2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一上学期期中数学试题

y x 2020-2021 学年上海市虹口区复兴高级中学高一上学期期中数学试题一、单选题1若a, b, c R， a b ，则下列不等式成立的是（ ）A1 1b2Cc2a b+1 c 2 +1Da | c |b | c |【答案】C【分析】取特殊值可判断 ABD 错误；由不等式性质可判断 C 正确.【详解】对于 A，若a =1, b =-1，则1 1a b，故 A 错误；对于 B，若a =1,b =-2，则 a20 ，即c12 +10a b，若 a b ，则 ，故 C 正确；c 2 +1 c 2 +1对于 D，若 c故选：C.0 ，则 a | c |= b | c |，故 D 错误.2直线 y =1 ，y =x ，x =1及幂函数y =x-1将直角坐标系第一象限分为 8 个部分（如图所示），那么幂函数y =x-13的图像在第一象限中经过（ ）ABCD【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】解：在直线 1- -1，3x =1的左侧，幂函数的指数越大越接近于 轴， y =x-13在x =1的左侧位于y =x-1左侧，故经过，在直线x =1的右侧，幂函数的指数越小越接近于 轴，第 1 页 共 14 页 y =x-13在 x =1 的右侧位于 y =x -1 上方 y =1 的下方，故经过.故选：D.3由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪.直到 1872 年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M 与N ,且满足 M N =Q，M N =， M 中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称( M , N )为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割( M , N ),下列选项中,不可能成立的是（ ）A M 没有最大元素, N 有一个最小元素BM 没有最大元素, N 也没有最小元素C M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 D M 有一个最大元素, N 没有最小元 素【答案】C【分析】由题意依次举出具体的集合M , N，从而得到A, B , D均可成立【详解】对 A ，若M = x Q | x 0 ， N = x Q | x 0；则 M 没有最大元素，N有一个最小元素 0，故 A 正确；对 B ，若 M = x Q | x 0； M 有一个最大元素， N 没有最小元素，故 D 正确；故选： C 【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的 要求较高4已知f ( x) =a | x -b | +c，则对任意非零实数 a，b，c，m，n，t，则于 x 的方程mf 2( x) +nf ( x) +t =0的解集不可能为（ ）A2020B2020,2021C1,2,2020,2021 D1,5,25,125【答案】D第 2 页 共 14 页1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 21 22 3 43 4= 1 2 3 4【分析】根据函数 f（x）的对称性，因为mf 2 (x)+nf(x)+t=0的解应满足 y a x -b +c，y a x -b +c，进而可得到mf2(x)+nf(x)+t =0的根，应关于对称轴 x =b 对称，对于 D 中 4 个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可 能是 D【详解】对称.f (x)=ax-b+c，f (2b-x)=ab-x +c = f (x)，f(x)关于直线 x =b令方程mf2(x)+nf(x)+t=0的解为 f （x），f （x）则必有 f（x）y a x -b +c，f（x）y a x -b +cyy ，yy 与 f（x）有交点，由于对称性，则方程 y a x -b +c的两个解 x ，x 要关于直线 x =b 对称，也就是说 x +x=2b,同理方程 y a x -b +c的两个解 x ，x 也要关于直线 x =b 对称那就得到 x +x=2b，若方程有 4 个解，则必然满足 x +x x +x ，而在 D 中， 1,5,25,125 找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组， 都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和.故答案 D 不可能.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题的关键是得出f (x)关于直线 x =b对称，从而得出方程的解也对称，并满足二、填空题x +x =x +x 1 2 3 4.5方程组 x +y =7 x -y =1的解集为_(4,3) 【答案】【分析】解方程组得x =4, y =3，再根据方程组的解集为点的集合即可得答案【详解】解：解方程组 x +y =7 x -y =1得x =4, y =3，第 3 页 共 14 页 . a , b a ba b x +y =7故方程组 的解集为：x -y =1(4,3)故答案为：(4,3)6已知实数 x 满足 x +x -1 =2 ，则 x3+x-3=_【答案】 2【分析】先对 x +x-1=2 两边平方得 x2+x-2=2 ，再根据立方和公式求解即可.【详解】解：由 x +x-1=2 两边平方得： x2+x-2=2 ，所以根据立方和公式得： x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=2.故答案为： 2【点睛】本题解题的关键在于熟练的识记立方和公式a3 +b 3=(a+b)(a2-ab +b2)a +b 0 a 07对于是实数 a、b，“ ”是 的_条件ab 0 b 0【答案】充要【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可a +b 0 a 0【详解】解：因为 ，可知 同号，且为正，即 ，ab 0 b 0a 0 a +b 0当 时，有 ，b 0 ab 0a +b 0 a 0所以“ ”是 的充要条件，ab 0 b 0故答案为：充要8若 、 是一元二次函数 x2+4 x -1 =0 的两个实数根，则1 1+ =a b_【答案】4【分析】由于1a+1b=a+bab，所以利用根与系数的关系直接求解即可【详解】解：因为 、 是一元二次函数 x a+b=-4，所以 ab=-12+4 x -1 =0 的两个实数根，第 4 页 共 14 页 所以1 1 a+b -4 + = = =4a b ab -1，故答案为：49已知 a -2,-1,-1 1, ,1,2,32 2，若幂函数 y =xa的图像关于原点中心对称，且为(0, +)上的严格递减函数，则 a =_【答案】 -1【分析】由幂函数的性质即可判断.【详解】解：幂函数y =xa的图像关于原点中心对称， y =xa是奇函数，a为奇数，又y =xa在 (0, +)上为严格递减函数，a0，故a=-1.故答案为： -1.10已知 3a =12 ，b =2log 23，现有下列四个结论：a =2b；a -b =1； a 3.其中所有正确结论的编号是_.【答案】【分析】先由指数与对数的互化将 3a =12 、 再进行对数运算得出结论.b =2log 2 化为 a =log 12 、 b =log 43 3 3,【详解】解：由 3a=12 ,b =2log 23,得a =log 12 , b =log 4,3 32b =log 16 ,则 a -b =log 3 =13 3a +b =log 48 log 27 =3.3 3,a 0，解集是(1, +)，则关于 x 的不等式ax -bx -60的解集第 5 页 共 14 页( )( ) 1 - 1 - _【答案】x-1x 0的解集是(1, +)，得出a 0，ba=-1，再由分式不等式的解法即可求解.【详解】解：ax +b 0的解集是(1, +)， a 0且 -b b=1 ，即a a=-1，ax -b x -6 0不等式 0 等价于 x -6 ax -b x -6 0，解得： -1x 6，原不等式的解集为：x-1x 6.故答案为：x-1x 1)，函数y =3 x2与 AB 交于点 Q，函数y =x-12与 BC 交于点 P，当|AQ | +| CP | 最小时， a 的值为_【答案】 3【分析】由题意可知 AQ =a 1 , CP =a 2 =3 a，再利用基本不等式求|AQ | +| CP |的最小值，从而可求出 a 的值，【详解】解：由题意可知 AQ = 因为 a 1 ，a 1 , CP =a 2 =3 a，a 1所以 AQ +CP = + 23 aa 1 =23 a13，第 6 页 共 14 页P p , Q q , -5 5 P p , Q q , -5 5 当且仅当a 1=3 a，即 a = 3 时取等号，所以当|AQ | +| CP |最小时， a 的值为 3故答案为： 313已知常数a 02x 6 1 ，函数 y = 的图像经过点 ， 2x +ax ，若2 p +q =36 pq，则 a =_【答案】6【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值【详解】解：因为函数 y =2x2x+ax 6 1 的图像经过点 ， ，所以2 p 2 q 6 1 + = - =12 p +ap 2 q +aq 5 5，整理得，2 p +q +aq 2p +ap 2q +2 p +q 2 p +q +aq 2p +ap 2q +a 2 pq=1，解得2p +q =a 2 pq，因为2p +q=36 pq，所以 a2=36 ，因为 a 0 ，所以 a =6 ，故答案为：61 1 9 x 4 y14已知 x0，y0，且 + =1 ，则 + 的最大值为_x y 1 -x 1 -y【答案】-25【分析】1 1+ =1x yx +y，所以 =1 ，即 x+y=xy，且 x1，y1，再结合基本不等式即 xy可得到9 x 4 y+ 1 -x 1 -y的最大值【详解】解：依题意，x0，y0，且x+y=xy，1 1+ =1x yx +y，所以 x1，y1，且 =1 ，即xy第 7 页 共 14 页0, -2 2,2 2 . . 所以9 x 4 y+ 1 -x 1 -y=9 x -9 +9 4 y -4 +4 9 4+ =-9-4-（ + ）， 1 -x 1 -y x -1 y -1因为9x -140， 0，y -1所以9 x 4 y+ 1 -x 1 -y9 4=-13-（ + ） x -1 y -1-13-29 4x -1 y -1=-13-236xy -(x+y)+1=-13-12=-25当且仅当 x=5 5，y= 时等号成立 2 3故答案为-25【点睛】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键本题属于难题15已知集合A =1,2 ， B =x(x2+ax)(x2+ax +2 )=0，记集合A中元素的个数为n( A)，定义f ( A, B ) =n ( A) -n ( B ) n( A) n ( B ) n ( B) -n ( A) n( A) 0，函数y = f ( x)，其中f ( x ) =log21 +ax ，若对任意1 t ,12 ，函数y = f ( x)在区间t , t +1上的最大值与最小值的差不超过 1，则 a 的取值范围为_【答案】23，+【分析】由函数单调性可得f ( x )在区间t，t +1上的最大值f (t )，最小值f (t +1)，则可得at 2 +( a +1)t -1 0对任意1 t ,12 恒成立，利用二次函数的性质即可求出.【详解】因为f ( x)在区间t，t +1内单调递减，所以函数f ( x)在区间t，t +1上的最大值与最小值分别为f (t ) ， f (t +1)，则1 f (t ) -f (t +1) =log +a -log2 21t +1+a 1，得1t+a 21t +1+a，整理得at2+( a +1)t -1 0对任意1 t ,12 恒成立令h (t ) =at2+( a +1)t -1，则h(t )的图象是开口向上，对称轴为t =-1 1- 02 2a的抛物线，所以1 h(t ) 在 t ,12 上是增函数，at2+( a +1)t -1 01 等价于 0，1 1即 a +( a +1) -1 0 ，解得 2 22 所以 的取值范围为 2 ，+故答案为：.3 a 23，【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为at 2 +( a +1)t -1 0对任意1 t ,12 恒成立，根据二次函数性质求解.第 9 页 共 14 页 2 4 2 4 2 B = x a x a+ 22 4 三、解答题 17已知全集 U =R，集合A =xx2-5x+6 0，B=x(x-a)(x-a2-2 )0（1）当a =12时，求 A B ；（2）设p : x A ； q B ，若 p 是 q 充分条件，求实数 a 的取值范围 9 【答案】（1） x x 3；（2）4(-,-11,2【分析】（1）先求出集合 A，B，再根据补集交集定义即可求出.（2）求出集合 B，由题可得 A B，则列出式子即可求出.【详解】（1）A =xx2-5x+6 0=x2x3，当a =12 1 9 1 9 时， B =xx-x-0=x x ， 则 B =x x 12或x 94， 9 A B =x x 0，即a2 +2 a ， 2 ， 若 p 是 q 充分条件，则 A B，a2 +2 3 ，解得 a 2a -1或1 a 2，故 a 的取值范围为(-,-11,2.【点睛】结论点睛：本题考查根据必充分条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应集合是 q 对应集合的真子集； （3）若 p 是 q 的充分必要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等；（4）若 p 是 q 的既不充分又不必要条件，则 q 对应的集合与 p 对应集合互不包含18已知函数y = f ( x )，其中f ( x) =(a2-2a-2 )ax是指数函数（1）求f ( x )的表达式；（2）解不等式：log (1 +x ) log (2 -x ) a a第 10 页 共 14 页 【答案】（1）f ( x ) =3x；（2）1x | -1x 0, a 1求 a，写出f ( x)；（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.【详解】（1）x f ( x) =3.y = f ( x)是指数函数，所以 a 2 -2 a -2 =1 ，解得 a =3 或 a =-1(舍)，（2）由（1）知：log (1 +x ) 0 2-x 0 2 -x 1 +x，解得-1x 1 1 ，解集为 x | -1x 0且a 1.【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可；（2）利用小于1 的所有元素中的最小元素以及大于1的所有元素中的最小元素，根据定 义以及指数函数的单调性进行证明即可.（3）结合（2）中的结论，可以证明出S =1,a，其中a0 且 a 1 .【详解】（1）39 A 且 9 3 A，A 是“坏集”；因为x B，都有1x=1， x11 1 1 1 1 1 =x ，而 ( ) 2 = ,( ) 2 = ,( ) 4 =4 2 16 4 16 2，所以 B 中任意两个元素 a, b ，满足 a b 且数 a b 或 b a 中至少有一个属于 B ，第 12 页 共 14 页因此 B 是“好集”.（2）若 a 是 S中小于 1 的元素中的最小元素， b 是 S中大于 1 的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性可得： aba1=a 1 ba0 且 a 1 ，是符合题意的“超级好集”现在证明集合 S 中不可能存在其它元素.由（2）可知 S 不可能同时存在既有大于 1 的元素，又有小于 1 的元素，不妨设a, b 1 且 a , b S，且 b 为 S中大于 1 的元素中最大的元素，因此有 b a b ，所以 b a S ，矛盾，同理a , b 0 且 a 1 .【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义问题，对于新定义的集合问题，关键是要理解新定义的内容，然后在求解问题时，利用结合集合以外的知识解答问题.本例中定义的“好、坏集”，实际上是研究元素与集合的关系，中间借助指数函数的相关内容解答问 题.21给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和L =1275现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这 样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 r 与所有可能的其他选择相比是最小1的， r 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选 1择方式构成第二组，这时的余差为 r ；如此继续构成第三组（余差为 r ）、第四组（余2 3差为r4）、，直至第 N 组（余差为rN）把这些数全部分完为止（1）判断， r ， r r 的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数；1 2 N（2）当构成第n( n 150 n -Ln -1；（3）对任何满足条件 T 的有限个正数，证明： N 11 【答案】（1）r r r . r 1 2 3 N，至少含有 3 个数；（2）余下的每个数大于 r ，证明n见解析；（3）证明见解析；第 13 页 共 14 页【分析】（1）由题意知余差逐渐变大，即最大为 50 即可求每组最少含有数的个数.r r r . r 1 2 3 N，且由和最大为 150，数（2）由余数的定义，第n( n 11并结合（1）（2）结论，有r 37.5 与 r 37.5 11 11矛盾，即得证.【详解】（1）r r r . r 1 2 3 N，由每个数都不大于 50，每组数之和不大于 150，除第 N 组外的每组至少含有15050=3.（2）从第 1、2、n 组数的和分别为 L ，150 -r ,150 -r ,.,150 -r 1 2 n，而所有数总和为构成第n( n rn 1 2 n n，整理得：r +r +. +r 150 n -L ，而 r +r +. +r ( n -1)r 1 2 n -1 1 2 n -1 n -1，( n -1)rn -1150 n -L ，则 rn -1150 n -Ln -1得证.（3）若 N 11，即分完第 11 组后仍有余数，由（2）知余下的各数大于r 且 r r 11 11 10，余下各数r r 11 10150 11 -127510=37.5，又由（1）结论知第 11 组至少有 3 个数，第 11 组之和大于 37.5 3 =112.5，而第 11 组余差r 37.511矛盾，所以N 11得证.【点睛】关键点点睛：余差随分组持续逐渐变大，每次分组完成后余下的每个数都是大于前一组的余差，且每组所含的数至少有 3 个；反证思想，假设 N 11即分完 11 组仍有余数，结合相关结论推出矛盾证明N 11.第 14 页 共 14 页