心轴的强度及刚度计算.ppt

3.2.3 心轴的强度和刚度计算 一、心轴弯曲的概念与实例 二、作用在心轴上载荷的分类 三、剪力与弯矩 四、剪力图与弯矩图 五、 平面弯曲梁的强度计算 六、平面弯曲梁的刚度计算 七、提高梁强度和刚度的措施 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 一、心轴弯曲的概念与实例 F q ( a ) ( b ) 心轴： 工作时仅承受弯矩而不传递转矩。 受力特点： 梁轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的 外力 作用。 变形特征： 构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为 弯 曲变形 。以弯曲变形为主的构件习惯上称为 梁 。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 y z y z y z y z 工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、 T 字形和工字形等。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 心轴横截面一般都有一个或几个对称轴 ， 由纵向对称轴与梁的 轴线组成的平面称为 纵向对称平面 。 图 6.3 二 、 作用在心轴上载荷的分类 集中力 集中力偶 均布载荷 N A 弯 曲 后 的 轴 线 N B q F 纵 向 对 称 面 对 称 轴 轴线 M 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 BA BA BA ( a ) ( b ) ( c ) 外伸梁： 梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁。 悬臂梁： 梁的一端为固定端支座， 另一端为自由端。 简支梁： 梁的一端为固定铰链支座， 另一端为活动铰链支座。 梁的简化 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 三、剪力与弯矩 A x m m F B N A N B a l N A A C 1 m m M F s m m F B N B s F M ( a ) ( b ) ( c ) 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 利用静力平衡条件求出 A、 B的支座反力 NA与 NB为： FlaNFl alN BA , 用一截面将梁沿 m-m截面截开 ， 取左段 进行分析： xF l al MxNMm F l al NFFNF AC AssA 1 0 若取 m-m截面 右段 为研究对象，作同样分析后，可求得与左 段截面上等值、反向的剪力 s和弯矩 M，与左段截面上的剪力 Fs和弯矩 M互为作用与反作用的关系。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 剪力符号规定 F s F s F s F s ( )( ) 剪力符号规定 ：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的 剪力方向为正，反之为负； 弯矩符号规定： 使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反 之为负。 弯矩符号规定 ( ) ( ) M M M M 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 梁内任一截面上的剪力 ， 等于截面任一侧梁上外力的代 数和；梁内任一截面上的弯矩 ， 等于截面任一侧梁上外力对该 截面形心力矩的代数和 。 计算剪力时 ： 截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号； 计算弯矩时： 无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下 的外力取负号。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 四 、 剪力图和弯矩图 工程中 ， 梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化 。 若以横坐标 x表示梁的横截面位置 ， 则梁在各横截面上的剪力 Fs 和弯矩 M可以写成 x的函数： Fs=Fs(x) M=M(x) 为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变 化规律 ， 可根据剪力方程和弯矩方程 , 用横坐标 x表示梁的横截 面的位置 , 纵坐标分别表示剪力 Fs和弯矩 M的大小而画出的图形 ， 分别称为 剪力图 和 弯矩图 。 剪力方程 弯矩方程 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 kNNFN kNFN FNm AB A AB 8 4 3 1 013 【 例 3-1】 如图 (a)所 示 ， 简支梁 AB受集中 截荷 F=12kN， 试画 出其剪力图和弯矩图 。 ( a ) A 2 m F 1 m B N A N B x 1 x 2 ( b ) C 1 x 1 F s 1 M 1 N A N A x 2 F C 2 F s 2 F s A 0 4 k N C B x 8 k N M A 0 8 k N m C B ( c ) ( d ) ( e ) C M 2 x 例 3-1图 解 (1) 求 A、 B的支座反力。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 (2) 列剪力方程与弯矩方程 。 )20(4 0 4 0 111 1 1 1 1 xxM xNMm kNNF NF AC As As 对 AC段，取距 A端为 x1的截面左段，画出受力图，如图 (b) 所示。列平衡方程： 对 CB段 ， 取距 A端为 x2的截面左段 ， 画出受力图 ， 如图 (c)所 示 。 列平衡方程： )32(824 0)2( 8124 0 222 222 2 2 2 xxM xNxFMm kNFNF NFF AC As As (3) 绘制剪力图和弯矩图。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 3-2】 如图 （ a） 所 示 ， 简支梁 AB上作用一 集中力偶 M， 试绘出梁 AB的剪力图和弯矩图 。 例 3-2图 ( a ) ( b ) ( c ) A N A 1 1 x 1 a x 2 l M 2 2 B N B F s 0 M 0 A B x x C B C M / l M a / l ( l a ) M / l 解 (1) 求 AB的支座反力，由力偶系平衡可得 l MNN BA (2) 列剪力方程和弯矩方程。 1-1截面，剪力方程为： l MF s 1 弯矩方程为： 11 xl MM (0 x1a) 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 2-2截面，剪力方程为： l MF s 2 弯矩方程为： 22 xl MMM (ax2l) (3) 绘制剪力图和弯矩图 。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 3-3】 如图 (a)所示 ， 悬 臂梁 AB受均布载荷作用 ,试 绘制其剪力图和弯矩图 。 解 设截面 m-m与 B端之 间的距离为 x， 取 m-m截面的 右段为研究对象 ， 画出受力 图 ， 如图 （ b） 所示 。 根据平衡条件： Fs-qx=0 Fs=qx (0 xl) 02 xqxM 221 qxM (0 xl) q m 1 m x l A B M F s m m q B ql F s x x M 0 0 2 2 1 ql ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) l 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 四 、 剪力图和弯矩图 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系，可不比列出剪力和弯矩方程即可画 出剪力图和弯矩图。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 五、平面弯曲梁的强度与刚度计算 1、纯弯曲试验 A P P B C D l l F s A 0 P B C D x P M 0 A Pl B C D x 纯弯曲： 只有弯矩没有剪力。 剪切弯曲： 既有剪力又有弯矩。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 1 2 a a b b 1 2 ( a ) 1 2 a a b b 1 2 M M ( b ) ( c ) 1 1 中 性 层 中 性 轴 Z 2 2 纯弯曲梁的变形 纯弯曲梁的变形特征： 横向线仍是直线且仍与梁的 轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； 纵向线（包括轴线）都变成 了弧线； 梁横截面的宽度发生了微小 变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区 则变窄了些 。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 2、 横截面上的正应力 受 拉 力 中 性 轴 受 压 力 b M h M M o y M y o h ( b )( a ) z 梁受纯弯曲时 ， 其横截面上 只有正应力 ， 没有切应力 。 横截面上 任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比 ， 距中 性轴等高度的各点正应力相等 ， 而中性轴上各点处正应力为零 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 离中性轴最远的梁的上 、 下边缘处正应力最大 ， 最大正应力用 符号 max表示 ， 其值为： zW M m a x 式中 , 称为截面对中性轴 z的 抗弯截面系数 ， 其 单位为 m3或 mm3 m axy IW z z 可以证明距离中性轴为 y处点的正应力计算公式为： y=My y/Iz 式中 ， Iz为横截面对中性轴的惯性矩 对 矩形截面： Iz=bh3/12， 圆形截面： Iz=d4/64。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 y h z b y z d y D d z ( a ) ( b ) ( c ) 6 2bh W z 圆形截面： 32 3d W z 圆环截面： )1(32 4 3 DW z D d 矩形截面： 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3、 组合截面二次矩 平行移轴公式 2 2 z zc y y c I I a A I I b A 若梁的截面形状复杂，并可分解为几个简单图形的组合， 则可用平行移轴公式计算某截面对任意轴的截面二次矩： 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3、 组合截面二次矩 平行移轴公式 【 例 】 试求图 3-2-27所示 T形截面对其形心轴的惯性矩。 解： 1.求 T形截面的形心座标 yc 1 1 2 2 12 50 10 5 50 10 35 20 50 10 50 10c A y A yy m m AA 2.求截面对形心轴 z轴的惯性矩 3 1 2 5 4 1 1 1 3 2 2 5 4 2 2 2 1 2 5 5 4 50 10 20 5 50 10 1.1 7 10 12 10 50 35 5 50 10 2.1 6 10 12 1.1 7 2.1 6 10 3.3 3 10 zz zz z z z I I a A m m I I a A m m I I I m m 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 4、 弯曲正应力强度条件 m a xm a x zW M 对于一般塑性材料其抗拉强度与抗压强度相等时 ， 采用材料的许用拉 (压 ) 应力 。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同 （ 脆性材料 ） ， 应分别校核抗拉强度 与抗压强度 。 对于中性轴不是截面的对称梁 ， 其最大拉应力值与最大压应力值不相等 。 如图 所示的 T形截面梁 ， 最大拉应力和最大压应力分别为： m a x, m a x, cc tt ZZ I yM I yM 1m a x m a x 2m a x m a x , 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 4、 弯曲正应力强度条件 m a xm a x zW M 利用强度条件可解决三类强度计算问题： 强度校核： 截面设计： 确定需用载荷： ZMW Z MW 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 】 如图所示 ， 一矩形截面悬臂梁长 l=4m， 材料的许用应力 =150MPa， 求此悬臂梁的许可载荷 。 图 6.15 F l M 0 F l x 1 0 0 2 0 0 ( a ) ( b ) 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 解： 绘出悬臂梁的弯矩图 , 如图 b)所示 。 图中 ， Mmax=Fl=4000F。 梁的横截面抗弯截面系数为： 6 200100 2 zW 由梁的弯曲正应力强度条件得： NF F W M z 0 0 0251 5 0 4 0 0 06 2 0 01 0 0 6 2 0 01 0 0 4 0 0 0 2 2 m a x 因此 , 悬臂梁的许可载荷为 F=25 000N。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 】 某建筑工地上 , 用长为 l=3 m的矩形截面木板做跳板 , 木 板横截面尺寸 b=500 mm, h=50 mm, 木板材料的许用应力 =6 MPa, 试求： （ 1） 一体重为 700N的工人走过是否安全 ？ （ 2） 要求两名体重均为 700N的工人抬着 1500 N的货物安 全走过 ， 木板的宽度不变 ， 重新设计木板厚度 h。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 解 （ 1）计算弯矩的最大值 max。当工人行走到跳板中央 时，弯矩最大。 mNM 525232700m a x 校核弯曲强度 : 52.2 6 50500 10525 2 3 m a x m a x M P a W M z 所以 , 体重为 700 N的工人走过是安全的。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 (2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力 ， 且作用在跳 板长度的中点时最危险 ， 此处弯矩最大值为： mNM 2 1 7 5232 1 5 0 027 0 0m a x 按弯曲强度设计： 6 6 5 0 0 102 1 7 5 2 3 m a x m a x hW M z h65.95 所以，木板厚度 h应满足 h66 mm。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 六、梁 的 弯曲变形概述 挠度： 截面形心位移的垂直分量 （ 线位移 ） ， 用 表示 。 1、挠度与转角 A y t q C 1 C m B x t B m m m q 正负号规定： 向上为正，向下为负 转角： 梁弯曲变形后，轴上任意一点 C处的横截面 m-m将绕中性轴 转动一个角度至 m-m，其角位移 称为该截面的转角。 正负号规定： 逆为正，顺为负 =f(x) 挠曲线方程 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 2、 挠曲线微分方程 几种常见梁的简单载荷作用下的变形 A l B F q B A l B B M e 梁 的 简 图 端 截 面 转 角 z B EI Fl 2 2 q A a l q B q B F B B z B EI Fl 3 2 最 大 挠 度 z e B EI M 2 q z e B EI lM 2 2 z B EI Fa 2 2 q )3( 6 2 al EI Fa z B 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 z B EI ql 6 3 q z B EI ql 8 4 z BA EI Fl 16 2 qq z EI Fl 48 3 m a x z BA EI ql 24 2 qq z EI ql 38 5 4 ma x z BA EI F al 62 1 qq )( 3 2 al EI Fa z C )( al EI Fa z C 32 6 q A l a B C F q C q B q A A l B q q A q B A l /2 l /2 C F B A q q B B l B q B q A 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 当梁上同时受到几个载荷作用时 ， 可分别计算出单个载荷作用 下梁的挠度和转角 ， 再将它们求代数和 ， 得到所有载荷同时作用时 梁的总变形 。 3、计算变形的叠加法 4、刚度条件 m a x m a x qq 其中 、 的具体数值可查有关设计手册。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 【 例 】 如图 (a)所示 ， 行车大梁采用 NO.45a工字钢 ， 跨度 l=9m， 电动葫芦重 5 kN， 最大起重量为 55 kN， 许用挠度 =l/500， 试校核行车大梁的刚度 。 l F A q F C B CF Cq ( b )( a ) 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 解 ：将行车简化后受力情况如图 6.17(b)所示 。 把梁的自重看成 均布载荷 ， 并且 ， 当电动葫芦处于梁的中央时 ， 梁的变形最大 。 (1) 用叠加法求挠度 。 查手册可知： NO.45a工字钢的 q=788N/m, Iz=32 240 cm4, E=200GPa。 梁需要承受的最大载荷 F=5+55=60kN。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 查表可得，在力 F作用下产生的挠度为： m EI Fl CF CF 014.0 10240321020048 91060 48 89 3 3 在均布载荷 q作用下产生的挠度为： m EI ql Cq z CF 001.0 102403210200348 97885 38 5 89 4 4 梁的最大变形： c max=CF+Cq=0.015 m。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 (2) 校核梁的刚度。 梁的许用挠度 ml 018.05009500 ，则： m a x c 所以梁的刚度足够。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 七、提高梁的承截能力的措施 1、合理安排梁的支承 均布载荷作用在简支梁上时，最大弯矩与跨度的平方成正比， 如能减少梁的跨度，将会降低梁的最大弯矩。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 七、提高梁的承截能力的措施 2、合理布置载荷 使梁上载荷分散布置，可以降低最大弯矩。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3、 选择合理的截面 根据抗弯截面系数与截面面积比值 Wz/A选择截面 七、提高梁的承截能力的措施 抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使 用的材料越少。同时考虑梁的安全性与经济性，可知 Wz/A值越大， 梁截面越合理 。 矩形截面： 圆形截面： 高为 h的工字形 与槽形截面： 三种截面的合理顺序是： 1）工字形与槽形截面； 2）矩形截面； 3）圆形截面。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 4. 减小跨度或增加支承 由前面内容可知 ， 梁的变形与梁的跨度的高次方成正比 ， 减小跨度 L能够有效地提高梁的抗弯刚度并减少弯矩； 增加支 承也可以提高梁的抗弯刚度 。 如车床上车削工件时 ， 由于车刀 尖给工件作用力 ， 不用尾架顶尖时工件易变形 。 使用顶尖后 ， 变形可以减小 。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3、 选择合理的截面 根据材料的拉压性能选择截面 七、提高梁的承截能力的措施 对于塑性材料 ，其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性轴为 截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等。如矩形、工 字形、圆环形、圆形等截面形式。 对于脆性材料 ，其抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是 对称轴的截面，如 T形截面，使中性轴靠近受拉端： 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 思 考 与 练 习 3.1 具有对称截面的直梁发生平面弯曲的条件是什么 ？ 3.2 如何理解在集中力作用处 ， 剪力图发生突变 ? 在集中力 偶作用处 ， 弯矩图发生突变 ? 3.3 一矩形截面梁 ， 它的高 、 宽之比 h/b=2, 在相同受力条件 下 ， 截面竖放与平放时 ， 横截面上的最大正应力相差几倍 ？ 3.4 为什么弯曲与拉伸组合变形时只需要校核拉应力强度条 件 ， 而弯曲与压缩组合变形时脆性材料要同时校核拉应力和压 应力强度条件 ？ 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3.5 同时承受拉伸 、 扭转和弯曲变形的圆截面杆件 ， 按第三 强度理论建立的强度条件是否可写成如下形式 ？ 为什么 ？ 22 z N rs W TM A F 3.6 试列出练习 3.6图示的各梁的剪力方程和弯矩方程， 画 出剪力图和弯矩图。 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 练习 3.6图 A B C l l ( a ) A l l M B C F F q l A F F B a a ( b ) ( c ) ( d ) 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3.7 空心管梁受载如练习 3.7图所示 ， 已知 =150MPa， 外径 D=80 mm, 求内径 d的最大值 。 练习 3.7图 F 2 0 k N A C B D 2 5 0 1 2 0 1 5 0 M 1 . 5 k N m 3.2.3 心轴的强度和刚度计算 3.8 一矩形截面外伸梁受力如练习 3.8图所示 。 已知材料许 用应力 =160MPa， 求最大许可载荷 Fmax。 练习 3.8图 A B C F 8 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 5 0 0