312概率的意义

3.1.2 概率的意义概率的意义自自 学学 导导 引引1.正确理解概率的意义正确理解概率的意义.2.利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.课课 前前 热热 身身1.对于给定的随机事件对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加如果随着试验次数的增加,事件事件A发发生的生的_稳定在某个常数上稳定在某个常数上,把这个常数叫做把这个常数叫做P(A),称为称为_,简称简称A的概率的概率.2.只有当频率在某个常数附近摆动时只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件这个常数才叫做事件A的概率的概率,概率是频率的概率是频率的_,而频率是概率的而频率是概率的_.概率反映了随机事件发生的概率反映了随机事件发生的_的大小的大小.频率频率f(A)事件事件A的概率的概率 稳定值稳定值 近似值近似值 可能性可能性 名名 师师 讲讲 解解1.概率的正确理解概率的正确理解(1)抛掷硬币的结果出现正抛掷硬币的结果出现正 反的概率为反的概率为0.5,则连续抛掷两次则连续抛掷两次质地均匀的硬币质地均匀的硬币,不一定出现一次正面向上不一定出现一次正面向上,一次反面向上一次反面向上,它可能它可能“两次正面都向上两次正面都向上”“”“两次反面都向上两次反面都向上”“”“一次正一次正面向上面向上,一次反面向上一次反面向上”.因为随机事件的发生有其随意性因为随机事件的发生有其随意性.(2)随机事件在一次试验中发生与否是随机的随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含但随机性中含有规律性有规律性.例如例如,某篮球运动员投三分球投中的概率是某篮球运动员投三分球投中的概率是0.8,那么他连续投那么他连续投球球5次次,则一定投中则一定投中4次次,这样理解是不正确的这样理解是不正确的.把每投一次球把每投一次球看作是一次试验看作是一次试验,其结果是随机的其结果是随机的,他虽然投三分球的投中他虽然投三分球的投中率很高率很高,但投球但投球5次会出现的结果可能是次会出现的结果可能是:进球进球5次次,4次次,3次次,2次次,1次次,也有可能是也有可能是0次次.2.游戏的公平性游戏的公平性在各类游戏中在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平那么游戏就是公平的的.这就是说这就是说,是否公平只要看获胜的概率是否相等是否公平只要看获胜的概率是否相等.(1)体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等概率相等,这样才是公平的这样才是公平的.(2)每个购买彩票的人中奖的概率应是相等的每个购买彩票的人中奖的概率应是相等的,这样对每个人这样对每个人才是公平的才是公平的.(3)假设全班共有假设全班共有5张电影票张电影票,如果分电影票的方法能够使得每如果分电影票的方法能够使得每人得到电影票的概率相等人得到电影票的概率相等,那么这样的分法才是公平的那么这样的分法才是公平的.3.决策中的概率思想决策中的概率思想极大似然法和似然法极大似然法和似然法,它们是两种重要的统计思想方法它们是两种重要的统计思想方法.如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务务,那么那么“使得样本出现的可能性最大使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的可以作为决策的准则准则,这种判断问题的方法称为极大似然法这种判断问题的方法称为极大似然法.如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判那么判断正确的可能性也最大断正确的可能性也最大.这种判断问题的方法称为似然法这种判断问题的方法称为似然法.例如例如,一个不透明的袋子中一个不透明的袋子中,装有若干个黑装有若干个黑 白两种围棋子白两种围棋子,充充分搅匀后分搅匀后,从中任取一个棋子从中任取一个棋子,不放回的任取不放回的任取5次次,其结果是其结果是取出的棋子都是黑色的取出的棋子都是黑色的,由试验的结果由试验的结果,很可能会想到很可能会想到,这袋这袋子中黑棋子要比白棋子多得多子中黑棋子要比白棋子多得多.4.天气预报的概率解释天气预报的概率解释天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际经验经验,经过分析推断得到的经过分析推断得到的.它不是本书上定义的概率它不是本书上定义的概率,而是而是主观概率的一种主观概率的一种.比如说降水概率比如说降水概率,不可能做大量相同的重复试验不可能做大量相同的重复试验,通过频率稳通过频率稳定性得到概率的值定性得到概率的值.但是这个值是专家依据以前的气象资但是这个值是专家依据以前的气象资料和近期的观测资料料和近期的观测资料,再结合个人经验得到的值再结合个人经验得到的值,具有相同具有相同信息信息,并有类似经验的决策人都会做出大致相仿的判断并有类似经验的决策人都会做出大致相仿的判断,给给出大体上差不多的概率值出大体上差不多的概率值.降水概率的大小只能说明降水可能性的大小降水概率的大小只能说明降水可能性的大小,概率值越大只能概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大表示在一次试验中发生的可能性越大.在一次试验中在一次试验中“降降水水”这个事件是否发生仍然是随机的这个事件是否发生仍然是随机的.例如例如,如果天气预如果天气预报说报说“明天降水的概率为明天降水的概率为90%”,但是但是,尽管明天下雨的可能尽管明天下雨的可能性很大性很大,但由于但由于“明天下雨明天下雨”是随机事件是随机事件,因此仍然有可能因此仍然有可能不下雨不下雨.5.遗传机理中的统计规律遗传机理中的统计规律(1)每个豌豆均由两个特征因子组成每个豌豆均由两个特征因子组成,下一代是从父母辈中各下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征随机地选取一个特征组成自己的两个特征,同时要注意显同时要注意显性因子与隐性因子的区别性因子与隐性因子的区别.(2)每个结果可以看成一个随机事件每个结果可以看成一个随机事件,实际上这是一个古典概实际上这是一个古典概型问题型问题,完全类似于连续两次掷同一枚硬币完全类似于连续两次掷同一枚硬币,或同时掷两枚或同时掷两枚硬币的试验硬币的试验,可以把正面当成显性因子可以把正面当成显性因子,反面当成隐性因子反面当成隐性因子.进而体会掷硬币试验是一个具有一般意义的进而体会掷硬币试验是一个具有一般意义的“模型模型”,有有助于更好地理解其他问题助于更好地理解其他问题.(3)概率理论是统计学的基础概率理论是统计学的基础,这里用概率的理论解释了试验这里用概率的理论解释了试验结果的统计规律结果的统计规律.(4)请同学们思考请同学们思考,按照遗传规律按照遗传规律,第三年收获豌豆的比例是多第三年收获豌豆的比例是多少少?典典 例例 剖剖 析析题型一题型一 正确理解概率的意义正确理解概率的意义例例1:有人说有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上一定是一次正面朝上,一一次反面朝上次反面朝上.你认为这种想法正确吗你认为这种想法正确吗?解解:尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都是尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都是0.5,但连但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次各一次,我们如果每个同学都连续抛掷两次硬币我们如果每个同学都连续抛掷两次硬币,统计全班统计全班同学的试验结果同学的试验结果,则可以发现有三种可能的结果则可以发现有三种可能的结果:“两次正面两次正面朝上朝上”;“两次反面朝上两次反面朝上”;“一次正面朝上一次正面朝上,一次反面朝上一次反面朝上”.这正体现了随机事件发生的随机性这正体现了随机事件发生的随机性.随着试验次数的增加随着试验次数的增加,可以发现可以发现,“正面朝上正面朝上 反面朝上各一次反面朝上各一次”的频率与的频率与“两次均正面朝上两次均正面朝上”“两次均反面朝上两次均反面朝上”的频的频率是不一样的率是不一样的,而且而且“两次均正面朝上两次均正面朝上”的频率与的频率与“两次两次均反面朝上均反面朝上”的频率大致相等的频率大致相等;“正面朝上正面朝上 反面朝上各一反面朝上各一次次”的频率大于的频率大于“两次均正面朝上两次均正面朝上”(“两次均反面朝上两次均反面朝上”)的频率的频率.事实上事实上,“两次均正面朝上两次均正面朝上”的概率为的概率为0.25,“两次均两次均反面朝上反面朝上”的概率也为的概率也为0.25,“正面朝上正面朝上 反面朝上各一次反面朝上各一次”的概率是的概率是0.5.变式训练变式训练1:某种疾病治愈的概率是某种疾病治愈的概率是0.3,有有10个人来就诊个人来就诊,如果如果前前7个人没有治愈个人没有治愈,那么后那么后3个人一定能治愈吗个人一定能治愈吗?如何理解治如何理解治愈的概率是愈的概率是0.3?解解:如果把治疗一个病人作为一次试验如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈的概率是治愈的概率是30%,是是指随着试验次数的增加指随着试验次数的增加,大约有大约有30%的病人能治愈的病人能治愈,对于一对于一次试验来说次试验来说,其结果是随机的其结果是随机的,因此因此,前前7个病人没有治愈是个病人没有治愈是有可能的有可能的,而对后而对后3个病人而言个病人而言,其结果仍是随机的其结果仍是随机的,即有可即有可能治愈能治愈,也有可能不能治愈也有可能不能治愈.题型二题型二 游戏公平性的判断游戏公平性的判断例例2:元旦就要到了元旦就要到了,某校将举行联欢活动某校将举行联欢活动,每班派一人主持节每班派一人主持节目目,高二高二(1)班的小明班的小明 小华和小丽实力相当小华和小丽实力相当,都争着要去都争着要去,班班主任决定用抽签的方法来决定主任决定用抽签的方法来决定,机灵的小强给小华出主意机灵的小强给小华出主意,要小华先抽要小华先抽,说先抽的机会大说先抽的机会大,你是怎么认为的你是怎么认为的?说说看说说看.分析分析:解决抽签先后是否公平问题解决抽签先后是否公平问题,实际上就是判断先抽与后实际上就是判断先抽与后抽的人抽到奖的概率是否相等抽的人抽到奖的概率是否相等,此问题可以利用标有此问题可以利用标有1,2,3的三张卡片表示三个签的三张卡片表示三个签,用标有用标有1的签表中奖的签的签表中奖的签,判断他们判断他们先抽或后抽先抽或后抽,抽到标签抽到标签1的概率是否相等的概率是否相等.解解:我们取三张卡片我们取三张卡片,上面标有上面标有1,2,3,抽到抽到1就表示中签就表示中签,假设抽假设抽签的次序为甲签的次序为甲 乙乙 丙丙,则可以把所有的情况填入下表则可以把所有的情况填入下表:情况情况人名人名一一二二三三四四五五六六甲甲112233乙乙231312丙丙323121从上表可以看出从上表可以看出:甲甲 乙乙 丙依次抽签丙依次抽签,一共有六种情况一共有六种情况,第一第一 二种情况二种情况,甲中签甲中签;第三第三 五种情况五种情况,乙中签乙中签;第四第四 六种六种情况情况,丙中签丙中签.由此可知由此可知,甲甲 乙乙 丙中签的可能性都是相同丙中签的可能性都是相同的的,即甲即甲 乙乙 丙中签的机会是一样的丙中签的机会是一样的,先抽后抽先抽后抽,机会是均机会是均等的等的,不必争先恐后不必争先恐后.规律技巧规律技巧:实际上在任何一个抽奖活动中实际上在任何一个抽奖活动中,在前面一个人抽奖在前面一个人抽奖而后一个人未知结果的情况下而后一个人未知结果的情况下,每个人抽到每张奖票的概每个人抽到每张奖票的概率是相同的率是相同的.变式训练变式训练2:在生活中在生活中,我们有时要用抽签的方法来决定一件事我们有时要用抽签的方法来决定一件事情情,例如例如5张票中有张票中有1张奖票张奖票,5个人按照顺序从中各抽个人按照顺序从中各抽1张以张以决定谁得到其中的奖票决定谁得到其中的奖票,那么那么,先抽还是后抽先抽还是后抽(后抽人不知道后抽人不知道先抽人抽出的结果先抽人抽出的结果)对各人来说公平吗对各人来说公平吗?也就是说也就是说,各人抽各人抽到奖票的概率相等吗到奖票的概率相等吗?解解:因为每个人抽到奖票的概率相等因为每个人抽到奖票的概率相等,所以是公平的所以是公平的.题型三题型三 极大似然法的应用极大似然法的应用例例3:设有外形完全相同的两个箱子设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有甲箱有99个白球个白球,1个黑球个黑球;乙箱有乙箱有1个白球个白球,99个黑球个黑球;今随机地抽取一箱今随机地抽取一箱,再从取出的再从取出的一箱中抽取一球一箱中抽取一球,结果取得白球结果取得白球.问这球从哪一个箱子中取问这球从哪一个箱子中取出出?分析分析:作出判断的依据是作出判断的依据是“样本发生的可能性最大样本发生的可能性最大”.解解:甲箱中有甲箱中有99个白球和个白球和1个黑球个黑球,故随机地取出一球故随机地取出一球,得白球得白球的可能性是的可能性是 ,乙箱中有乙箱中有1个白球和个白球和99个黑球个黑球,从中任从中任取一球取一球,得到白球的可能性是得到白球的可能性是 .由此看到由此看到,这一白球这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.由极由极大似然法大似然法,既然在一次抽样中抽到白球既然在一次抽样中抽到白球,当然可以认为是由当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的概率大的箱子中抽出的.所以我们作出统计推断该白球是所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的从甲箱中抽出的.991001100规律技巧规律技巧:在一次试验中在一次试验中,概率大的事件比概率小的事件发生概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大的可能性更大.这正是应用极大似然法来进行科学决策的这正是应用极大似然法来进行科学决策的依据依据.因此因此,在分析在分析 解决有关实际问题时解决有关实际问题时,要善于灵活运用要善于灵活运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策极大似然法这一思想方法来进行科学地决策.变式训练变式训练3:公元公元1053年年,大元帅狄青奉旨大元帅狄青奉旨,率兵征讨侬智高率兵征讨侬智高,出出征前狄青拿出征前狄青拿出100枚枚“宋元天宝宋元天宝”铜币铜币,向众将士许愿向众将士许愿:“如如果钱币扔在地上果钱币扔在地上,有字的一面会全面向上有字的一面会全面向上,那么这次出兵一那么这次出兵一定可以打败敌人定可以打败敌人!”在千军万马的注目之下在千军万马的注目之下,狄青用力将铜币狄青用力将铜币向空中抛去向空中抛去,奇迹发生了奇迹发生了:100枚铜币枚铜币,枚枚有字的一面向上枚枚有字的一面向上.顿时顿时,全军欢呼雀跃全军欢呼雀跃,将士个个认为是神灵保佑将士个个认为是神灵保佑,战争必胜无战争必胜无疑疑 事实上铜币有可能是事实上铜币有可能是_.铜币两面均有字铜币两面均有字;铜币质量不均匀铜币质量不均匀;神灵保佑神灵保佑;铜币质铜币质量均匀量均匀.把你认为正确的填在横线上把你认为正确的填在横线上.技技 能能 演演 练练基础强化基础强化1.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.某事件发生的频率为某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,必然事件的概率为必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要大概率事件就是必然要发生的事件发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的解析解析:事件发生的概率事件发生的概率0P(A)1,A错错;小概率事件是指这小概率事件是指这个事件发生的可能性很小个事件发生的可能性很小,几乎不发生几乎不发生.大概率事件发生的大概率事件发生的可能性较大可能性较大,但并不是一定发生但并不是一定发生,C错错;某事件发生的概率某事件发生的概率为一个常数为一个常数,不随试验的次数变化而变化不随试验的次数变化而变化,D错错;B正确正确.答案答案:B2.在天气预报中在天气预报中,有有“降水概率预报降水概率预报”,例如预报例如预报“明天降水明天降水概率为概率为85%”,这是指这是指()A.明天该地区有明天该地区有85%的地区降水的地区降水,其他其他15%的地区不降水的地区不降水B.明天该地区约有明天该地区约有85%的时间降水的时间降水,其他时间不降水其他时间不降水C.气象台的专家中气象台的专家中,有有85%的人认为会降水的人认为会降水,另外另外15%的专家的专家认为不降水认为不降水D.明天该地区的降水的可能性为明天该地区的降水的可能性为85%解析解析:概率的本质含义是事件发生的可能性大小概率的本质含义是事件发生的可能性大小,因此因此D正确正确.答案答案:D3.每道选择题有每道选择题有4个选择支个选择支,其中只有其中只有1个选择支是正确的个选择支是正确的.某某次考试共有次考试共有12道选择题道选择题,某人说某人说:“每个选择支正确的概率每个选择支正确的概率是是,我每题都选择第一选择支我每题都选择第一选择支,则一定有则一定有3道题选择结果正道题选择结果正确确”这句话这句话()A.正确正确 B.错误错误C.不一定不一定 D.无法解释无法解释解析解析:这句话是错误的这句话是错误的.12道题中都选第一选择支其结果可能道题中都选第一选择支其结果可能选对选对0道道,1道道,2道道,12道都有可能道都有可能.答案答案:B4.先后抛掷两枚均匀的一分先后抛掷两枚均匀的一分 贰分的硬币贰分的硬币,观察落地后硬币的观察落地后硬币的正反面情况正反面情况,则下列哪个事件的概率最大则下列哪个事件的概率最大()A.至少一枚硬币正面向上至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上另一枚反面向上解析解析:抛掷两枚梗币抛掷两枚梗币,其结果有其结果有“正正正正”,“正反正反”,“反正反正”,“反反反反”四种情况四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况至少有一枚硬币正面向上包括三种情况,其其概率最大概率最大.答案答案:A5.从一批准备出厂的电视机中随机抽取从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查台进行质量检查,其其中有一台是次品中有一台是次品,若用若用A表示抽到次品这一事件表示抽到次品这一事件,则对则对A的说的说法正确的是法正确的是()A.概率为概率为 B.频率为频率为 C.概率接近概率接近 D.每抽每抽10台电视机必有一台是次品台电视机必有一台是次品答案答案:B6.经过市场抽检经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查经调查,某市市场上的食用油大约有某市市场上的食用油大约有80个品牌个品牌,则不合格的则不合格的食用油品牌大约有食用油品牌大约有()A.64个个 B.640个个C.16个个 D.160个个解析解析:80(1-80%)=16.答案答案:C7.掷一颗骰子掷一颗骰子100次次,“向上的点数是向上的点数是2”的情况出现了的情况出现了19次次,则则在一次试验中在一次试验中,向上的点数是向上的点数是2的频率是的频率是_.0.19 19.100:事件发生的次数解析 事件发生的频率试验的次数8.设某厂产品的次品率为设某厂产品的次品率为2%,估算该厂估算该厂8000件产品中合格品件产品中合格品的件数可能为的件数可能为_.7840 解析解析:依题意得依题意得8000(1-2%)=7840.能力提升能力提升9.解释下列概率的含义解释下列概率的含义.(1)某厂生产的产品合格的概率为某厂生产的产品合格的概率为0.9;(2)一次抽奖活动中一次抽奖活动中,中奖的概率为中奖的概率为0.2.解解:(1)说明该厂产品合格的可能性为说明该厂产品合格的可能性为90%,也就是说也就是说,100件件该厂的产品中大约有该厂的产品中大约有90件是合格品件是合格品;(2)说明参加抽奖的人说明参加抽奖的人,每抽一张每抽一张,有有20%的机会中奖的机会中奖,也就也就是说是说,抽抽100张张,可能有可能有20张中奖张中奖.10.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下表对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下表所示所示:抽取抽取台数台数501002003005001000优等优等品数品数4092192285478954(1)计算表中优等品的各个频率计算表中优等品的各个频率;(2)估计该厂生产的电视机优等品的概率是多少估计该厂生产的电视机优等品的概率是多少?解解:(1)结合公式及题意计算出优等品的频率依次为结合公式及题意计算出优等品的频率依次为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由由(1)知知,计算出优等品的频率虽然各不相同计算出优等品的频率虽然各不相同,但却在常数但却在常数0.95左右摆动左右摆动,且随着且随着n的增加的增加,摆动的幅度越来越小摆动的幅度越来越小,因此因此,估计该厂生产的电视机优等品的概率为估计该厂生产的电视机优等品的概率为0.95.品味高考品味高考11.(2007广东广东)一个容量为一个容量为20的样本的样本,分组后分组后,组数与频数如组数与频数如下下:(10,20,2;(20,30,3;(30,40,4;(40,50,5;(50,60,4;(60,70,2.则样本在则样本在(10,50内的频率为内的频率为()A.0.05 B.0.25C.0.50 D.0.70答案答案:D23450.0:702 解析12.(2009湖北湖北)下图是样本容量为下图是样本容量为200的频率分布直方图的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在样本数据落在6,10)内的频内的频数为数为_,数据落在数据落在2,10)内的概率约为内的概率约为_.64 0.4解析解析:0.084200=64,(0.02+0.08)4=0.4.