立体几何线线垂直专

立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：ACP- ABCD的底面 是菱例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC二AC, AD = BD , E是AB的中点。求证：（1） AB丄平面CDE; （2）平面CDE丄平面ABC。、/、BC 二 AC厂 m AD = BD证明：（1）CE丄AB 同理，DE丄ABAE = BE IAE 二 BE 丨丈：CE c DE = E.ab丄平面CDE（2）由（1）有AB丄平面CDE又.AB匸平面ABC,平面CDE丄平面ABC例 2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 形.PB = PD , E为PA的中点.（I）求证：PC 平面BDE ； （II）求证：平面PAC丄平面 BDE C例3、（线线、线面垂直相互转化）已知AABC中ZACB = 90 ,SA丄面ABC, AD丄SC，求证：AD丄C面 SBC 证明：7ZACB = 90 .BC丄 AC又SA丄面ABCSA丄BC/.BC丄面SAC BC 丄 AD 又 SC 丄 AD，SC c BC = C AD 丄面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直 径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA = AC，点E是线段PC的中点求证：AE丄平面PBC .证明： PA丄口 O所在平面，BC是口 O的弦，BC丄PA又 AB是口 O的直径，ZACB是直径所对的圆周角， BC 丄 AC . PApAC = A,PA u 平面PAC , AC u平面PAC BC丄平面PAC , AE u平面PAC，： AE丄BC PA = AC，点E是线段PC的中点AE丄PC PCBC = C, PC u平面PBC , BC u平面PBC AE 丄 平面 PBC 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=60, AE丄BD, CB = CD = CF.求证：BD丄平面AED； 证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD , ZDAB = 60,所以 ZADC= ZBCD = 120.又 CB 二 CD ,所以 ZCDB = 30,因此 ZADB = 90,即 AD 丄 BD.又 AE丄BD，且 AEGAD 二 A , AE , AD 平面 AED ,所以BD丄平面AED.例6、(勾股定理的逆定理)如图7 7 5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AABC为等 腰直角三角形，ZBAC=90。，且AB=AA1, D、E、F分别为B*、CQ、BC的中点.求证：(1)DE平面ABC； (2)B/丄平面AEF.CiBDECB例7、(三垂线定理)证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A丄 平面 BC1D证明：连结 ACVBDL AC. AC为A1C在平面AC上的射影CBDA C1 n A C丄平面BC D同理可ffiACIBC I1111练习；1、如图在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线 段AD上.证明：AP丄BC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1, D是棱AA1的中点，DC丄BD.证明：DC丄BC。3.如图，平行四边形ABCD中，ZDAB=60, AB = 2, AD=4.将ACBD沿BD折起到 AEBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(l)求证：ABIDE； (2)求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱ABC - ABC中，若AB=2, AA = 1，求点A到平面ABC的距离。 5、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD.求证：(1)CD丄PD；(2)EF丄平面PCD.6、如图759(1),在RtAABC中，ZC=90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使A丄CD,如图(2).(1) 求证：DE平面A1CB.(2) 求证：AF 丄 BE.线段A1B上是否存在点Q,使A1C丄平面DEQ?说明理由.立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形abcd中，BC = AC,ad = BD , e是AbP ABCD的底面 是菱的中点。求证：（1） AB丄平面CDE; （2）平面CDE丄平面ABC。、/、BC = AC厂 m AD = BD证明：（1）CE丄AB 同理，DE丄ABAE = BE IAE = BE 丨又、：CEcDE = E.AB丄平面CDE（2）由（1）有AB丄平面CDE又.AB匸平面ABC,平面CDE丄平面ABC例 2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥ACB形.PB = PD , E为PA的中点.（I）求证：PC 平面BDE ； （II）求证：平面PAC丄 p平面 BDE 例3、（线线、线面垂直相互转化）已知AABC中ZACB = 90 , SA丄面ABC, AD丄SC，求证：AD丄面 SBC 证明：VZACB = 90 .BC丄 AC又SA丄面ABCSA丄BC/.BC丄面SAC BC 丄 AD 又 SC 丄 AD，SC c BC = C . AD 丄面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直 径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA = AC，点E是线段PC的中点求证：AE丄平面PBC.证明： PA丄口 O所在平面，BC是口 O的弦，BC丄PA又 AB是口 O的直径，ZACB是直径所对的圆周角， BC 丄 AC . PApAC = A,PA u 平面PAC , AC u平面PAC BC丄平面PAC , AE u平面PAC，： AE丄BC PA = AC，点E是线段PC的中点AE丄PC PCBC = C, PC u 平面 PBC , BC u 平面 PBC AE 丄 平面 PBC 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=60, AE丄BD, CB = CD = CF.求证：BD丄平面AED； 证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD , ZDAB = 60,所以 ZADC= ZBCD 二 120.又 CB 二 CD ,所以 ZCDB 二 30,因此 ZADB = 90,即 AD 丄BD.又 AE1BD，且 AEGAD 二 A , AE , AD 平面 AED , 所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7 7 5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，ZBAC=90。，且AB=AA, D、E、F分别为BA. CC. BC的中点.求证：（1）DE平面ABC； （2）B/丄平面AEF.CiBCD1EiCBAC例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDAB1C1D1中，AC丄平面BCD证明：连结 ACVBDL AC. ac为a在平面AC上的射影BDA C1 n A C丄平面BC D同理可ffiACIBC Iii11练习；1、如图在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO丄平 面ABC,垂足O落在线段AD上.证明：AP丄BC；2、直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=BC=|AAi，D 是棱 AA1 的中点，DC丄BD.(l)证明：DC1丄BC；证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA的中点，故DC二DC 又 AC 二1AA，可得 DC2 + DC2 二 CCf，所以 DC占DC.又 DCBD , DCABD = D，所以 DC丄平面 BCD.因为BC 平面BCD，所以DC丄BC.3.如图，平行四边形ABCD中，ZDAB=60, AB = 2, AD=4.将ACBD沿BD折起到 AEBD 的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB IDE；(2) 求三棱锥EABD的侧面积.(1)证明：在ABD中，TAB = 2 , AD = 4 ,DAB 二 60 , 设F为AD边的中点，连接FB ,ABF为等边三角形，MFB 二 60 ,又DF二BF二2BFD为等腰三角形./FDB 二 30，故MBD 二 90.AB丄BD.又平面EBD丄平面ABD ,平面EBD n平面ABD二BD , ABU平面ABD ,:.AB丄平面 EBD.tDEU 平面 EBD，:.AB丄DE.(2)【解析】由知AB丄BD，:CDAB，:CD丄BD，从而DE丄BD.在 R2DBE 中，：DB 二 2朋,DE = DC = AB = 2 ,.SDBE 二 *DBDE 二 2翻.:AB丄平面 EBD , BEU 平面 EBD，:AB丄BE. ：BE 二 BC 二 AD 二 4 ,.SAB BE 二 4.：DE丄 BD，平面 EBD 丄平面 ABD，:ED 丄平面 ABD而 ADU 平面 ABD , ABE 2:.ED丄AD，:/人閃=*AD.DE二4.综上，三棱锥EABD的侧面积S二8 + 2书.4、在正三棱柱ABC - ABC中，若AB=2, AA = 1，求点A到平面ABC的距离。11 1 1 114；乙二6如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别 是AB、PC的中点，PA=AD.求证：(1)CD丄PD；(2)EF丄平面PCD.证明(1)VP4丄底面ABCD , :.CD丄PA.又矩形ABCD 中，CDXAD，且ADnPA=A ,CD丄平面PAD，：.CD丄PD.(2)取 PD的中点G,连接AG ,FG .又TG、F分别是PD、PCl/E /的中点，:GF綊1CD , .GF綊AE ,四边形AEFG是平行四边形，：AG/EF.TPA=AD , G是PD的中点，：AG丄PD，:EF丄PD ,TCD 丄平面 PAD , AG 平面 PAD.:. CD LAG.:. EF CD.VPDnCD = D , :,EF丄平面 PCD.6、如图7 5 9(1),在RtABC中，ZC = 90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使A丄CD,如图(2).(1) 求证：DE平面A1CB.(2) 求证：A1F丄BE.线段A1B上是否存在点Q,使A丄平面DEQ?说明理由.【规范解答】(1)因为D , E分别为AC , AB的中点，所以DEBC.2分又因为DEG平面A1CB ,所以DE平面A1CB.4分(2)由已知得AC丄BC且DEBC ,所以DE AC.所以DE丄AD , DE丄CD.所以DE丄平面A1DC.6分又A1Fu平面A1DC ,所以DE丄A1F.又因为 A1F丄CD , CDnDE = D ,所以AF丄平面BCDE ,又BE 平面BCDE，所以A1F丄BE.9分线段A1B上存在点Q ,使A1C丄平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C , A1B的中点P , Q ,则PQBC. 又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE丄平面A1DC，所以DE丄A.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C丄DP.又DPADE = D，所以A丄平面DEP.12分 从而A1C丄平面DEQ.故线段A1B上存在点Q ,使得A1C丄平面DEQ.14分