二项式定理中展开式系数的六种常见类型

r +1448二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一 ,本文以高考题为例，对二项式定理 试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。( a+b ) n ( n N *) 一 、型例 1 ( x - 2 y )10的展开式中 x6y4项的系数是（ ）（A）840（B）840（C）210（D）210解析：在通项公式T =r +1C r ( - 2 y) 10rx10-r中令 r =4，即得 ( x -2 y )10的展开式中 x6y4项的系数为 C 410( - 2)4=840,故选 A。例 2 ( x -1x)8展开式中 x5的系数为 。解析：通项公式Tr +1=C r x88 -r( -1x)r =( -1) r C r x838 - r23，由题意得 8 - r =5 ，2则 r =2 ，故所求 x 5的系数为 ( -1)2C28=28 。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定 系数法确定 r 的值。二 、( a +b ) n ( c +d ) m ( n, m N *)型例 3 ( x32 1 - ) 4 +( x + )x x8的展开式中整理后的常数项等于 .2 2解 析 ； ( x 3 - ) 4 的 通 项 公 式 为 T = Cr ( - ) r (3x 4-) r= C-r( 2 r)1-x2 ,4 令rx x12 -4 r =0 ， 则 r =3 , 这 时 得 ( x32- )x4的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 -C3423= 32,1( x + )x8的通项公式为 T =C kk +1 81( ) k xx8 -k=Ck8x8-2k,令 8 -2k =0 ，则 k =4 , 这时得1 2 1( x + ) 8 的展开式中的常数项为 C 4 =70，故 ( x 3 - ) 4 +( x + ) 8 的展开式中常数项 x x x等于 -32 +70 =38 。例 4在 (1 -x )5-(1 -x )6的展开式中，含 x3的项的系数是（ ）(A)-5(B) 5 (C)-10(D) 1056332 788x 15k解法 5k +1 52 x解 析 ： (1 -x )5中 x3的 系 数 -C 35= -10 , -(1 -x )6中 x3的 系 数 为-C (-1) =20 ,故 (1 -x ) -(1 -x ) 的展开式中 x 3 的系数为 10 6,故选 D 。评注：求型如 ( a +b ) n ( c +d ) m ( n, m N *) 的展开式中某一项的系数，可分 别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三 、( a+b ) n ( c +d ) m ( n, m N *)型例 5 ( x +1)( x -2)的展开式中 x3项的系数是 。解析： ( x -2)7的展开式中 x 、 x3的系数分别为 C17( -2)6和 C37( -2)4，故( x2+1)( x -2)7的展开式中 x3项的系数为 C17( -2)6+ C37( -2)4=1008。例 6(x-1)(x+1)的展开式中x5的系数是（ ）（ A ） -14 （D） 28（ B ） 14（ C ） -28略解： ( x +1)8的展开式中 x4、 x5的系数分别为 C 48和 C 58,故 (x-1)(x+1)展开式中 x 5 的系数为 C 4 -C 5 =14 ,故选 B。8 8评注：求型如 ( a +b ) n ( c +d ) m ( n , m N *) 的展开式中某一项的系数，可分别 展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四 、( a +b +c )n( n N*)型例 7 ( + + 2) 5 的展开式中整理后的常数项为 2 x.x 1 x 1 x 1一： ( + + 2) = ( + ) + 2 ，通项公式 T =C k 2 2 ( + ) 5-k , 2 x 2 x 2 xx 1( + ) 5-k 的 通 项 公 式 为 T =C r x -r x 5 -k -r 2 -(5 -k -r )r +1 5-k=C r x5 -2 r -k 2k +r -5 5 -k, 令5 -2 r -k =0 ，则 k +2r =5 ，可得 k =1, r =2 或 k =3, r =1 或 k =5, r =0 。当 k =1, r =2 时，得展开式中项为 C 1C 2 25 4122-2 =15 22；当 k =3, r =1 时,，得展开式中项为 C 3C15 22 2 2-1=20 2 ； 5355 6 7 8 3当 k =5, r =0 时，得展开式中项为 C 554 2 =4 2 。x 1综上， ( + + 2)2 x5的展开式中整理后的常数项为15 2 63 2+20 2 +4 2 =2 2。x 1解法二： ( + + 2) 5 = (2 xx 2 +2 2 x +2 ( x + 2) 2) 5 =2 x (2 x) 5=( x + 2)(2 x) 510，对于二项式 ( x + 2)10中，Tr +1=C r10x 10 -r ( 2)r，要得到常数项需10 -r =5 ，即 r =5 。所C 5 以，常数项为 10( 2)2 5563 2= 。2x 1 x 1解法三： ( + + 2) 5 是 5 个三项式 ( + + 2) 相乘。常数项的产生有三 2 x 2 xx 1 x种情况：在 5 个相乘的三项式 ( + + 2) 中，从其中一个取 ，从另外 4 个三2 x 21项 式 中 选 一 个 取 ， 从 剩 余 的 3 个 三 项 式 中 取 常 数 项 相 乘 ， 可 得xC 151 C21 C34 3( 2)3x 1=20 2 ；从其中两个取 ，从另外 3 个三项式中选两个取 ，2 x从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘，可得 C 251 15( ) 2 C2 2 = 2 ；从 5 个相 2 2x 1乘的三项式 ( + + 2) 中取常数项相乘，可得 C 5 ( 2) 5 = 4 2 。 2 xx 1综 上 ， ( + + 2) 2 x5的 展 开 式 中 整 理 后 的 常 数 项 为20 2 +15 2 63 2 +4 2 = 。2 2评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项 式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法 原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五 、( a +b ) m +( a +b ) m +1 + +( a +b ) n ( m, n N *,1 m n )型例 8在 (1 +x) +(1 +x ) 2 + +(1 +x ) 6 的展开式中， x 2 项的系数是 。 （用数字作答）解析：由题意得 x 2项的系数为 C22+C23+C24+C25+C26=35 。例 9在(1x) (1x) (1x) (1x) 的展开式中，含 x 的项的系数是5678( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1 x)(1 x) (1 x) (1 x) =(1-x ) 5 1-(1-x ) 4 (1-x ) 5 -(1-x )=1 -(1 -x ) x9(1 -x )5 中 x 4 的系数为 C 45=5， -(1 -x )9 中 x 4 的系数为 C49=-126,126+5=121,故选 D。评注：例 8 的解法是先求出各展开式中 x 2 项的系数，然后再相加；例 9 则从整体出发，把原式看作首相为(1x) 5 ，公比为(1x)的等比数列的前 4 项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8 和例 9 的解答方法是求( a +b ) m +( a +b ) m +1 + +( a +b ) n ( m, n N *,1 m n ) 的展开式中某特定项系数的 两种常规方法。六 、求展开式中若干项系数的和或差例 10若 (1 -2 x) 2004 =a +a x +a x 2 +. +a0 1 22004x 2004 ( x R ) ，则 ( a +a ) +( a +a ) +( a +a ) +L +( a +a0 1 0 2 0 3 02004) =_ 。(用数字作答)解析：在 (1 -2 x )2004=a +a x +a x 0 1 22+. +a2004x2004中，令 x =0 ，则 a =1 ，0令 x =1 ，则 a +a +a +a +L +a0 1 2 32004=( -1) 2004 =1故 ( a +a ) +( a +a ) +( a +a ) +L +( a +a0 1 0 2 0 3 02004)=2003 a + a +a +a +a +L +a0 0 1 2 32004=2004 。例 11(2 x + 3)4=a +a x +a x 0 1 22+a x33+a x44，则 ( a +a +a ) 0 2 42-( a +a ) 1 32的值为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在 (2 x + 3)4=a +a x +a x 0 1 22+a x33+a x44中，令 x =1 ，可得 a +a +a +a +a =(2 + 3)0 1 2 3 44 ，令 x =-1，可得 a -a +a -a +a =(2 - 3)0 1 2 3 44所以， ( a +a +a ) 0 2 42-( a +a ) 1 32= ( a +a +a +a +a )( a +a +a -a -a ) 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3= ( a +a +a +a +a )( a -a +a -a +a ) = (2 + 3) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 44(2 - 3)4=1, 故选 A。评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式) 中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应 用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。