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课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 第 9 课时 函数的图像 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 2013考纲下载 1 掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法 2 了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函 数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的 . 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 请注意 ！ 高考对函数图像的考查形式多样，命题形式主要有由函数 的性质及解析式、选图；由函数的图像来研究函数的性质、图 像的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图 像以及函数的性质在图像上的直观体现 . 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 1 函数图像的三种变换 ( 1) 平移变换 y f ( x ) 的图像向左平移 a ( a 0 ) 个单位，得到 的图 像； y f ( x b )( b 0 ) 的图像可由 y f ( x ) 的图像 而得到； y f ( x ) 的图像向下平移 b ( b 0 ) 个单位，得到 的图像； y f ( x ) b ( b 0 ) 的图像可由 y f ( x ) 的图像 而得到总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右 减，上加下减 y f(x a) 向右平移 b个单位 y f(x) b 向上平移 b 个单位 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 2) 对称变换 y f ( x ) 与 y f ( x ) 的图像关于 对称； y f ( x ) 与 y f ( x ) 的图像关于 对称； y f ( x ) 与 y f ( x ) 的图像关于 对称； y | f ( x )| 的图像可将 y f ( x ) 的图像在 x 轴下方的部分 ，其余部分不变而得到； y f (| x |) 的图像可先作出 y f ( x ) 当 x 0 时的图像，再作关 于 y 轴的对称 y轴 x轴 原点 折到 x轴上方 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 3) 伸缩变换 y f ( ax )( a 0 ) 的图像，可将 y f ( x ) 的图像上所有点的 坐 标变为原来的 倍， 坐标 而得到 y af ( x ) 的图像，可将 y f ( x ) 的图像上所有点的 坐标不 变， 坐标伸长为原来的 横 1 a 纵 不变 横 纵 a倍 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 2 几个重要结论 ( 1) 若 f ( m x ) f ( m x ) 恒成立，则 y f ( x ) 的图像关于直线 对称 ( 2) 设函数 y f ( x ) 定义在实数集上，则函数 y f ( x m ) 与 y f ( m x )( m 0) 的图像关于直线 对称 ( 3) 若 f ( a x ) f ( b x ) ，对任意 x R 恒成立，则 y f ( x ) 的 图像关于 x a b 2 对称 ( 4) 函数 y f ( a x ) 与函数 y f ( b x ) 的图像关于 x b a 2 对 称 x m x m 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 1 函数 y lg| x 1| 的图像大致为 ( ) 答案 B 解析 y lg| x 1| 关于直线 x 1 对称，排除 A ， D ；因函 数值可以为负值，故选 B. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 2 函数 y 1 1 x 1 的图像是 ( ) 答案 B 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 解析 方法一 y 1 1 x 1 的图像可以看成由 y 1 x 的图 像向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位而得到的 方法二 由于 x 1 ，故排除 C 、 D. 又函数在 ( ， 1) 及 (1 ， ) 上均为增函数，排除 A ，所 以选 B. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 3 当 0 a 1 时，在同一坐标系中，函数 y a x 与 y log a x 的图像是 ( ) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 答案 C 解析 当 0 a 1 时， y a x 为增函数且过点 ( 0, 1) ， y log a x 为减函数且过点 ( 1, 0) ，故应选 C. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 4 要得到函数 y 8 2 x 的图像，只需将函数 y 1 2 x 的图像 ( ) A 向右平移 3 个单位 B 向左平移 3 个单位 C 向右平移 8 个单位 D 向左平移 8 个单位 答案 A 解析 y 8 2 x 2 x 3 ， y 12 x 2 x ，故选 A. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 5 设函数 f ( x ) | x 1| | x a |的图像关于直线 x 1 对称， 则 a 的值为 ( ) A 3 B 2 C 1 D 1 答案 A 解析 函数 f ( x ) 图像关于直线 x 1 对称， f (1 x ) f (1 x ) ， f ( 2) f ( 0 ) 即 3 |2 a | 1 | a |，用代入法知选 A. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 例 1 作出下列函数的图像 ( 1) f ( x ) x 1 | x | ； ( 2) f ( x ) | lg| x 1 | | . 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 【解析】 ( 1) f ( x ) x 1 | x | x 1 x ， x 0 ， x 1 x ， x 0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y ( 1 2 ) |x | 的图像，如图实线部分 ( 3) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 4) 先作出 y log 2 x 的图像，再将其图像向下平移一个单位， 保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方，即 得 y | lo g 2 x 1| 的图像，如图 ( 4) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 例 2 函数 f ( x ) 的部分图像如图所示，则函数 f ( x ) 的解析式 是 ( ) A f ( x ) x s i n x B f ( x ) c o s x x C f ( x ) x c o s x D f ( x ) x ( x 2 ) ( x 3 2 ) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 【解析】 由图像知函数为奇函数，排除 D ，又 f ( 2 ) 0 ， 排除 A ，在 (0 ， 2 ) 内先增后减，经检验 c o s x x s i n x x c os x x 2 在 (0 ， 2 ) 内为减， 选 C. 【答案】 C 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 探究 2 对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下 分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域 ( 最 值 ) 、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数 的关系，常用的方法有： ( 1) 定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图 像的上升 ( 或下降 ) 的趋势，利用这一特征分析解决问题 ( 2) 定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题 ( 3) 函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型， 利用这一函数模型来分析解决问题 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 思考题 2 ( 1) 函数 y x 2 2s i n x 的图像大致是 ( ) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 【解析】 易知函数 y x 2 2 s i n x 为奇函数，排除 A ；当 x 时， y ，排除 D ；令 y 1 2 2c os x 0 ， 得 c o s x 1 4 ，可知 y 有无穷多个零点，即 f ( x ) 有无穷多个 极值点，排除 B ，选 C. 【答案】 C 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 2) ( 20 13 衡水调研卷 ) 函数 y x s i n| x |， x ， 的大致 图像是 ( ) 【解析】 函数是非奇非偶函数，排除 B 、 D. 又当 x (0 ， ) 时， y x ，图像在 y x 上方，选 C. 【答案】 C 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 例 3 ( 1) 已知 f ( x ) ln ( 1 x ) ，函数 g ( x ) 的图像与 f ( x ) 的图像 关于点 ( 1,0) 对称，则 g ( x ) 的解析式为 _ ( 2) 设函数 y f ( x ) 的定义域为实数 集 R ，则函数 y f ( x 1) 与 y f (1 x ) 的图像关于 ( ) A 直线 y 0 对称 B 直线 x 0 对称 C 直线 y 1 对称 D 直线 x 1 对称 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 【解析】 ( 1) 设 P ( x ， y ) 为函数 y g ( x ) 上任意一点，则点 P ( x ， y ) 关于点 ( 1,0) 的对称点 Q (2 x ， y ) 在函数 y f ( x ) 图像上， 即 y f (2 x ) ln ( x 1) y ln ( x 1) ， g ( x ) ln ( x 1) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 2) 方法一 逐一检验 y f ( x 1) 关于 y 0 对称的曲线为 y f ( x 1) ， y f ( x 1) 关于 x 0 对称的曲 线为 y f ( x 1) ， y f ( x 1) 关于 y 1 对称的曲线为 y 2 f ( x 1) ， y f ( x 1) 关于 x 1 对称的曲线为 y f (1 x ) ， 故选 D. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 方法二 y f ( x 1) 与 y f (1 x ) 的图像分别由 y f ( x ) 与 y f ( x ) 的图像同时向右平移一个单位而得，又 y f ( x ) 与 y f ( x ) 的图像关于 y 轴对称 y f ( x 1) 与 y f (1 x ) 的图像关于直线 x 1 对称 【答案】 ( 1 ) g ( x ) ln ( x 1) ( 2 ) D 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 探究 3 ( 1) 求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程一 般运用相关点求轨迹 的方法 ( 2) 下列结论需记住： f ( x ， y ) 0 与 f ( x ， y ) 0 的图像关于 y 轴对称； f ( x ， y ) 0 与 f ( x ， y ) 0 的图像关于 x 轴对称； f ( x ， y ) 0 与 f ( x ， y ) 0 的图像关于原点对称； f ( x ， y ) 0 与 f ( y ， x ) 0 的图像关于 y x 对称； f ( x ， y ) 0 与 f (2 m x ， y ) 0 的图像关于直线 x m 对称 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 思考题 3 ( 1) 已知函数 f (2 x 1) 是奇函数，则函数 y f (2 x ) 的图 像关于下列哪个点成中心对称 ( ) A ( 1, 0) B ( 1, 0) C ( 1 2 ， 0) D ( 1 2 ， 0) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 【解析】 f (2 x 1) 是奇函数，所以图像关于原点成中心对 称，而 f (2 x ) 的图像是由 f (2 x 1) 的图像向右平移 1 2 个单位得到的， 故关于 ( 1 2 ， 0) 成中心对称 【答案】 C 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 2) 求证：函数 f ( x ) 满足对任意 x ，都有 f ( a x ) f ( a x ) ，则 函数 f ( x ) 的图像关于直线 x a 对称 【证明】 设 P ( x 0 ， y 0 ) 为函数 y f ( x ) 图像上任意一点则 P ( x 0 ， y 0 ) 关于直线 x a 的对称点为 Q (2 a x 0 ， y 0 ) f (2 a x 0 ) f a ( a x 0 ) f a ( a x 0 ) f ( x 0 ) y 0 ， 点 Q (2 a x 0 ， y 0 ) 也在函数 y f ( x ) 的图像上 函数 y f ( x ) 的图像关于直线 x a 对称 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 例 4 ( 1) 函数 f ( x ) |4 x x 2 | a 恰有三个零 点，则 a _. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 【解析】 y 1 |4 x x 2 |， y 2 a ，则函数图像恰有三个不同的交点 如图所示，当 a 4 时满足条件 【答案】 4 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 ( 2 ) 不等式 lo g 2 ( x ) x 1 的解集为 _ 【解析】 设 f ( x ) log 2 ( x ) , g ( x ) x 1. 函数 f ( x ) 、 g ( x ) 在同一坐标系中的图像如图 由图像可知不等式 log 2 ( x ) x 1 的解集为 x | 1 x 0 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 探究 4 函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系， 它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的 图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 思考题 4 若直线 y x m 和曲线 y 1 x 2 有两个不同 的交点，则 m 的取值范围是 _ 【解析】 曲线 y 1 x 2 表示 x 2 y 2 1 的上半圆 ( 包括端 点 ) ，如图 要使 y x m 与曲线 y 1 x 2 有两个不同的交点，则直 线只能在 l 1 与 l 2 之间变动，故此 1 m 2 . 【答案】 1 m 3 2 时， 函数为减函数，当 x 3 2 时，函数为增函数，所以选 A. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 2 下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数 y log 2 x 的图像重合的函数是 ( ) A y 2 x B y lo g 1 2 x C y 4 x 2 D y log 2 1 x 1 答案 C 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 3 函数 y x 2 ， x 0 ， 2 x 1 ， x 0 的图像大致是 ( ) 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 答案 B 解析 当 x 0 时，函数的图像是抛物线 y x 2 ( x 0,2 x 2 x 0 ，即 f ( x ) 0 ， 故排除 B 项，而 f ( x ) 0 有无数个根，所以排除 C 项， D 项正 确 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 6 用 m i n a ， b 表示 a ， b 两数中的最小值若函数 f ( x ) m i n | x |， | x t | 的图像关于直线 x 1 2 对称，则 t 的值为 ( ) A 2 B 2 C 1 D 1 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 答案 D 解析 令 y | x |， y | x t |，在同一坐标系中作出其图像， 如图，所以 t 1. 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 7 若函数 y ( 1 2 ) |1 x | m 的图像与 x 轴有公共点，则 m 的 取值范围是 _ 答案 1 m 0 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 解析 首先作出 y ( 1 2 ) |1 x | 的图像 ( 如右图所示 ) ，欲使 y ( 1 2 ) |1 x | m 的图像与 x 轴有交点，则 1 m 0 . 课前自助餐 授人以渔 自助餐 课时作业 新课标版 数学（理） 高考调研 课时作业（十二）
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