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第二章 数列极限 2.1 数列极限的概念 2.2 收敛数列的性质 2.3 数列极限存在的条件 2.1 数列极限的概念 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法 一、概念的引入 引 例 1 如何用渐近的方法求圆的面积 S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积 S. A1 23 A1表示圆内接正 6边形面积 , A2表示圆内接正 12边形面积 , A3表示圆内接正 24边形面积 , An表示圆内接正 62n-1边形面积 , , . 显然 n越大 , An越接近于 S. 因此 , 需要考虑当 n时 , An的变化趋势 . 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ;211 X第一天截下的杖长为 ;2 121 22 X为第二天截下的杖长总和 ;2 12 121 2 nnXn 天截下的杖长总和为第 nnX 2 11 1 二、数列的定义 定义 : 按自然数 ,3,2,1 编号依次排列的一列数 , 21 n xxx (1 ) 称为 无穷数列 , 简称 数列 . 其中的每个数称为数 列的 项 , n x 称为 通项 ( 一般项 ) . 数列 (1 ) 记为 n x . 例如 ;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列 .可看作一 动点在数轴上依次取 ., 21 nxxx 1x 2x3x 4x nx 2.数列是整标函数 ).( nfx n ;,)1(,1,1,1 1 n 1( 1 ) n ;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1 n n n ,333,33,3 数列极限来自实践，它有丰富的实 际背景 .我们的祖 先很早就对数列 进行了研究，早在战国时期就有了 极限的概念 例 1 战国时代哲学家庄周所著的 庄子 .天下篇 引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列 , 如图所示 , 三、数列的极限 （ c11(k)） 其长度组成的数列为 n2 1 , 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 随着 n 无限的增加 , 木棒的长度无限的趋近于零。 例如 当 n无限增大时 , 如果数列 xn的一般项 xn无限接近 于常数 a, 则常数 a称为数列 xn的极限 , 或称数列 xn收 敛 a, 记为 ax nn lim . 数列极限的通俗定义 11lim nnn , 021lim nn , 1)1(lim 1 nn nn . 11lim nnn , 021lim nn , 1)1(lim 1 nn nn . 问题 : 当 无限增大时 , 是否无限接近于某一 确定的数值 ?如果是 ,如何确定 ? nxn .1)1(1, 1 无限接近于无限增大时当 nxn n n 问题 : “无限接近”意味着什么 ?如何用数学语言 刻划它 . 1nx nnn 11)1( 1 通过上面演示实验的观察 : ,1001给定 ,10011 n由 ,1 00 时只要 n ,10011 nx有 ,10001给定 ,1000 时只要 n ,10000 11 nx有,100001给定 ,10 00 0 时只要 n ,100011 nx有 ,0给定 ,)1( 时只要 Nn .1 成立有 nx 当 n无限增大时 , xn无限接近于 a . 当 n无限增大时 , |xna|无限接近于 0 . 当 n无限增大时 , |xna|可以任意小 , 要多小就能有多小 . 当 n增大到一定程度以后 , |xna|能小于事先给定的任意 小的正数 . 分析 因此 , 如果 n 增大到一定程度以后 , |xna|能小于事先 给定的任意小的正数 , 则当 n无限增大时 , xn无限接近于常 数 a. 当 n无限增大时 , 如果数列 xn的一般项 xn无限接近 于常数 a, 则数列 xn收敛 a. 下页 数列极限的精确定义 设 xn为一数列 , 如果存在常数 a, 对于任意给定的正 数 , 总存在正整数 N, 使得当 nN 时 , 不等式 |xna |N A A nx n 目的： AxA NnN Ax n nn ,0l i m 时，有使得自然数 要找到一个 N A A A 越 来 越 小 ， N越 来 越 大！ nx n 数列极限的定义未给出求极限的方法 . 例 1 .1)1(lim 1 n n n n 证明 证 1nx 1 )1( 1 n n n n 1 ,0任给 ,1 nx要 ,1 n只要 ,1n或 所以 , ,1N取 ,时则当 Nn 1)1( 1 n n n就有 .1)1(lim 1 n n n n 即 注意： 分析 : 例 1 例 1 . 证明 1)1(lim 1 n n n n . 证明 | x n 1| nnn n 1|1)1(| 1 , 所以 1)1(lim 1 nn nn . 下页 证明 因为 0 , 1 N N , 当 n N 时 , 有 证明 因为 0 , 1 N N , 当 n N 时 , 有 证明 因为 0 , 1 N N , 当 n N 时 , 有 ax nn lim 0, NN, 当 nN时 , 有 |xna| . 对于 0 , 要使 | x n 1| , 只要 n1 , 即 1n . | x n 1| nnn n 1 |1)1(| 1 . 对于 0 , 要使 | x n 1| , 只要 n1 , 即 1n . 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn a| 不易考虑，往往采用把 |xn a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标 N 放大的原则： 放大后的式子较简单 放大后的式子以 0为极限 例 2 证明 1lim 22 n ann 证明 1|1| 22 n anx n )( 22 2 nann a n a n 21 )1( 2 2 n aan 则若 0故 ,1m a x 2aN 则当 n N时，有 n a nn an 222 11 n1 1lim 22 n an n 例 3. 证 明 分析 ， 要使 （ 为简 化 ， 限定 n 只要 证 . 当 n N 时有 由定 义 适当予先限定 n n。是允 许 的！但最后取 N 时 要保 证 n n。 343l i m 2 2 n n n nnn n 12412343 22 2 12n 3 3,12m ax,0 N取 nnn n 12412343 22 2 343l i m 2 2 n n n . 例 4.证 明 （ K为 正 实 数） 证 ：由于 所以对任意 0，取 N= , 当 n N时 , 便有 01lim kn n kk nn 101 k 1 1 0 1 kn 01l i m kn n 例 5 .lim),( CxCCx n nn 证明为常数设 证 Cxn CC ,成立 ,0任给 所以 , 0 ,n对于一切自然数 .li m Cx nn 说明 :常数列的极限等于同一常数 . 小结 : 用定义证数列极限存在时 ,关键是任意给 定 寻找 N,但不必要求最小的 N. ,0 例 6 .1,0lim qq nn 其中证明 证 ,0任给 ,0 nn qx ,lnln n ,lnln qN 取 ,时则当 Nn ,0 nq就有 .0lim nn q ,0q若 ;00limlim nnn q则 ,10 q若 ,lnln qn 例 7 .lim ,0lim,0 ax axx nn nnn 求证 且设 证 ,0任给 .lim ax nn 故 ,lim ax nn ,1 axNnN n时恒有使得当 ax axax n n n 从而有 a ax n a 1 由上面数列极限的证明可总结出数列 极限证明的步骤： aa n 2 适当放大 aa n ，通常放大成 n Maa n 的形式 nM ， 求出需要的 N 1 化简 3 解 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等 式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表 达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛 盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 四 收敛的否定 : aa n n l i m 数列 na 发散 0 0 0 , 0 , n aN aa 0 n N , 有 0 0 0 0, n N aa 0n N, 有 五 数列极限的记註 : 1 满足条件 “ ”的 数列 : 。 2 axNnNa n ,0 , , , l i mnnna a a 改变或去掉数列的有限项 , 不影响数列的 收敛性和极限 . 重排不改变数列敛散性 : 3 数列极限的等价定 义 : )0( , , , ,0 :1 kkaaNnN n D :2D 对 0 , c 3 :D 对 仸正整数 .1 , , , maaNnNm n , , , nN n N a a 六 无穷小数列 : 定义 极限为 0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个 极限概念，趋向常数 0） nx nx n 命题 1. 的极限为 n 是无穷小量 . 0 axyax nnn )( nn yax a a 变量有极限 的充要条件为它可分解为 加一个无穷小量。 命题 2 00 nn xx 无穷小量加绝对值仍为无穷小量 。 命题 3 0,0 nnnn yxMyx无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 命题 4 小结 (1), 数列极限的定义 ; (2), 数列极限的几何意义 ; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法 . 2.2 收敛数列的性质 1、唯一性 2、 有界性 3、保号性 4、保不等式性 5、四则运算 6、迫敛性 7、子数列的收敛性 1、唯一性 定理 2.2 每个收敛的数列只有一个极限 . 证 ,lim,lim bxax nnnn 又设 由定义 , 使得.,0 21 NN ;1 axNn n时恒有当 ;2 bxNn n时恒有当 ,m a x 21 NNN 取 时有则当 Nn )()( axbxba nn axbx nn .2 .时才能成立上式仅当 ba 故收敛数列极限唯一 . 2、 有界性 定义 : 对数列 nx , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n , 恒有 Mx n 成立 , 则称数列 nx 有界 , 否则 , 称为无界 . 例如 , ;1 n nx n数列 .2 nnx 数列 数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间 , MM 上 . 有界 无界 定理 2.3 收敛的数列必定有界 . 证 ,li m ax nn 设 由定义 , ,1取 ,1, axNnN n时恒有使得当则 .11 axa n即有 ,1,1,m ax 1 aaxxM N记 , Mxn n 皆有则对一切自然数 .有界故 nx 注意： 有界性是数列收敛的必要条件 . 推论 无界数列必定发散 . 例 1 .)1( 1 是发散的证明数列 nnx 证 ,li m ax nn 设 由定义 , ,21对于 ,21, 成立有时使得当则 axNnN n ),21,21(, aaxNn n时即当 区间长度为 1. ,1,1 两个数无休止地反复取而 nx 不可能同时位于 长度为 1的 区间内 . ., 但却发散是有界的事实上 nx 3保序性 定理 2. 4 给定两个序列 nx ， ny ，若 n ， nn yx 且 ax nn lim ， by nn lim ，则 ba . 证 反证法，如若不然， ba ，取 20 ba ， 由 ax n n lim ， 0 ax n 20 baax n 又由 by nn lim ， 2N ，使得当 2Nn 时，有 0 by n 20 baby n 1N ，使得当 1Nn 时，有 定理 2.5 （保序性）设 l im , l im , nnnn a a b b 若 ab ， 则存在 N 使得当 Nn 时有 nn ba . 证：取 02 ba ，则存在 1N ，当 1Nn 时 2| baaa n 从而 22 babaaa n 又存在 2N ，当 2Nn 时 2| babb n 22 bababb n 当 ),m ax ( 21 NNn 时 nn abab 2 . 定理 2.6 (收敛数列的保号性 ) 如果数列 xn收敛于 a, 且 a0(或 a0), 那么存在正整 数 N, 当 nN时 , 有 xn0(或 xn0). 证明：由 0l i m ax nn ，取 020 a ， N ， 当 n N 时， ,2 2 2nn a a ax a x a .有 4 保号性 推论 如果数列 xn从某项起有 xn0(或 xn0), 且数列 xn收敛于 a, 那么 a0(或 a0). 这说明若数列 收敛且极限不为零，则当 n充分大时， 与 0的距离不能任意小 .这一 事实在后面讨论极限的四则运算时会用到 . nx nx nx 定 理 2. 7 如果数列 nn yx , 及 n z 满足下列条件 : ,lim,lim)2( )3,2,1()1( azay nzxy n n n n nnn 那末数列 n x 的极限存在 , 且 ax n n lim . 证 , azay nn 使得,0,0,0 21 NN 5 迫敛性 ( 双逼原理 ) ,1 ayNn n时恒有当 ,2 azNn n时恒有当 ,m a x 21 NNN 取 上两式同时成立 , , aya n即 , aza n 恒有时当 ,Nn , azxya nnn ,成立即 ax n .lim ax nn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 例 2 ).12111(lim 222 nnnnn 求 解 ,1111 2222 n nnnnnn n n nn n nn 1 1 1limlim 2 又 ,1 2 2 1 1 1lim 1 lim n n n nn ,1 由夹逼定理得 .1)12111(lim 222 nnnnn 6 绝对值 收 敛 性 : . l i m ,l i m aaaa nnnn ( 注意反之不成立 ). .0 l i m ,0l i m nnnn aa 推论 设 数列 na 和 nb 收 敛 , 则 .l i m , l i m m i n , m i n l i m , l i m , l i m m a x , m a x l i m n n n n nn n n n n n nn n baba baba 7数列极限的四则运算法则 ( 1 ) BAyx nnn )(lim ( 2 ) BAyx nnn )(lim ( 3 ) 当 0ny ( n 1 , 2 , ) 且 B 0 时 , BAyx n n n lim . 定理 2.8 设有数列 xn和 yn. 如果 Ax n n lim , By n n l i m , 那么 例 5 求 l im ( 1 ) n n n n l i m 1 n nn a a 例 4 求 解： 分 a=1， |a|1 三种情况 解 ：（分子有理化） 10 10 l im m m kn k a n a n a b n b n b 例 3 求 8、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的一个数列称为原数列 到中的先后次序，这样得这些项在原数列 保持中任意抽取无限多项并定义：在数列 n n n x x x , 21 ni xxxx , 21 knnn xxx . kk k nn n n k k x x k x x n n k 在 子 数 列 中 ， 一 般 项 是 第 项 ， 而 在 原 数 列 中 却 是 第 项 ， 显 然 ， 注意： 例如， 定理 7 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相 同 证 的任一子数列是数列设数列 nn xx k ,lim ax nn .,0,0 axNnN n恒有时使 ,NK 取 ,时则当 Kk . k K Nn n n N . ax kn .lim ax knk 证 毕 例 6 对于数列 xn )(2 kax k若 )(12 kax k )( nax n则 证 0 知由 ax kk 2lim 时，有使当 11 , KkK | 2 ax k 知再由 ax kk 12lim 时，有使当 22 , KkK | 12 ax k 12,2m a x 21 KKN取 时则当 Nn 11222 KmKmmn 则若 此时有 | 2 axax mn 22 121212 KmKmmn 则若 此时有 | 12 axax mn 总之： 0 N 时使当 Nn 恒有 | ax n ax n n lim即 )( ),()( | nax qpaNBA BqxApxx n qpn 则 趋于同一极限值其中 与：若子数列对数列 Th ( 数列收 敛 充要条件 ) na 收 敛 na Th ( 数列收 敛 充要条件 ) na 收 敛 子列 12 na 和 na2 收 敛 于同一极限 . 的任何子列收敛 于同一极限 . Th ( 数列收 敛 充要条件 ) na 收 敛 子列 12 ka 、 ka2 3 ka都收 敛 . 和 思考题 指出下列证明 1lim n n n 中的错误 证明 要使 ,1 n n 只要使 )1ln(ln1 nn 从而由 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn 得 ,0 取 1)1ln( 2ln N 当 时，必有 成立 Nn 10 n n 1lim nn n 思考题解答 1n n )1ln(ln1 nn （等价） 证明中所采用的 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn 实际上就是不等式 )1ln(ln2ln n nn 即证明中没有采用“ 适当放大 ” 的值 nnln 从而 时， 2ln )1ln( Nn 仅有 成立， )1ln(2ln n 但不是 的充分条件 )1ln(ln n n 反而缩小为 n2ln 小结 (1), 唯一性 ; (2), 有界性 ; (3), 保号性 ; (4), 四则运算法则 ; (5), 不等式性 ; (6), 收敛数列与其子列的关系 . 2.3 数列极限存在的条件 一 数列收敛的一个充分条件 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则 三 关于极限 四 数列 单调有界证法欣赏 :11l i m en n n n n 11 一 单调有界原理 定义 称为单调上升的，若 nx nxxxx 321 nx 称为单调下降的，若 nxxxx 321 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 . 提问 : 收敛的数列是否一定有界 ？ 有界的数列是否一定收敛 ？ M 定理 1(单调有界定理 ) 单调有界数列必有极限 . 定理 1的几何解释 x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例 , 数列的点只可能向右一个方向移 动 , 或者无限向右移动 , 或者无限趋近于某一定点 A, 而对有界 数列只可能后者情况发生 . 数列极限存在的条件 数列极限存在的条件 定理 1(单调有界定理 ) 单调有界数列必有极限 . .为有上界的递增数列不妨设 na .s u p, nn aaa 记有上界数列由确界原理 .的极限就是下证 naa .,0 NnN aaaa， 使得按上确界定义事实上 证明 ., nNn aaaNna 时有当的递增性又由 ., aaaaaa nnn 都有故的一个上界是而 . aaaNn n时有所以当 .lim aa n n 即 .数列必有极限同理可证有下界的递减 例 1 设 ). 2 ( ,1 3 1 2 11 na n 证明数列 收敛 . na 例 2 例 3 222 , ,22 ,2 21 naaa (n重根号 ), 证明数列 na 单调有界 , 并求极限 . . 2 1 .0 ,0 11 n nn x axxxa 求 .lim nn x ( 计算 a 的逐次逼近法 , 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式 , 有 n nn x axx 2 1 1 . n n n xax ax 有下界 ; 注意到对 ,n 有 ,ax n 有 n nn n x a a x a x x .1 ) ( 1 2 11 2 1 22 1 , .l i m ax n n 例 4 1）证明序列 nnx n ln131211 的极限存在； 2）求极限 1)1(31211l i m 1 nn n 解 1） 因 1x 时有 xxxx )1l n (1 )0( x 所以 kkk 1)11l n ( 1 1 ）， 21( k 即有 n k n k n nnnknkx 11 0ln)1l n (ln)11l n (ln1 011)11l n (11ln)1l n (1 nnnnnxx nn 故序列 nx 下降。因此序列极限存在，记极限 值为 c。于是 n k ncnk 1 ln1 这表明序列 nx 有下界。又 或 n k nnck 1 ln1 )0l i m( nn 2） 因 nn nn n k n k n k k ncnc kkk 2 2 1 2 1 2 1 1 2ln ln)2l n ( 2 1 2 1)1( 所以 2ln)1(l i m 2 1 1 n k k n k 又 2ln)1(l i m 12 1 1 n k k n k 即得 2ln)1(l i m 1 1 n k k n k 二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则 1 Cauchy列： 如果数列 具有以下特性： 则称数列 是一个基本数列 .（ Cauchy列） 2 Cauchy收敛准则： 定理 数列 收敛的充要条件是： 是一个基本数列 . 数列 收敛 或 定理 （ 柯西收敛准则 ） 数列 nx 收敛的充分必要条件 是 0 ， N ，当 Nmn , 时，有 mn xx 。 证明 ：必要性。 则 0 ， NN ， Nn ， Nm 时， 若 nx 收敛于 a ，设 ax nn l i m ， 有 2 ax n ， 2 ax m ， 故 22 axaxxaaxxx mnmnmn 。 充分性的证明从略。 柯西收敛准则也可叙述为 数列 nx 收敛 0 ， NN ， Nn 时， Np ，有 npn xx 。 柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中充分远 （即 n 充分大）的任意两项的距离能够任意小。柯西收敛 准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根 据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。 数列极限存在的条件 定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边 ,彼 此越是接近 ,以至充分后面的任何两项之差的绝对 值可小于预先给定的任意小正数 .或形象地说 ,收 敛数列的各项越到后面越是挤在一起 . x1 x2 x3 x4 x5 例 5 证明 : 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛 . 其中 是 中的数 . 证 令 na 有 例 6 利用柯西收敛准则证明数列 n k kn kx 1 2s i n 收敛。 证明： Npn , ， 有 pnnnnpn pnnn xx 2 )s i n ( 2 )2s i n ( 2 )1s i n ( 21 ) 2 1 2 1 2 11( 2 1 2 1 2 1 2 1 12121 pnpnnn . 2 1 ) 2 1 1( 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 npn p n 0 ， 1l o g 2N ， Nn 时，有 npn xx 。 数列 n k kn k x 1 2 s i n 收敛。 例 7 证明：若 nnn cxx 1 ，且 nn cccs 21 ， 而数列 ns 收敛，则数列 nx 也收敛。 证明 ：已知数列 ns 收敛，根据柯西收敛准则， 0 ， NN ， Nn 时， Np ，有 1111 pnnnnpn cccss ， npn xx 1121 pnpnnnnn xxxxxx 11 pnnn ccc ， 数列 nx 也收敛。 nnnpnpnpn xxxxxx 1111 三 . 关于极限 （证明留在下段进行 .） 例 8 例 9 例 10 四 数列 证法一 单调有界证法欣赏 : Cauchy (1789 1857 ) 最先给出这一极限， Riemann（ 1826 1866）最先给出以下证法一 . 设 用二项式展开，得 注意到 且 比 多一项 即 . 有界 . 综上 , 数列 单调有界 . 评註 : 该证法朴素而稳健 , 不失大师风度 . 证法二 ( 利用 Bernoulli不等式 ) 注意到 Bernoulli不等式 ( 1 ) 1 , ( 1 , nx n x x n 为正整数 ), 有 n n n n n n x x 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn nn n 12 2 1 1 1 2 2 , )1( 1 1 1 1 1 2 n nn 由 ,1 )1( 1 2 n 利用 Bernoulli 不等式 , 有 .1 133 233 )1( 1 1 1 1 23 23 2 1 nnn nnn n n nx x n n n x . 为证 n x 上方有界 , 考 虑 数列 . 1 1 1 n n n y 可 类证 n y . 事 实 上 , 1n n y y 2 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 2 2 2 12 2 1 n nn nn n n nn n n n nnn n n 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 n y nnn nnn ,1 44 144 23 23 . 显 然有 , . nyx nn 有 .4 1 yyx nn 即数列 n y 有上界 . 评 註 : 该证 法的特点是惊而无 险 ，恰到好 处 . 证 法三 ( 利用均 值 不等式 ) 在均 值 不等式 )0( , 1 1 21 i n i i n n aa n aaa 中 , 令 ,1 , 1 1 1 121 nn a n aaa 就有 , 1 1 1 11 1 1 1)1( 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x n nn n nn x , 1 nn xx 即 n x . 令 ,1 , 1 1 1 121 nn a n aaa 可仿上 证 得 3n 时 n n 1 1 。 ( 1n 时 无意 义 , 2n 时诸 i a = 0 , 不能用均 值 不等式 . ) 当 2n 时 , 由 . 1 1 11 1 ,1 1 1 1 1 1 1 2 n nnnn . 1 1 11 1 n n n n 由 n n 1 1 n n 1 1 1 . 2 2 1 1 1 n x 证 法四 ( 仍利用均 值 不等式 ) 个n n nnnn 1 1 1 1 1 1 1 1 , . 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 1 nn nn n xx nn n n n n 即 n x . “ 均 值 不等式妙用两 则 ” . 证 法五 先 证 明： 对 ba 0 和正整数 n ，有不等式 .)1( 11 n nn bn ab ab 事 实 上， ab abaabbab ab ab nnnnnn 1111 )( nnnn abaabb 11 .)1( n bn 该 不等式又可 变 形 为 ,)1( 1 nn anbanb ( nba ,0 为 正整数 ) 在此不等式中 , 取 , 1 1 , 1 1 1 n b n a 则 有 ,0 ba 就有 n nn x nn , 1 1 1 1 1 1 . 取 , 2 1 1 ,1 n ba 又有 1 2 1 2 1 1 n n 对 n 成立， ,2 2 1 1 n n .4 2 1 1 2 2 n n n x 小结 (1), 单调有界定理 ; (2), 单调有界定理的几何意义 ; (3), 柯西收敛准则 ; (4), 柯西收敛准则的几何解释 .
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