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CAI使用说明 1、 斜体文字 表示有备注供查看 2、加下划线的 变色文字 表示有超链接 3、 表示返回至链接来处 4、 表示到上一张幻灯片 5、 表示到下一张幻灯片 6、 表示到首页 中学物理奥赛解题研究 第七专题 万有引力定律与天体运动 解题知识与方法研究 疑难题解答研究 例题 3（星球运动的阻力） 例题 1（天体轨道的判定） 例题 4（飞船着陆问题） 例题 5（飞船和宇航站对接问题） 例题 2（利用万有引力作用下的质点 运动求椭圆曲率半径） 一、对宇宙中复杂的天体受力运动的 简化 二、引力问题的基本运动方程 三、行星绕日运动的轨道与能量 例题 6（双星问题） 一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化 （ 1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点 . （ 2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的： a、可将该两天体作为二体问题处理 . b、 施力天体由于某些原因 （ 如质量相对很大 ） 在某惯性系中可认为几乎不动，这 时问题很简单 （我们通常讨论的就是这种情况） . 二、引力问题的基本动力学方程 如图，行星 m在太阳 M的有心引力作用下运动 . v r 太 阳 m M rv rv 行星的横向加速度 等于零 . ( = )rr dvardt 有径向动力学方程 2 2()rr d v M mm a m r Gd t r 解题知识与方法研究 在太阳惯性参照系中， 由牛顿运动定律和引力定律 v r 太 阳 m M rv rv 211sin22rv r 常 量 此式变化后即得开普勒第二定律： 表明： 开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现 . 开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动 . 又因万有引力为保守力，故“太阳 +行星”系统的机 械能守恒 2 21 ()2 Mmm v G r 常 量 当然，此方程也不限于 行星做椭圆轨道运动！ 因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量 守恒 2s i n rr m v r m v r m 常 量 三、天体绕日运动的轨道与能量 0r r v M m 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动 量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下 的绕日运动的天体的 轨道方程 ： 22 2 2 2 3 2. , 1 . 1 c os p L ELr p e e GM m G M m （其 中 ， ） 轨道方程为一圆锥曲线方程： （ 1） 01Ee时 ， 为 椭 圆 ， （即开普勒第一定律）； 2G M mE a 总能量为： （ 2） 01Ee时 ， 为 双曲 线 的一 支， 总能量为： GMmE a O x y ( ,0)Fc M m a b r o a b c m M r x y 焦 点 M 位 于 其 中 一 个 内 焦 点 M位 于 01Ee时 ， 为 抛物 线 ，（ 3） 总能量为： 0E F Mm x y O自行计算出上述三个能量值！ （能否不用高等数学？） M 位 于 焦 点. 例 1（天体轨道的判定） 如图，太阳系中星体 A做半径为 R1的圆运动，星体 B作抛 物线运动 . B在近日点处与太阳的相距为 R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方 向也相同 . 设 B运动到近日点时， A恰好运动到 B与太阳连线上 . A、 B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体 . 其间的质量损失可忽略 . 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆 . 解 计算新星体 C的机械能 . 在径向： 可认为在 A、 B靠拢过程中质心未动 . 所以 C到太阳的距离为 123 AB AB m R m RR mm 在切向： A、 B合并过程中动量也守恒， ()A B C A A B Bm m v m v m v 则有 研究式中的 vA、 vB： 1 .A GMv R故因 A作圆运动， C AB M日 ( ) 1R 2R 疑难题解答研究 Cv AvBv 3R .CR 3设 距 日 , 三星 速 度如 图 1 2AB AB mm R mm 所以 2 2 B GMv R 利用， C星体的机械能为 1 1 1 ( )() 22 AB AB AB AB G M M m mm m G mmR R mm 因此，新星体 C的轨道为椭圆 . 题后思考 本题能不能直接判断？ EAm），距离为 d，在引力作用 下绕不动的质心作圆周运动 . 设这两颗星近似为质点 . 在超新星爆炸中，质量为 M的星体 损失质量 M. 假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用 力抵消），对另一颗星也无直接作用 . 试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约 束而不相互远离 . 解 需计算爆炸后的总机械能 . 如图，爆炸前两星绕质心旋转 . 22 212 . V v M mM m G r r d 旋转的角速度 满足 由以 上 诸 式 得 到 .( ) ( )GGV m v Md M m d M m ， 爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（ M-M）位置、速度均不变 . 无作用，故 m的位置、速度也不变 . 因爆炸对星体 m也 CM m r1 2r V v 12r r d 12 ,. mMr d r dM m M m 旋转半径满足 新系统的质心 C还在两星连线上的原处吗？ 新系统的质心 C还会静止吗？ C r2 r1 CM mr2 r1 ()MM m V v V vCv 新系统的势能为 () P M M mEG d 新系统在新质心参照系中的动能为 2211( ) ( ) ( )22K C CE M M V v m v v 由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为 ( ) ( ) . ( ) ( )C m v M M V m v M V M Vv M M m M M m 注意到式中的 ( ) 0 .m v M V .()C MVv M M m 所以 进而得到系统在新质心系中的动能为 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 () 2 ( ) K MVE M M v M M m MVmV M M m 新系统仍被约束的条件是 0.PKEE PKEE将 、 的表 达 式 代 入 ，整 理 得 1 ( ) .2M M m 题后思考 以后两星还绕新质心作圆运动吗 ? (严格证明你的结论！ ) C r2 r1 CM mr2 r1 ()MM m V v V vCv () P M M mEG d () GVm d M m ， .()GvM d M m 另解 用 二体问题 折合质量法 爆炸前： 两星折合质量 () .M M m M M m .MmMm 两星折合质量 等效的运动如图（ a） . 2 2 v M mG dd 旋转的速度 v 满足 得 到 ()G M mv d 爆炸后： 等效的运动如图（ b） . 新系统的势能 () . P M M mEG d 新系统的动能 21 2KEv 代入系统约束的条件 0.PKEE 解得 1 ( ) .2M M m （ b） ()MM v d M v d （ a） 题后思考 计算两体的引力势能时 为何不用折合质量？ ( ) ( ) . () M M m G M m M M m d 1 2 ( ) ( )() () M M m G M m M M m d 2 1 2 两体问题 仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为 m1、 m1，相互作用力大小为 f， 从 m1至 m2的矢径为 . R 对 m2，由牛顿第二定律有 2 2 2 2 drfm dt （） 将（ 1）代入（ 2）： 212 212 . m m d Rf m m dt 12 12 12 ()mm mmmm 令 称 为 与 的折 合 质 量 ，则有 2 2 3 dRf dt （） （ 3）式表明，若取 m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立） ，则在此参照系中 m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力 的作用下按牛顿第二 定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用 . f 取二者的质心 C为参照系（惯性系） . 设 C到 m1的矢径为 . r r 1 12 1mrRmm （）有 C r 1m 2m R f f
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