空间向量法解外接球问题

空间向量法解决几何体外接球问题的研究摘要：在高中数学学习中，空间向量法的引入在解决空间几何体相关问题中起到至关重要 的作用。空间向量法的出现使几何体求解问题更加方便快捷，如求二面角问题，直线与平面 及平面与平面间的相互关系问题等。该文根据空间球的一些特性及推论，阐述了运用空间向 量法解决几何体外接球问题的新方法。通过对球及立体几何的认识，并学会运用空间向量方 法解决立体几何问题，从而达到数学思维的活跃。关键词：高中数学、空间向量法、外心法向量、几何体外接球、了解重要推论如上图，0为球心， OQ为球的截面圆圆心。由球的性质知：00 丄截面圆0, 00 丄截面圆0推论 1：经过球的截面圆的圆心且垂直于该截面的直线必经过球心； 推论2：球的所有过截面圆圆心且垂直于该截面的直线均交于一点，该点为球心0 。二、思维转换几何体截面圆圆心相当于该截面内接图形的外心（中心），故一个几何体若存在外接球， 则其各面均位于其外接球相应截面内，其外心相当于该截面圆的圆心。我们称过几何体各面几何图形外心的法向量为外心法向量。推论 3：若几何体存在外接球，则几何体任意非平行两面的外心法向量所在直线必交于一点，此点为球心。故，我们可由两平面的外心法向量求出球心的坐标。推论 4：若几何体存在外接球，在其非平行的两面中，其中一面的外心法向量所在直线上的一点与另一面外心相连的直线垂直于另一面的一条边，则该点为球心，且该直线垂直于该平 面。三、几何图形的外心坐标求解法以平面直角坐标系为例：其中，Ei, E2为AB, AC的中点各点坐标如图所示故可求得E (3,5), E (6,4), AB = (2, 2), AC = (4, -4)12下面求外心H的坐标，设H(x, y)则：一一EH -AB = 0f2(x-3) + 2(y-5) = 0 V 1= EH - AC = 04( x 6) 4( y 4) = 0 2解得：x = 5, y = 3，故外心坐标为H(5,3)注：1. 根据向量还可以求直线方程，如垂直平分线方程和；2. 在空间图形中求外心，应找出三条边的向量关系联立求出外心H(x, y,z)，因为空间 中的旋转效应，单个关系求出的是平面。四、空间向量法求几何体外接圆半径的步骤：例：对于四面体S - ABC，求外接圆半径的步骤：任取两面，求外心如取面 ABC 和面 BCS 外心分别为 E (x , y , z ), E (x , y , z )1 E1 E1 E1 2 E2 E 2 E 2AB 中点：A=(x , y ,z )中 111BC 中点：AC 中点：AC中=（x3 , y3，z3）则有：ABE - AB = 0中1 BC中E - BC = 0，联立求出E (x , y , z )，同理可求E (x , y , z )_中 11 E1 E1 E12 E2 E2 E2AC-AC = 0中i设球心坐标为丑（XH 為ZH ），E1H E2H分别为两面外心法向量EH - AB = 01EH - BC = 01EH - CS = 02EH - BS = 0 2联立求出H九，爲，ZH ），即球心坐标。注：由推论4易知，式可舍，不影响结果。范例：已知三棱锥S - ABC，SB丄面ABC，AB丄BC且AB二BC=2, SB = 4，求三棱锥外接球的半径。解：建立如图坐标系， A（2，0，0）, B（0，0，0）, C（0, 2，0）, S （0，0，4）面SOA的外心E (1,0,2)，面SOC的外心E (0,1,2)，设球心H(x, y, z)12AS = (-2,0,4), SC = (0,2, -4), BA = (2,0,0)EH = (x 1, y, z 2), EH = (x, y 1, z 2)12I EH - AS = 0f2(x 1) + 4(z 2) = 0立EH - SC = 0 , 即J_2( y 1) + 4( z 2)二 0E H - AB = 0丨2(x -1)二 0解得：x = 1,了二 1, z = 2故球心坐标为H (1,1,2)外接球半径R二BH 6五、研究空间向量法解决几何体外接球问题的意义数学是一门综合性比较强的学科，空间向量法的引入体现了数学交叉思想。本课题推导 了空间向量法解决空间几何体外接球问题的方法，同时本文为空间向量法解决几何体内接球 问题的方法做了铺垫(通过引入内心法向量解决)。