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第三章 机器人运动学 已知关节变量 ，求末端执行器位姿 TnqqqQ ,., 11 ?E 本章要解决的问题： 运动学正问题： 运动学逆问题： 已知 ，求 ?QE 3.1 杆件、关节、标架、杆件变换 一、基本概念（图 3 1） 图 3-1 1、 杆件 （ Link): 操作机器人的每个运动单元，称 为 图 3-1 0L 2L nL 1L 1J 2J nJ :0L 机座，固定不动，称为 0号杆件； :1L 与机座相联的第一个杆件； :2L 与第一个杆件相联的后一个杆件； 与一般机构不同，在谈起机器人时，常说机器人是多少个 自由度的，而不说是几杆机构 ！ 开式链机器人用此标法，并联机器人有专用方法 。 2、 关节 （ Joint): 连接相邻两个杆件的运动副，称为 习惯上， :1J 连接 与 ； 0L 1L :2J 连接 与 ； 1L 2L 关节分类： 考虑到运动精度以及技术实现等原因，操作机器人一般 只用两种形式的关节！ 回转关节（ Revolute): 棱柱关节（ Prismatic): 只能单自由度回转而不能移动的低副； 只能单自由度移动而不能回转的低副； 3、 标架 （ Frame): 在机器人学中，常将 杆件坐标系 称为。 4、 自由度 （ DOF Degree-Of-Freedom): 机器人末端执行器所具有的独立运动能力，称为机器人 的 5、 活动度 （ Mobility): 机器人所具有的关节数，称为机器人的 自由度与活动度间的关系？（人自腰部以上到手腕为多少？） 二、基本参数 1、 杆件参数 （ i=1,2,n -1 )（图 3 2） 杆长 ： ，杆件 i上两条轴线间公法线长度，称为 ia 扭角 ： ， 杆件 i上两条轴线在垂直于公法线平面内的 夹角 ， 称为 （ ） i i ia 图 3-2 i用这两个参数就可以确定相邻两条轴 线的相互位臵！； 杆件结构确定了，这 2个参数为常量； i=0 及 i=n 时的参数呢？（仅 1根轴线） 待标架建立后才 能确定！ 若杆件的两根轴线平行 ， 杆件参数是多少 ？ （ 扭角： 纵向左右扭 ！ ） 杆件参数可能是负值吗 ？ 2、 关节参数 （ i=1,2,n -1 )（图 3 3） 1i 1id 图 3-3 i 1i 2iJ 1iJ iJ 关节角 ：关节 上 相邻两条公法线在垂直于 轴线平面内的夹角，称 为 1i 1iJ 1iJ 偏距 ：关节 上相邻两 条公法线沿 轴线测得的距 离，称为 1id 1iJ 1iJ （ 轴上两条公法线间的最短距 离） 1iJ 如同杆件参数一样，关节参数也为非负值！ 对回转关节： 是常量， 是变量； 1id 1i 对棱柱关节： 是变量， 是常量； 1id 1i i=0 及 i=n 时的参数呢？ 待标架建立后才能确定！ 关节参数物理含义？ 决定了相邻两个杆件间相互位置； 11 , ii d 若相邻 3根轴线平行，可直接可以看出关节角即是 i+1 杆 相对于 i 杆转过的角度； （图 3-4） 01 id iL 1iL 图 3-4 在机器人中常用回转关节 ， 若 意味着相邻两个杆件不 上下交错 ， 将可能导致关节角 小于 360 。 01 id 人臂结构如何？ 三、 Denavit-Hartenberg标架（简称 D-H标架） 1、杆件上标架的建立 杆件标架建立方法不一样 ， 位姿 描述含义与结果也不一样 ！ 为统一起见 ， 均采用本讲义 D-H 方法 （ 其它方法 ？ ） 1.1 中间杆件标架 （ i=1,2,n -1)（图 3-5） (1) ：与 轴线重合，正方向按照机器人 构型 确定 ； iZ iJ (2) ：与 杆件公法线重合 ， 由 指向 ；当 时 ， 取 iX iL iJ 1iJ 0ia iii ZZX 1 （ 3） ：按照右手法则确定； iY iO iXiZ（ 4） ： 与 交点。 图 3-5 i iJ iZ 1iJ iX iO 构型：左构 （左臂）、 右 构 （右臂）。使机器人初 始转动角度为正值！ 特殊情况： 当 ，即 与 相交时， 取在交点处； 0ia iZ 1iZ iO 当 时， 取在使 处； 1 ii ZZ iO 01 id 杆件标架的建立需要两根特殊的线：关节轴线、公法线！ 杆件的标架位于杆件前一个关节轴线上！ 基座、末杆只有 1根轴线，其标架需按照特殊的方法建立！ 1.2 机座标架 0 机座标架 与机座固联 ， 用来描述机器人各个杆件及末端 执行器的位姿； 0 的建立可随意 ， 但为了方便起见 ， 一般规定： 当第一个 关节变量为零值时 ， 与 重合 。 0 10 因此，有： 0 ,0 00 a 当第一个关节为回转关节时，还有： 01d 当第一个关节为棱柱关节时，还有： 01 1.3 末杆标架 n 机器人末杆一端与前一个杆件相联 ， 另一端是 机械接口 ， 用以连接末端工具 ， 因此只有 1根轴线 。 其标架建立原则与机座标架相类似： 为了便于计算 ！ (1) ：与 轴线重合 ； nZ nJ (2) ：当其关节变量为 0时 ， 与 重合 。 nX 1nXnX 机座标架看杆 1，末杆标架看的是 n-1杆！ n 1n二者不同之处： 与 原点不重合！ 具体地： nJ 0n 1nXnX当 为回转关节且 时，取 与 重合 ； 因此 0nd nJ 0nd 1n XnX当 为棱柱关节且 时，取 与 重合 ； 因此 0 n 1.4 末端执行器标架 E 末端执行器不同 ， 其标架不同 ， 详见教科书 。 末端执行器标架与末杆标架是平移关系 ！ 同一台机器人可以使用不同的末端执行器 ， 为此 ， 在样本中 一般只给出杆件标架参数 。 末端执行器标架视情况而定 。 2、 D-H参数 采用 D-H标架 ， 用来描述机器人 各杆件标架间 相对位姿关 系的参数 ， 称为 为何要采用 D-H参数 ？ 如果要确定坐标系间相对位姿关系，需要几个参数？ 共有 4个 D-H参数（图 3-6）！ 图 3-6 i iX iZ iO 1iX 1iZ 1iO :ia 从 到 ，沿 的距离； iZ 1iZ iX 从 到 ，绕 的角度； :i iZ 1iZ iX 从 到 ，沿 的距离； :1id iX 1iX 1iZ 从 到 ，绕 的角度； :1i iX 1iX 1iZ D-H参数仍然借用杆件参数 、 关节 参数的 符号 ， 但有正负号了 ！ ！ 仅用 4个参数 ！ 3、 杆件变换矩阵 对一台机器人讲，可有如下坐标系： :0 机座标架（参考坐标系）； 杆件 1标架； :1 杆件 n标架； :n 末端执行器坐标系； :E 世界坐标系 ； :W 研究机器人运动学时，一般只讨论机器人本身杆件标架！ 所涉及的 杆件变换 有： TTT n n11201 ., , , 通式为： Ti i1 习惯上， 杆件变换矩阵 写成 形式 ! ii A1 变换过程（？尝试一下 D-H参数！）： 变换顺序（？）： （ 1）绕 旋转 ，使得 ； 1iX 1i ii ZZ 1 （ 3）绕 旋转 ，使得 iZ i ii XX 1 （ 4）沿 移动 ，使得 与 重合。 iZ id 1i i 杆件变换矩阵 （通式，学生做）： 10 0 ),0,0(),()0,0,(),( 1 1 1 111 111 11 1 ii ii i iiiii iiiii ii iiiii i cd sd a cscss scccs sc dT r a n szR o taT r a n sxR o tA 仅包含一个变量（回转关节：关节角。棱柱关节：偏距）！ （ 2）沿 移动 ；使得 与 重合 ； 1iX 1ia 1iZ iZ 仅仅需要 4次变换即可 ！ （ D-H参数的优点 ！ 4个参数即可确 定相对位姿 ！ 样本 、 论文中通常只给这 4个参数 ！ ） 3.2 机器人运动学 一、 运动学基本方程 机器人末杆标架相对于机座的齐次变换矩阵为： nnn AAAAT 13221100 . 简记为： nn AAAT .21 上式即为 机器人 运动学基本方程 。 二、 运动学反解（？） 运动学反解是机器人控制的基础！ 1、解存在域 在 工作空间 外，无解！ 在工作空间内，？ 使用时首先 要选择合适的 机器人，且安 装位臵要恰当！ 2、求解分析（以 6DOF机器人为例！？） 6216 . . . AAAT 已知： 10 0 6 6 z y x p p p R T 分析： （ 1）方程右端每个杆件矩阵中含有 1个变量，共有 6个未知数； （ 2）矩阵相等，其每个对应元素相等，共有 12个有效等式。 如何从 12个等式中挑出 6个 独立的方程 来？ 要求解的方程为 超越方程（ 三角函数方程），如何求解？ 3、求解方法 （ 1）数值法。任意 6自由度串联机器人都有 迭代 解 。缺点： 求解时间不固定，不适合控制应用（？）。 （ 2）解析法。可以得到 闭式解 ， 适合控制应用（？）。 4、解析解存在条件 不是任意情况的机器人都有闭式解！ 必要条件： 0i 或 90i 物理含义？ 由于运动学反解是控制的基础，因此操作机器人一般都要 满足此必要条件！（在结构上进行了限制！） 充分条件（ Pieper条件）： 机器人机构中有 3个相邻的关节轴线相交于一点或平行。 若 3根相邻的关节轴线相交于一点，其结构将很紧凑。常将 此形式的机构称为 手腕 （或 球腕 ），放在机器人末端使用！ 典型操作机器人形式： 操作臂手腕 实现位置 实现姿态 带球腕的机器人还有特殊解法，后面将讨论！ 解析解存在的充要条件？至今还未给出！ 5、重解问题 对于给定的一个位姿，常常有多组关节变量相对应，这种现 象称为。 示例（图 3-7） 图 3-7 都可行。哪一组最好？ （必须作出选择！） 最小能量约束，关节运动范围限制， 6、 分离关节变量法 分离关节变量法 基本思想： 关节变量以三角函数形式出现； 若能将等式一端化为某一关节变量的三角函数 ， 另一端 为常量 ， 则可以用反三角函数法求出待求变量 。 小结：反解时需解决的问题： 求解方法问题，解析解存在条件问题， 6个独立方程选 择问题，超越方程问题，重解问题， 不用数值计算法；解前验证条件；与下一个问题一起解决！关 键是反三角函数问题；应用附加约束条件，例如最小能量约束 等； 求解关键：如何能化成上述情况 ！ 采用的是逆向思维方法进行求解！ 基本过程： （ 2）方程两端同时左乘以 ，得： 11A （ 1）先试探一下可否根据运动学基本方程解出某些变量； 若不能，则继续步骤（ 2）； 65432611 AAAAATA 上式左端只含有杆件 1的关节变量；若在方程右端能找到一 个对应的常数项 ， 则可以求出杆件 1的关节变量了 。 解得后 ， 再看一下能否解出其它变量 ， 能解出 ， 解之；否则继续左乘 下一个杆件矩阵的逆 ， 依次类推 ， 直到解得全部变量 。 用左乘的方法将变量依次隔离出来，因此，称为 。 有些学者建议一开始就进行左乘分离！（名副其实） 矩阵乘法操作小窍门！（从右端开始！？减少计算量） 例题： ),(),(),(),(2 zR o tyR o tzR o tE u l e r 10 0),(2 zzz yyy xxx aon aon aon E u l e r 已知： 解： 1000 0 0 0 10 0 csscs ssccscsscccs sccssccssccc aon aon aon zzz yyy xxx 解法 1： caz zaarc c o s sca x sa xarc c o s csn z sn zarc c o s 结果出来了， 可以吗？ 存在的问题： 例如： caz （ 1）反三角函数多值问题。 当 时，其反函数值至少有两个（限定为 1转时）： 0 za 900 090 及 （ 2）反三角函数值精度问题：当取一些值时，误差较大。 例如： 9.0 za 94.0za 与 0arc c o s za 但对于一些定位精度要求较高的机器人来说 ， 可能造成较 大的位置误差 。 不宜用反正弦或反余弦函数求关节角度值！ 解法 2： tgaa x y ),(2t an xy x y aaa a aa r ct g stgaa z y ),(2t an saaasa aa r ct g zy z y tgno z z ),(2t a n zz z z noanoa r c tg 0s 解法 2可行吗？ 反正切 、 反余切采用了 2个参数求角度值 ， 其结果唯一 。 反正切 、 反余切灵敏度高 ， 误差小 ！ 要采用反正切或反余切计算关节角度值！ 7、带球腕机器人运动学反解 球腕运动学特点分析： 球腕： 3个关节轴相交于一点 。 球腕 3个杆件的标架原点重合在一起 。 球腕 3个关节变量不影响末杆的位臵！（只影响姿态） 末杆位臵完全由前 3个杆件确定。 带球腕机器人运动学反解方法： （ 1） 将 、 、 相乘 ， 由这三个矩阵相乘得到的位置 值即是整个机器人的位置值 。 据此 ， 可以解得 1A 2A 3A 321 , , qqq （ 2） 求出后， 变为常量，将它们分离出，根 据 可以进一步求出 321 AAA 321 , , qqq 65461321 )( AAATAAA 654 , , qqq 将 6个联立方程变成 2组 3元联立方程，求解难度自然降低了！ 带球腕机器人运动特点： 球腕一般放在机器人末端； 前三个自由度用于实现位姿，后三个用于调整姿态； 反解简单； 示教方便，便于应用！ 拟人式机器人（图 3-8）？ 图 3-8 拟人式机器人 3.3 机器人工作空间 一、概念： 1. 工作空间 ： 机器人反解存在的区域，称为 为机器人可达位姿的集合。 2. 灵活工作空间 ： 在工作空间中，机器人的末端执行器能够从机构允 许的各个方向到达的位姿点的集合，称为 3. 可达工作空间 ： 机器人末端执行器至少能以某一姿态到达的区域， 称为 灵活工作空间 可达工作空间工作空间 对机器人应用有意义的空间：灵活工作空间！ 机器人样本中给出的工作空间：机械接口的位姿空间 二、示例： 平面 2杆 2DOF机器人（图 3 9） 设 3600 21 图 3-9 示例 1 2 1l 2l 半径为 2l的圆面 原点 无 外径为 ，内径为 的圆环 21 ll 21 ll 可达空间 灵活工作空间 21 ll lll 21 在边界上，只有一种姿态； 在可达空间内，只有 2种姿态； 若不可灵活地工作，则会大大降低机器人使用价值 ！ 对图例机器人，只需在腕部再增加一个回转关节自由度，则 可使可达空间变成灵活工作空间（见黑板）。 设计机器人时，应该保证 可达空间即为灵活工作空间 ！ 鉴于此，习惯上只用“工作空间”术语！ 三、工作空间绘制 机器人只能在其工作空间中运动，因此，了解其工作空间 形状、大小等是必须的！ 绘制方法： 1. 计算机绘图。由计算机根据其运动学方程绘出位姿 点图集，例如 蒙特卡罗法。 2. 手工绘制。对一些简单的情况，可以人工绘出工作 空间，关键是给出 工作空间边界 。 因结构上的限制，机器人关节变量范围一般有所限制 ！ 习题 : Daikin s1400 SCARA型机器人 图 3-9 s1400 l 2l1l 1 2 3 ,3 0 0 ,3 5 0 ,3 0 00 3 6 00 ,1 4 530 ,2 5 00 21 321 mmlmmlmml 问题： 1. 什么因素影响关节运动范围？ 2. 回转关节有无必要可以整周回转？ 3. 工作空间形状、大小与哪些因素有关？ 4. 试讨论一下 SCARA机器人大、小臂各自的作用。 5. 试讨论一下搬运、平面装配、点焊、弧焊、垂直面喷 漆所需工作空间形状。