《圆与正方形》——冯赛弟

圆与正方形教学设计 南海区丹灶镇中心小学 冯赛弟教学背景：南海区小学数学骨干班的老师到杭州上城区挂职培训期间，到时代小学蹲点学习，在学习期间，接受时代小学数学老师的教学新理念，并结合南海区教学的方向与时代小学学生的实际情况，上了一节圆与正方形的研究课。（这一节课的内容，在人教版没有，但是可以在互联网上搜索“浙教版”六年级上册教材（新思维），即可找到相关的教学内容。在教学这一课时中，老师可以上网收索不同的教材进行对比，例如：网上比较容易收索的版本有北师大版、人教版、浙教版与青岛版。上课老师可以把不同版本的教材进行对比，根据自己所教学生的实际情况，调整教材，提高课堂的教学效率。教学课题：圆与正方形教学内容：浙教版p71-72页教学目标：知识目标：1、让学生能在正方形内画一个最大的圆与在圆内画一个最大的正方形。2、通过探究，知道正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积比是：4；圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的比是：2。能力目标：1、通过让学生在正方形内画一个最大的圆与在圆内画一个最大的正方形，培养学生的作图能力与分析能力。2、通过探究，使学生发现正方形的内切圆与外切圆与正方形的面积关系，培养了学生的探究意识与能力。情感态度与价值观目标：通过合作探究，让学生经历探究的整个过程，体会探究数学知识的乐趣，体会获取成功的喜悦。教学重、难点：通过探究，知道正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积比是：4；圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的比是：2。教材分析：圆与正方形这一课时是浙教版六年级上册第三单元p71-72页的一节思维训练课。（这一节课的内容，在人教版没有，但是可以在互联网上搜索“浙教版”六年级上册教材（新思维），即可找到相关的教学内容。在圆这一单元中的一节思维训练课，知识点难度较大。第一个难点就是作图：先作正方形内接圆，然后通过已知圆画出圆的外切正方形；还有一个就是画出圆的内接正方形。第二个难点就是研究两种关系：1、通过让学生计算多个正方形与它内接圆的面积及它们的面积比。让他们观察表中的数据，发现圆与它外切正方形的比是:4。2、通过让学生计算多个圆与它内接正方形的面积及它们的面积比。并发现圆与它内接正方形的比是:2。然后运用这两个知识点解决实际问题。需要学生把上一节课的知识圆的面积学得抓实，迁移到这节课，又要把这一节课的新知识与旧知识融会贯通，灵活运用，对学生的要求较高。教学方法：讨论、操作、迁移、优选法教学准备：预习导航一份、课件教学过程：一、以旧引新1、复习圆的面积公式 2、口答下面各圆的面积（结果用几表示） 2 3（指导学生直径是3，面积是()=，让学生知道圆的直径是奇数时，在这一节课中，求面积是最好化成分数计算比较方便。）【设计意图：学生在这一节课之前，没有学过分数的平方的就算方法，()不会算成，只会算1.5的平方是2.25，然后在乘，导致在下面探究正方形与它的内切圆的面积时，把大部分的时间都浪费在繁琐的计算中，所以在这里，指导学生用分数的平方计算，可以又快又对，又省时。】二、 交流预习导航内容（用实物平台投影）（一）汇报第一题1、在正方形内作一个最大圆，你是怎样作的？你能说一说你是怎样确定这个圆的圆心和半径的？（要收集学生不同操作方法，让学生判断哪一种方法是正确的，并优选最优方法,让学生指出做错的学生错在哪里。） 2、请你完成书p71 第一题。让学生到实物投影中展示自己的作图，并回答半径是多少？半径与正方形的边长有什么关系？板书d=a r=【设计意图：让学生了解正方形的边长与它的内接圆的半径之间的关系，为一会儿探究正方形与它的内接圆面积的关系埋下伏笔。】3、先画直径分别是2cm，3cm，4cm的三个圆，在分别画出三个正方形，使这三个正方形刚好能够分别盖住这三个圆。1）这句话你怎样理解？（画出的图形是怎样的？）2）按上面的理解，盖住圆的正方形的边长是多少？（展示）（让学生说出各圆的半径分别是多少？正方形的边长是多少？）那么画出的这个正方形和圆的面积有什么关系？下面我们一起来研究它们的关系。课题（圆与正方形）【设计意图：这一题对题意的理解与作图都有一定的难度，所以要先引导学生分析题意，运用第一题的知识点迁移到第二题，让学生理解叙述的方式不同，但是作出来的图形是一样的。】三、 实践探究，发现规律。1、请你计算下面正方形与和它内接每个的圆的面积并完成p71表格（注：圆的面积计算结果用几表示，计算圆的面积时，如果不是）正方形边长/cm12345a正方形的面积/cm圆的面积/cm圆与正方形的面积比（引导学生理解边长是1cm的正方形，圆的半径是cm）2、观察表中数据，你有什么发现？（小组讨论）追问：是不是任意一个正方形内接一个圆，它们的面积比都是:4呢？a代表什么数？（a可以代表任何数非0的数）学生汇报后小结：1)边长逐渐增大，正方形的面积逐渐增大，圆的面积越大。2)任意一个正方形内接圆，圆的面积与正方形面积的比是:4【设计意图：让学生认真观察,把自己的发现说出来,与同学们一起分享,既能发散学生的数学思维,又能培养学生的合作交流的能力，又可以张扬学生的个性。】3、既然在一个正方形内接一个圆有这样的面积关系，那反过来，在一个圆内画一个最大的正方形，它们的面积又有什么关系呢？(1)请大家先交流昨天我们在预习纸上第二题的内容。老师在课件出示一个圆，说一说：在圆内画一个最大的正方形，应该怎样画呢？学生汇报：在圆内画两条互相垂直的直径，然后把两条直径与圆上的四个交点连接，画出一个正方形。(老师展示作图的方法，并集体订正)4、如果圆的半径是5cm，你可以怎样求正方形的ABCD的面积？看谁想到的办法多？52=10（cm）方法一：10522 =50 （平方厘米） 方法二： 5524 =50（平方厘米） 方法三：10102 =50（平方厘米） 圆内接正方形面积是外切正方形的面积的一半。方法四：105=50（平方厘米）两个小等腰直角三角形合起来是一个小正方形，两个小正方形起来是一个长方形，长10厘米，宽5厘米。（学生可能出现的错误想法）1010=100（平方厘米）10厘米不是正方形的边长，而是对角线。哪一种计算起来最简便？（把方法三与方法四推荐给学生，让学生选用简单的计算方法。）【设计意图：这一道题是知道圆的半径，求圆的内接正方形的面积，学生还没有学过，他们常常会把直径当做正方形的边长求正方形的面积，所以引导学生分析题意，运用求两个三角形的面积合起来求正方形的面积。由于这一道题解题的方法很多，所以在这一环节中，让学生用不同方法解答，培养学生发散思维能力，并引导学生怎样选择最优的方法。】 5、请你计算出下面各圆内接正方形的面积并填写书本P72第5题的表格（注：圆的面积用几表示）。圆的半径/cm12345a圆的面积/cm正方形的面积/cm圆与正方形的面积比观察表中数据，你发现什么？学生汇报：圆与正方形的面积比:2四、拓展应用1、我们刚才学习了圆与它的外切正方形面积之间的关系与圆与它的内接正方形面积之间的关系，请你想一想同一个圆，它们的外切正方形与内接正方形的面积之间有什么关系呢？（看书72页第二题）让学生独立思考，然后汇报。讨论：大正方形与圆的比是多少？圆与小正方形的比是多少？从而推出大正方形与小正方形的比是多少？（1）学生汇报的方法方法一：大正方形的边长8厘米大正方形面积64平方厘米，小正方形的面积是32平方厘米，它们的比是2:1大正方形的边长10厘米呢？方法二：大正方形与圆的比是:4 ，圆与小正方形的比:2 大正方形与小正方形的比 4:2=2:1 方法三：大正方形有8个三角形，小正方形有4个三角形，所以它们的比是2:1（2）如果大正方形的面积是100平方厘米，小正方形的面积是多少？（3）如果小正方形的面积是32平方厘米，大正方形的边长是多少？【设计意图：这一道题是把这一节课的两大探究内容灵活结合的运用，探究圆与它的外切正方形，圆与它的内接正方形的关系，简单说，就是圆的外切正方形与内接正方形的面积关系，学生要在理解新知识后，灵活对比，运用新知识解决实际问题，培养学生解决问题的能力。】2、出示书本72页练习的第一题。下面有大小一样的四块正方形钢板，在第一块切一个最大的圆，第二块切四个大小一样的圆，第一块切九个最大的圆，第二块切16个大小一样的圆，到底那一块余下的废料最少？先估一估，然后计算。（1）老师引导：最好用今天学习的知识完成。（2）学生：每一块钢板余下的废料一样多。（3）让学生解释：第一个的比是:4，第二个是把大的正方形平均分成四分，就是四个小正方形里面画了一个最大的正方形，每一个的比都是:4，所以（4）:（44）化简后也是:4。后面也一样【设计意图：为了让学生更容易理解这一道题的题意，我设计了把第二幅图，第三幅图，第四幅题分别用红色的虚线分开4个、9个、16个大小一样正方形，然后分析每一个小正方形内阴影部分的面积怎样求，然后求出整个大的正方形的阴影部分面积。】四、课堂小结：同学们，这一节课，你学会了什么？有什么感受？你有什么疑惑？请你大胆说一说？ 板书设计： 圆与正方形 S圆：S正 S圆：S正: 4 : 2 2:1 圆和正方形预习导航1、 请你在下面的正方形里画一个最大的圆，并想想画出的圆的半径和正方形的边长有什么关系？2、请你在下面的圆里画一个最大的正方形，并说说你是怎样画出这个正方形的？圆与正方形的教学反思圆与正方形这一课时是在圆这一单元中的一节思维训练课，知识点难度较大。第一个难点就是作图：先作正方形内接圆，然后通过已知圆画出圆的外切正方形；还有一个就是画出圆的内接正方形。第二个难点就是研究两种关系：1、通过让学生计算多个正方形与它内接圆的面积及它们的面积比。让他们观察表中的数据，发现圆与它外切正方形的比是:4。2、通过让学生计算多个圆与它内接正方形的面积及它们的面积比。并发现圆与它内接正方形的比是:2。然后运用这两个知识点解决实际问题。 单是从课本内容的表面看，已经有较大的难度了。然而，当我深入研究教材，更加觉得难以接受。因为作图中的第二题难度很大：要让学生作一个圆的外切正方形。在研究“圆与它外切正方形的比是:4”与“圆与它内接正方形的比是:2”的计算表格中，边长是3厘米的正方形的内切圆半径是1.5厘米，算出圆的面积是（2.25）平方厘米。正方形的面积是9平方厘米，它们的比是2.25：9，要把它化简为：4，有一定的难度，而且在两个表格中，有难度的计算不止是一两个。加上学生在学习圆的面积计算时，根本没有直接用来计算，而是用3.14来计算，所以这一节课要让学生用来计算，又增加了一点新的难度。 考虑以上的问题，我们在备课时，已经细心分析，为教学中难点的分解做好充足的准备。例如：在上课一开始，我就让学生用“几”表示圆的面积，为学生在下面的表格计算中打下基础。但是，在第一次试教中，学生还是怎么也计算不出来，甚至有部分学生把正方形的边长当作圆的半径来计算圆的面积，也有部分学生没有用表示圆的面积，还在纠缠这3.14的上面，结果算来算去，还在表格中的第一、二列中。看着时间在一分一秒的过，我就是想不出好办法，最后，只有几个学生能顺利完成任务。结果导致大部分学生没有经历整个计算过程，看着别人算出的结果，怎样也找不出规律。在第二个表格中同样也出现这种情况。整节课下来，学生越学越没信心，积极发言的学生越来越少，天啊！怎么回事呀？！讲完课，我感觉很失落 通过省特级教师杨薇华老师与科组长朱老师的细心分析,逐步分解教学的难点,提供了许多点子,我从新修改教学设计,主要从以下几方面下功夫:1、 在作图题中解决了：在一个正方形作它内接圆，圆的半径就是正方形边长的一半，并在多个图中强调，让学生印象深刻，并为第一个表格中的探究打下基础。2、 学生在计算边长是3厘米的正方形内接圆的面积是2.25平方厘米，圆的面积与它内接正方形的面积比是2.25：9，然后化简成：4，难度大，为了引导学生用简便的方法计算，指导学生在计算直径是3，面积不用“1.51.5”计算，而是用“()=”分数计算，然后化简：9时，计算速度就快多了。3、 把书本72页的练习题2提到新课上完后完成，这样，不但把新课的两个研究的内容有机结合在一起，使学生能够运用新知识灵活地解决实际问题。4、 学生在解决书本中的第四题时，提出的方法很多，我在肯定学生的同时，要引导学生选择简 单的方法计算，这样也为学生在填表计算中省下不少时间。通过对教学设计的多处修改，自己细心了解学生的实际学习情况，检查学生的课前预习，认真做好课前的各步工作，在第二次的试教中，取得较好的教学效果。通过这一次的磨课，使我认识到，要上好一节课，首先要了解学生的年龄特征与认知特点，然后深入教材，认真备课，把握教材的重难点，并逐一分解，为学生更好地学习作好铺垫。