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飞行器结构力学基础 电子教学教案 西北工业大学航空学院 航空结构工程系 第三章 静定结构的内力与变形计算 Internal Forces and Deformations of Statically Determinate Structures 第一讲 静定结构的概念 静定桁架的内力计算 3-1 静定结构的概念 所谓静定结构是指没有多余约束的几何不 变体。 从静定结构的运动学上： 结构的自由度数 N = 结构的约束数 C 能提供的静力平衡 方程数目 未知力 (元件力和支 反力 )总数 = 从静定结构的 静力学上： 3-1 静定结构的概念 由线性代数的知识可知： 当方程的数目等于未知量的数目时，未知量可 以由这组方程全部求出，且解是惟一的。 因此，对静定结构： 在已知外力作用下，系统中的全部未知力由静 力平衡方程惟一确定。换句话讲，满足静力平 衡方程的解，就是静定结构的真实受力状态。 3-2 静定桁架的内力计算 一、计算模型 (1)组成桁架的元件均为直杆； (2)各杆均用无摩擦的理想铰连接，杆的 轴线通过铰心，称铰心为桁架的结点 ; (3)外力仅作用在结点上。 桁架： truss 由于铰只能传递线力，不能传递力矩，因而 外力只能作用在杆两端结点上； 不计杆的自重，各杆只受到两端结点上的作 用力，且在此二力作用下处于平衡。这种在 杆两端受到大小相等、方向相反、沿杆轴线 的力作用的杆，力学上称为“二力杆”。 桁架的内力就是指 各杆的轴力。 杆轴线 桁架的分类： 1、根据维数分类 1.1 平面（二维）桁架 （ plane truss） 所有组成桁架的杆件都在同一平面内 , 仅承受平面内的载荷。 1.2 空间（三维）桁架 （ space truss） 组成桁架的杆件不都在同一平面内。 2、按外型分类 平行弦桁架 三角形桁架 抛物线桁架 梯形桁架 简单桁架 simple truss 复合桁架 combined truss 复杂桁架 Complicated truss 3、按几何组成分类 梁式桁架 4、按受力特点分类： 拱式桁架 竖向荷载下将 产生水平反力 某桁架实例 主桁架 上弦杆 下弦杆 竖杆 斜杆 跨度 桁高 弦杆 腹杆 结间 d 主桁架经简化后，得到图示的工程结构： 二、静定桁架组成规则 1、平面桁架的组成规则 （ 1）逐次连接结点法（二元体规则） 从某一基础或几何不变体开始，每增加一个 平面结点，用两根不共线的杆将该结点连接 在基础上，依次增加结点和杆子，将组成静 定平面桁架。 多余 简单桁架 几何瞬变 二、静定桁架组成规则 1、平面桁架的组成规则 （ 2）复合桁架法（二刚片规则、三刚片规则） 将几个简单桁架用最小必需的约束（ 3个）连 接起来 ,使各部分之间不会发生相对移动或瞬 时可动 ,得到一个 复合桁架 。 二刚片规则 三刚片规则 静定桁架 二、静定桁架组成规则 1、空间桁架的组成规则 （ 1）逐次连接结点法 从某一基础或几何不变体开始，每增加一个 空间结点，用三根不全共面的杆将该结点连 接在基础上，依次增加结点和杆子，将组成 静定空间桁架。 简单桁架 二、静定桁架组成规则 1、空间桁架的组成规则 （ 2）复合桁架法 将几个简单桁架用最小必需的约束（ 6个）连 接起来 ,使各部分之间不会发生相对移动或瞬 时可动 ,得到一个 复杂桁架 。 静定桁架 用 6根不全共轴 (含无 穷远处即平行 )的杆 将一个空间几何不变 体固定于基础上。 三、静定桁架的内力计算 桁架的内力分解 未知杆轴力假 设以拉为正 支反力的方向 可任意假设 三、静定桁架的内力计算 1、结点法 （ nodal analysis method） 以一个结点的隔离体为研究对象，用共点力系的平 衡方程求解各杆轴力的方法。 平面共点力系 0Y 0X 选结点时，作用在 结点上的未知力不 能超过 2个。 空间共点力系 0Z 0Y 0X 选结点时，作用在结点上的未知力不 能超过 3个。 例 1 求图示静定桁架的内力 解： 1、 作几何特性分析 该桁架为无多余约 束的几何不变体，故 为静定的。 2、 内力求解 从未知力不超过 2 个的结点开始，利用 结点法依次求出杆轴 力。 114141 2 045s i n :0X PNNP 1121412 045c o s :0Y PNNN 1241424 1451445 045s i n 045c o s PNNN PNNN 2123122523 212522425 2 045s i n 2 045c o s PPNNNN PPNPNN 215255 21525455 045c o s 2 045c o s PPRNR PPRNNR yy xx 21233233 2 0 PPNRNR xx 3、求支座反力 4、绘制力图 12P 1P 1P 1P 212 PP )(2 21 PP 212 PP 212 PP 21 PP 5、校核 0M 0Y 0X 5 校核内力状态是否满足整体平 衡，以检查内力是否正确。 也可以以表格的形式给出内力结果。 杆 轴力 1 2 1 4 2 3 2 4 2 5 4 5 )(2 21 PP 1P 12P 212 PP 1P 1P 例 2 求图示静定桁架的内力 解： 1、 作几何特性分析 该桁架为无多余约 束的几何不变体，故 为静定的。 2、 内力求解 由结点 5、 4、 3、 2、 1，利用结点法依 次求出各杆轴力和支 座反力。 例 2 求图示静定桁架的内力 3、绘制内力图 4、校核 P3 P2 P2 P3 0 0 0 P3 P3 P 注意到，在外力作用 下，桁架中并不是全 部的杆件都参予承力，常常存 在一些轴力为零的杆件， 轴力 为零的杆件叫做“零力杆”。 “零力杆”在桁架中不承力，仅保 持桁架的几何形状。 零力杆的判断 在计算桁架内力之前，如能事先找出零 力杆，可以简化计算，减少计算工作量。 N2=0 N1=0 1、 不共线的两杆，交于无载荷作用的结点，则 此二杆均为零力杆。 N = 0 零力杆的判断 N = 0 2、一杆与 共线的两杆交于无载荷作用的结点， 则此杆为零力杆。 推论： 不共线的两杆交 于一点，且外载荷沿其 中一杆轴线作用，则另 一根杆为零力杆。 单杆 P 例题：试判断图示桁架中的零力杆 试判断图示桁架中的零力杆 桁架的传力路径 在传递外载荷过程中，承受力的杆件组成的路径称之为该外 载荷的传力路径，也称为传力路线。 传力路线是结构设计和分析中十分重要的概念，设计一个结 构，归根结蒂就是要为给定的载荷设计一条传力路线。 传力路线 愈短、愈直接，结构效率就愈高。比较下图 (a)与图 (b)，两图中 的结构的元件数量相同，但后一种传力路线此前一种长，显然没 有前一种合理，结构设计中应该力求避免。 试绘出图示桁架的传力路径 例题 此例说明静定结构的一个性质 结论： 当平衡力系作用在静定结构的某一几何 不变部分上时，只有该几何不变部分受力，其 余部分不受力。 0 0 0 1、判断零力杆 2、求支反力 2.求桁架内力的截面法 截取桁架的某一局部作为隔离体，由 平面任意力系的平衡方程即可求得未知的 轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为 3，因此所截断的未知力 的杆件数一般不宜超过 3根。 例题 : 试用截面法求图示桁架 4-5、 4-11、 10-11 三杆的内力。 解： 1、 作几何特性分析 该桁架为无多余约束的几何不变体，故为静定的。 例题 : 试用截面法求图示桁架 4-5、 4-11、 10-11 三杆的内力。 2、求支座反力 R7=70KN R1=200KN 例题 : 试用截面法求图示桁架 4-5、 4-11、 10-11 三杆的内力。 3、用 A A截面将 4-5、 4-11、 10-11三杆切断，并取右 边部分作为隔离体。 R7=70KN R1=200KN A A 例题 : 试用截面法求图示桁架 4-5、 4-11、 10-11 三杆的内力。 由 M11 0， N4,5 6 R7 8， N4,5 93.33KN 由 M4 0， N10,11 6 + R7 12， N10,11 140KN 由竖向平衡方程， N4,11 84.1295KN 通过合理地选取截面及合理地选取力矩中心， 可方便地求出桁架中指定杆件的内力 。 例题：试用截面法求图示桁架 C杆的内力 MB 0 : Nc a = F a Nc = F 3.混合法求解桁架内力 用结点法求解桁架内力时，要求从未知力不能 超过 2个的结点处开始。但对某些桁架，有时 每个结点上的未知力都可能超过 2个，这时， 单独用结点法求解比较困难。需要同时应用结 点法和截面法才能确定杆件内力，这种方法称 为混合法（ combined method）。 思路：先针对特定的 2个未知内力，通过截面法建立 其平衡方程，求解出这 2个内力，然后可采用结点法 求解出其余的内力。 解： 1、 作几何特性分析 三个刚片 123、 345和杆 6-7用三个 不共线的铰相连，组 成 无多余约束的几何 不变体，外部用一个 铰和一根不通过该铰 的杆连接于基础，故 该桁架为静定的。 例题 求图示静定桁架的内力 例题 求图示静定桁架的内力 2、计算内力 注意到每一个结点 上的未知内力均超过 2 个，因此用结点法 无法依次求解。采用 混合法求解。 求支座反力，如 图示。 P P 例题 求图示静定桁架的内力 P P 取 123为隔离体 , 建立关于 N26和 N17的方 程。 由 M3 0， 0 2617 aPcNbN (A) 例题 求图示静定桁架的内力 P P 再取杆 6-7为隔离 体 ,建立关于 N26和 N17 的另一个方程。 (B) 0c o s2 2617 PNN 例题 求图示静定桁架的内力 P P 联立求解 (A)和 (B)， 求出 N26和 N17。 再用结点法求出其 余各杆的轴力。