偏微分方程习题精练2

2021/6/161 数学物理方程数学物理方程习题精练习题精练2(波动方程初值问题波动方程初值问题)内内 容容 1.1.决定任意函数法决定任意函数法;2.Poisson 2.Poisson公式与降维法公式与降维法;3.3.唯一性与稳定性唯一性与稳定性.1 1决定任意函数法决定任意函数法 决定任意函数法是求解偏微分方程（主要是双曲型方程）定决定任意函数法是求解偏微分方程（主要是双曲型方程）定解问题的一种古典方法，如同常微分方程的初值问题的求解那样：解问题的一种古典方法，如同常微分方程的初值问题的求解那样：人们先求包含任意常数的所谓人们先求包含任意常数的所谓“通解通解”，然后再由初始条件确定，然后再由初始条件确定任意常数对于偏微分方程的定解问题而言，人们也试图先求满任意常数对于偏微分方程的定解问题而言，人们也试图先求满足泛定方程的包含任意函数的所谓足泛定方程的包含任意函数的所谓“一般解一般解”，然后再由初始条，然后再由初始条件确定任意函数，这便形成了所谓的决定任意函数法件确定任意函数，这便形成了所谓的决定任意函数法2021/6/1622021/6/1632021/6/1642021/6/1652021/6/1662021/6/1672021/6/1682.2.高维波动方程初值问题的高维波动方程初值问题的PoissonPoisson公式与降维法公式与降维法(1)Poisson(1)Poisson公式的应用公式的应用2021/6/169.0,)0(),(02302tttzzyyxxttuzyxutuuuau,0),(,),(23zyxzyxzyx例例2 2 利用利用PoissonPoisson 公式求解波动方程公式求解波动方程CauchyCauchy问题问题 解解 由于由于故由故由PoissonPoisson公式，得公式，得 2021/6/16102021/6/1611例例3 利用利用Poisson公式求解波动方程初值问题公式求解波动方程初值问题.0),()0(),(0202tttyyxxttuyxxutuuau解解 由于由于,0),(,)(),(2yxyxxyx故由故由Poisson公式，得公式，得2021/6/16122021/6/16132021/6/16142021/6/16152021/6/16162021/6/1617)()()(21),(),(222222)()(2222*atxatxxtayxtayyxtaddtatxutyxuatxatxxtayxtayyxtadda222222)()(2222)()()(212021/6/16182021/6/1619 .初值问题解的存在、唯一性初值问题解的存在、唯一性2021/6/16202021/6/16212021/6/16222021/6/16232021/6/16242021/6/1625再见 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！