数列与函数结合的综合问题

14Sf()二1，求通项-？(3)在n-n条件(2)下，令b=-nn2n，求数列b的前n项和?n分析：由题知：-书b=c=2，所以f(x)二所以可求得：2S=-一-2n(-+-)(-一-+1)=0n-nnnnnn+1n+1nn例3:函数f(x)=x2亦2,x+8)；(1)求f(x)的反函数f-1(x)；(2)数列-满足:nS二f-1(S)，且-=2，求数列-的通项公式；(3)在条件(2)下，令b二nn-11n-2+-2n+1n(n,N*)，求-nn2-n+1数列b的前n项和?n分析：(1)由题知：sf2n-二4n-2耳n-1n-2+-23)b二nl1n二n2-n+1n例4、设函数fc)=(-)2-2-1n+1nn+1_n=1+(-)2-2n-12n+1n+1n4x+2证明：对切R,f(x)+f(l-x)是常数；/2)n-1)+f-+f记-n+fG)CEN+),求-，并求出数列an的nn数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。一、利用具体函数的解析式得递推关系x2a1例1：已知函数f(X)二-(b,c,N)中，f(0)=0,f(2)=2,f(-2)-,bxc2(1) 求函数f(x)的解析式；(2)各项均不为零的数列-满足:n1#前n项和。解：.fC)=4x+2，:f$)+f(1x)1二+4x241-x2#_4i-x+2+4x+2_1-(4x+2)(41-x+2)_2#f(0)+ff1，ff22zi+fG,(neN)af(1)+fn+ff1,f(0),(neN)2an(1,1丄n,1).n(+n(n,3)Sn=28二、利用抽象函数的性质得递推关系:例1：f(x)是R上不恒为零的函数，且对任意a,beR都有:f(ab)af(b),bf(a),(l)求f(0)与f(l)的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)若f(2j=2，u竺22,(neN*)nn求数列u的前n项和S?nn简析：(1)f(0)0,f(1)0；(2)f(1)f(1)2)f(1)f(1)nf(1)0，a=1,bx,f(-x)=1f(x),xf(-1)=f(x)，所以为奇函数;(2)当ab丰0时，怦芈，型，令函数g(x)四,所以abbag(ab)g(b)+gg(an)ng(a)g(an)f(an)annf(an)ang(a)nan1nf(a),f1An1f(2-n)-k2丿nfAUn又因为：f(1)-，所以:例2、已知函数f(x)(neN*)具有下列性质:n2#(k0,1,n1);f(0)n2fk+1)nfnkn丿fk、fk-1fkn丿#(1)当n一定，记ak1,求a的表达式(k=0,1,.,n);k2)对解：(1)nf3#“(n1)fk+1，nnfnn=1,乂ak#“(n1)aknak1=1,#“n(ak11)=(n1)(ak1)，4-=1+，由n为定值,a1nk#则数列a-1是以a-k01为首项，1+丄为公比的等比数列,#“ak-1=(ao-1)(1n)k由于ao=2,“af(0)kn=11+(k=0,1,n);#n丿欲证+f(1)4n#1,只需证明311n4，n3,(1+丄)n=1+C11+C2丄+.nnn2n2Cnnnn(1+丄)n=1+C11+C2丄nnnnn2Cnnnnn2n2n!nn#3.11111121+1+V1+1+=2+2!n!2222n1n例3：已知函数f(x)是定义在N*上的函数，且满足f(f(k)二3k,f(1)二2。设a二f(3n-1)，b1=1且有：b-log3f(a)=b-log3f(a1)；求证:3n1bb1十2十f(a)f(a)12bb十n3；f(a)4n若abn+1n+1abn+2n+2十f(a)十f(a)十2n十aba2n2n4n+14n+1今4m对于任意的n1,化N*恒成立，求m的取b值范围。解：(1)由于an二f(3n-1),所以有Ma*f(f(3n-1)二33n-1二3n，也有：logf(a)=nn3n由：blogf(a)=blogf(a)，得b=n，n3n令S二丄十丄十n(a)f(a)仇)f(a_)b+/n,也即有:f(a)n123=一+3323n+3，由错位相减得出：3s3n33n+1an+1f(f(k)=3k“f(f(f(k)=f(3k)“3f(k)=f(3k)，所二f(3n)二3f(3n-1)二3a，又因为a二f(3o)二f二2”0，所以2)由a=23n1，nu-abnnTTn+1n1)有:.11n+12n+24n+5n+1二2(2n+1)(2n+2)(4n+1)(4n+)3是等比数列，有n313n302(2n十1)(2n十2)(4n十1)(4n十5)“T.2n14m8TneN,.当n=1时，一有最大值4,故m4.又TmeN,存在m=5,使得对任意neN，都有b+2n1+n4成立.评注递推数列是高考的热点题型,而本题将函数、数列、不等式融为一体,其综合度比较大,覆盖的知识点比较多,当中的恒成立又是高考的热门话题,还请读者多多总结该题型的解法技巧.由函数与数列综合是高考试题的一个亮点。6