极限不等式）若对任意的正整数 n，有lim,nnxa且,nnxy则.abnNab证明 用反证法。如果不然,设,a b，当N，与假设条件矛盾，故必有nnxy则由定理3.5，存在时,有如果条件注意到数列的前有限项并不影响数列的极限，因此定理3.6的条件可以减弱为“存在 ，当 时,有Nn Nnnxynnxy改为,nnxy并不能得到ab的结论。lim,nnyb为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例如11nnnn，11limlim1nnnnnn可见结论也只能得到ab定理3.6表明，在极限存在的前提下，可以在不等式两边取极限，但千万不要忘记“带上等号”。但为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理3.7（唯一性）若数列极限存在，则极限是唯一的证明用反证法。如果不然，设 nx有极限a和b，ab不放设,ab对02b a，存在1N，当1n N有时,2nbaxa同样存在2N，当2n N时有,2nbaxb故当12max,nN N时，有,2nnbaxabx这是不可能的，这就证明了极限的唯一性。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益azynnnnlimlim)2(定理定理3.8.夹迫性夹迫性),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件(2),0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azannnnzxya a,axn故.limaxnn,2N为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例12设,nnnnxAB其中limnnxA0AB求证证明22nnnnnnnnAAABAA由于lim21,nnAAA 而由定理3.8即得limnnnnABA为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例13证明lim1nnn证法1当1n 时，1nn 令1nnnh 0nh 其中这时2(1)12(1)nnnnnn nnnhhhnh 2(1)2nn nh因此21nhn故21111nnnhn 已知22lim1 1 lim1,11nnnn 由定理3.8得lim1nnn为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1n 时，由平均值不等式得 而由定理3.8得lim1nnn当211nnnnnn2221,nnnnnn 22lim(1)1,nnn 证法2为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（单调有界原理单调有界数列存在极限）nx(要证有极限，到目前只能用定义才可能可行，然后再证这个数就是 nx的极限.)单调上升有上界的数列必有极限。单调下降有下界的数列必有极限证明：设数列单调上升有上界一个合适的数如何确定?想到实数基本定理。定理定理3.93.9故要先确定需要构造实数得一个分划：A|B为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益令B B是nx全体上界组成的集合，即|,1,2,3,nBb xb n取A=RB,则A|B是实数R的一个分划：事实上,不空：nx有上界，知B不空，又nx单调上升，故11x 不是nx的上界,所以11x A任取,aA bB（往证 ),ab因 a不是nx的上界，所以存在0n使0nax，又b为nx的一个上界，故0nxb，所以ab由，即A也不空由A=RB 知A，B不漏不漏：不乱：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益根据实数基本定理，存在R，使得对任意,aA bB，有ab 下证limnnx任给0（要证：N，当nN时，|nx）由于A，即不是nx的上界，故存在N，使Nx，又nx单调上升,所以当nNNnxx又2B，即2为nx的一个上界，故对任意 n，有2nx所以当nN时，有nx，即|nx这就证明了limnnx为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益单调有界原理只断言极限存在，而没有给出如何求出极限。但即使只给出极限的存在性，有时已能提供计算的方法。设1212,22,2nnxxxx222,2,3,n求nx的极限。例14解 显然nx单调上升，下面用数学归纳法证明nx有上界.122x.若2,nx 则12222nnxx,故nx从而必有极限。设极限为a，由212nnxx令n，即得22.aa解得1a 或2a 由于2nx，故必有2a。舍去1a 故lim2nnx单调上升有上界，显然为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益注:上述例14中的数列是一个递推数列（迭代数列），一般定义1()nnxf x在求此数列的极限时，极限存在性的前提是非常重要的。(1)nnx ，它的极限不存在，但是它满足1nnxx，令n 两边取极限，使得aa 即0a 最后看单调有界原理的一个重要结果，例如考察数列，这显然是荒谬的结论证明数列11nn的极限存在.记这一极限为e，即1lim 12.71828nnen例15证明见45页为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益注:前面从几个方面（特别是定义）叙述 nx的极限是 a如何用肯定的语气叙述“nx不是以a为极限”limnnxa对照极限的定义，根据任意与存在的对应规则，逐步分解来找：limnnxa对任给0，存在N，当nN时，|nxalimnnxa不成立存在某个00不存在N，使当nN时，|nxa存在00存在0n，满足0,nN但|onxa总之：limnnxa存在00，对任意的N，存在0nN使00|nxa不成立”?对任意的N，或“为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无穷大量3、在发散的数列中，有一种特殊的数列 ：当n无限增大时，nx也无限增大。例如：2,2nn我们称这种数列为无穷大量，仿N语言，有定量化的定义。定义 3.4设 nx是一数列，若对于任意给定的G0，nN时，有|,nxG 则称 nx是无穷大量,limnnx 或()nxn 存在正整数N，当记为nx为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益从几何上看，无穷大量是指任意给定区间,G G必然从某项1Nx起，后面的所有项都落在区间,G G之外。换句话说，数列 nx至多有N项1,x2,Nxx落在区间,G G之中。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明 2nnx对任意给定的G0,不妨设G2，要使|2|2nnnxG 即ln2lnG,只要ln.ln2Gn 令lnln2GN，则当nN时，有|2|nG，即 nx是无穷大量.limnnx 和limnnx 的定义，分别称 nx为正穷大量和负无穷大量.例16：是无穷大量。证明类似给出为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例17 证明2limnn 证明 对任意给定的 0G ，不妨设1G ，要使2nG ，只要nG,取NG，则当nN时，有2nG故2limnn nx非无穷大量的肯定叙述：0000,:,GNnnN使00|.nxG由此证明：1，0，2，0，3，0，,n，0,不是无穷大量。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无穷大量的运算法则和性质：1、无穷大量和无穷小量的关系：nx是无穷大量当且仅当1nx是无穷小量。2、若 ,nnxy是正（负）无穷大量，则nnxy是正（负）无穷大量。3、若 nx是无穷大量，ny是有界量，则nnxy是无穷大量。4、若 nx是无穷大量，ny满足：存在N，当nN时，有|0ny，则nnx y是无穷大量。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例18 若lim0,limnnnnxay，则limnnnx y 证明 由lim0nnxa，则存在1N，当1nN时，有|02nax 由limnny，则对任意给定的0G，存在2N，当2nN时，有2|nyGa令12max(,),NN N 则当nN时，有|2nnnax yyG，所以limnnnx y 例19221lim34nnnn 证明由于234lim021nnnn，利用无穷大量和无穷小量的关系即得证。证明为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益综合上例：设000,0ab时有00101101,lim0,kkkllnlaklba na naklb nbnbkl