极坐标几何意义的运用

极坐标、参数方程几何意义的应用一、t几何意义的理解：1、(2018武汉调研)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为y2+t (为参数)，以坐标2原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为P21+紿，直线l与曲线C 交于A，B两点.(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2) 已知点P的极坐标为程，另，求PAHPB啲值.Xcos 0,l2、(2018全国HI卷)在平面直角坐标系xOy中，00的参数方程为. “ (0为参数)，过点(0,2)ysin 0且倾斜角为a的直线l与0O交于A，B两点.(1)求 a的取值范围；求AB中点P的轨迹的参数方程.二、P几何意义的理解：X4cos a+2，3、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a为参数)，以O为极点，以x轴的y=4sin a正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为o丘R).(1) 求曲线C的极坐标方程；(2) 设直线l与曲线C相交于A，B两点，求ABI的值.4、(2019顺德一模)在直角坐标系xOy中，曲线C :x = 1 + 2cos 申y = J3 + 2sin 申(9为参数)，直l：x = tcosa y = t sin a(t为参数)，以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1) 求C与1的极坐标方程；1兀兀(2) 当-三0巧时，直线1与C相交于OA两点；过点O作1的垂线1，1与曲线C的另一个交631 1 2 2点为B，求|OA| + OB的最大值.冗5、( 2019广州)已知曲线C的极坐标方程为P =2朽cos6 + 2sin 6，直线1 :0 =(p e R)，直线1 6兀1 :6 =(Pe R).以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.23(1) 求直线1, 1的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；12(2) 若直线1与曲线C交于O,A两点，直线1与曲线C交于O,B两点，求AAOB的面积.12k=2+2cos 0，6、已知曲线C的参数方程为“(0为参数)，以坐标原点O为极点，兀轴的正半轴为极轴建立y=2sm 0极坐标系，直线l的极坐标方程为sin(0+6)=4.(1) 写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2) 若射线0=申与曲线C交于O, A两点，与直线l交于B点，射线0=护与曲线C交于O, P两点，求PAB的面积.7、（2017全国HI卷）在直角坐标系xOy中，直线片的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程|x=2+m, 为=m（m为参数）设l1与l2的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线C.ly=k（1）写出C的普通方程；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3： “（cos 0+sin 0）；2=0, M为l3与C的交 点，求M的极径.fx=1+2 018t，8、（2018湖南六校联考）已知直线l的参数方程为（y=诟+2 018问（为参数）在以坐标原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为“2=4“cos 0+2,i 3psin 04.（1）求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求IOAIlOBI.极坐标、参数方程几何意义的应用参考答案：1、解（1” 的普通方程为 x+j1=0；又“2+2sin2&=2,X2+y2+y2=2,即曲线C的直角坐标方程为X+y2=1（2）点p的直角坐标为毎，2）.x丄吗法一 於，2）在直线l上，直线l的参数方程为x=2 2 t,厂（t为参数）,y=2+豹代入曲线C的直角坐标方程得 T+ 2= 0,即2+爭一5=0，PAIIPBI = lt1|t2| = lt1t2|=5.n2、解（1）00的直角坐标方程为X2+y2=1 当a=2时，l与O交于两点.当工号时，记tan a=k,则l的方程为y=kxt 2.l与OO交于两点当且仅当|頁+1，解得k1,即aE（4 2）或a（2，乎） 综上，a的取值范围是您，歌lx=tcos A,n3n（2）l的参数方程为（y=_迄+対n 为参数，4a4）设A, B, P对应的参数分别为tA, tB, tp,则 tp=A扌，且 tA，tB满足 t22；2sin a+1=0于是 tA+tB=2-j2sin a, tp=，%in a.又点P的坐标（x, j）满足所以点 P 的轨迹的参数方程是X=tpCOS A, j=V2+tpsin a,x= r sin 2a,22 逸cos 2a2 2 cos 2a（a 为参数，na3n）-3、解（1）将方程X=4cos a+2, y=4sin a消去参数A得X2+j24X 12=0,曲线C的普通方程为x2+y24x12=0,将xi+y2=p2, x=pcos 0代入上式可得p24pcos 0=12,曲线C的极坐标方程为：p24pcos 0= 12.设a, b两点的极坐标分别为p d，a，n），由p24pcos 0=12,*6消去0得P22想p12=0.x = 1 + 2cos 申4、解：（1）因为曲线C: l（申为参数）,根据题意可得Pi, P2是方程p223p12=0的两根，“1+“2=23 PiP= 12, .ABHIPp2l=： (p1+p2)24pp=2远5.y = d 3 + 2sin 申所以曲线C的普通方程为：(x-1)2 + (y -桓)2 = 41分由 x = p cos0, y = p sin0 得 C 的极坐标方程为 p2 - 2p cos 0 2j3p sin 0 = 0.化简得：p = 2cos 0 + 2 sin 02分（兀）4sina + I 6丿因为直线竹y = t sin a（ t为参数）所以直线厶的极坐标方程为：0 =a （p丘R）4分（漏写p e R不扣分）6分7分(x = t cos a小设点A的极坐标为巴，a ），兀兀. a ，则 p 2cos 0 + 2/3sin 063 A|oa|+OB = p + p 4sina + + 4cosa + 4 迈 sin(5兀)(6丿(6丿(12丿8分所以当a = 时，(|OA| + |OB|)= 4j212max解法二：由已知得：ZAOB = 90。，二AB为O的直径故有 |OA|2 + |OB |2 = |AB|2 = 42 = 16,10 分5分6分.(oa+|ob|OA|2 + |OB2)即 |OA| + OB W 2 晶=4迈.8分9分（兀兀、p ,a+ =，则 p 4sina + + 4cosa + I B 2丿BI 2 6丿(6丿点 B 的极坐标为10分当且仅当OA = OB = 2逅时，|OA| + |OB|取得最大值4迈.x,5、解： 依题意，直线I】的直角坐标方程为y = x, I：的直角坐标方程为y = 3x 2分由 p =2 cos 0 + 2sin 0 得 p 2=2 3p cos 0 + 2p sin 0 ,因为p2 二 x2 + y2, p cos0 二 x, p sin0 二 y , 3分所以(x 3)2 + (y -1)2 = 4 ,4分所以曲线C的参数方程为x = *3 + 2cos y = 1 + 2sin a（a为参数）2）联立p =2 J3 cos 0 + 2sin 0得 0A = |p J = 4,5分6分同理,|0B = |p2| = 2p37分兀又 ZAOB = , 8 分6所以 S= -lOAllOBlsin ZAOB = - x 4x 2込x - = 2込, 9 分AAOB 222即NAOB的面积为2J310分k=2+2cos 0,6、 解 由“（0为参数），消去0得普通方程为（兀一2）2+戸=4y=2sm 0从而曲线C的极坐标方程为p24pcos 0=0,即p=4cos 0,因为直线l的极坐标方程为psin（0+6）=4,即“sin G+pcos 0=4,直线l的直角坐标方程为x+/3y8=0依题意，联立射线0=n与曲线c的极坐标方程，得a, b两点的极坐标分别为（2,审，（4, n）, 联立射线0=号与曲线C的极坐标方程，得P点极坐标为（2：3, 嗚，ABI=2, 畑=取2乂2忌硝+6）=2运|X=2+t,7、 解 由l： ,（t为参数）消去t,得1的普通方程y=k（x2）,1 y=kt1同理得直线12的普通方程为x+2=ky,联立，消去k,得x2y2=4（yH0）所以C的普通方程为x2y2=4（yH0）(2)将直线l3化为普通方程为x+y=J2,3运2l3与C的交点M的极径为弱8、解(D叫y=V3 + 2 018问消去tX=1+2 01&,得 yV3=V3(x1)，即 y=、f3x直线l的普通方程为y=3x.曲线 C： p2=4pcos 0+2i3psin 64.其直角坐标方程x2+y2=4x+3y4, 即(x2)2+(y/3)2=3.(2)易由y=V3r,得直线l的极坐标方程为6=n 代入曲线C的极坐标方程为p25p+4=0, 所以 IOA 卜 OBI=P/PBI=4.