平面与空间直线课件

平面与空间直线3.1 平面的方程平面的方程3.4 空间直线的方程空间直线的方程3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置 3.6 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置3.7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置3.8 平面与空间直线一、一、二、二、三、三、平面与空间直线定义定义0 0把平行于平面的两不共线矢量把平行于平面的两不共线矢量 ，叫做平面的一组，叫做平面的一组.,a b r显然过定点 且以 为平面的一组方位矢量的平面是唯一的，下面求该平面的方程.,a b 0M 在空间建立标架 后，设 的坐标为 ，的坐标分别为 ，为平面上任点，记 ，则 ，由于 与 共面，所以有 =，即 =或 =+，（3.1-1）123;,O e e e 0M00,0,0()Mx y z111222,aX Y ZbXY Z,a b(,)M x y z00,rOMrOM 00rrM M,a b 0M M 0M M ab00rrM M ab0rab定义定义1 1方程（方程（3.1-1）叫平面的）叫平面的，其中，其中 为参数为参数.,平面与空间直线012012012,.xxXXyyYYzzZZ从（3.1-1）可得 （3.1-2）定义定义2 2方程（方程（3.1-1）叫平面的）叫平面的，其中，其中 为参数为参数.,0001112220 xxyyzzXYZXYZ从（3.1-2）消去参数得 （3.1-3）定义定义3 3方程（方程（3.1-1）（）（3.1-2），（），（3.1-3）叫平面的）叫平面的.定义定义4 4平面的平面的.上一页平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页例1 已知不共线三点 ，求通过 三点的平面 的方程。111122223333(,),(,),(,)MxyzMxyzMxyz123,MMM因此平面 的矢量式参数方程为：1213,aM MbM M取平面 的方位矢量并设点 M(x,y,z)为平面 上的任意一点,那么 ,iiiiirOMx y z1221212121,aM Mrrxx yy zz1331313131,bM Mrrxx yy zz,rOMx y z 平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页12131()()rru rrv rr(3.14)方程(3.14)(3.16)都叫做 平面的 坐标式参数方程为：121311213112131()()()()()()xxu xxv xxyyu yyv yyzzu zzv zz(3.15)12131(,)0;rr rr rr1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz从(3.14)与(3.15)分别消去参数 u,v 得(3.16)平面与空间直线上一页例2设一平面与x轴，y轴，z轴分别交于三点P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)求此平面的方程(其中：).0abc 平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页xyzo0MMn定义定义1 1 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的已知),(zyxM法线向量的：垂直于平面内的任一向量,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为必有nMM 000 nMM,0000zzyyxxMM 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为0)()()(000 zzCyyBxxA其中法向量,CBAn 已知点).,(000zyx平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页如果记 D（A x B y+C z），那么上式即成为 Ax+By+Cz+D=0.如果平面上的点 M 0 特殊地取自原点 O 向平面 所引垂线的垂 足 P,而 的法矢量取单位法矢量 n，当平面不过原点时，n的正 向取做与矢量 OP相同；当平面通过原点时，n的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，设|OP|=p,那么点 P 的径矢 OP=p n ，因此由点 P 和法矢量 n 决定的平面 的方程为：n (r-p n)=0,r 是平面 上任意点 M的径矢。因为 n n 1，所以上式可写成 n r p=0，（3.1-7）(3.1-7)叫做平面的平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页 如果设 r x,y,z,n =cos,cos,cos,那么由（3.1-8）得 xcos+ycos+zcosp=0.（3.1-9）(3.1-9)叫做平面的或简称 平面的法式方程（3.1-9）是具有下列两个特征的一种一 般方程：1.一次项的系数是单位法矢量的分量，它们的平方和 等于1；2.因为 p 是原点 O 到平面 的距离，所以常数项 p0.根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方 程,即 Ax+By+Cz+D=0 化成平面的法式方程。事实上，n=A,B,C是平面的法矢量，而 r=OM =x,y,z，所以可写成：n r+D=0，（3.1-15）平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页2222222222220AxByCzDABCABCABCABC其中 的正负号选取一个，使它满足 D=p0,或者说当 D0 时，取 的符号与 D 异好；当 D=0 时，的符号可以任 意选取（正的或负的）。（在取定符号后）就叫做.把（3.1-15）与（3.1-13）比较可知，只要以 =1/(|n|)=1/()乘（3.1-10）就可得法式方程：222ABC平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页例1 已知两点 (1,2,3)与 (3,0,1),求线段 的垂直平分面 的方程。1M2M12M M例2 把平面 的方程 3x2y+6z+14=0 化为法式方程，求自原点指向平面 的单位法矢量及其方向余弦，并求原 点到平面的距离。例3 平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页 因为矢量 M M=2,2,4=21,1,2垂直于平面 ，所以平面 的一个法矢量为 n=1,1,2,所求平面 又通过 M M 的中点 M(2,1,1),因此平面 的法 式方程为 (x2)+(y+1)2(z1)=0,化简整理的所求平面 的方程为 x+y+2z+1=0.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量21nnn ,5,15,10 所求平面方程为,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得.0632 zyx平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD？即 任一平面表示0 DCzByAx（A,B,C不同时为零）不妨设0 A，则 000 zCyBADxA，为一平面.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量.,CBAn 平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页由此可见，在直角坐标系下，平面 的一般方程（3.1-10）中一次 项系数 A,B,C 有简明的几何意义，它们是平面 的一个法矢量 n 的 分量。平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：x0,0 CBxoy,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过 轴；x平面平行于 轴；类似地可讨论 情形.,0)3(BA平面平行于 坐标面；,0)4(DBA0,.zxoy有即面平面与空间直线例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2,3,6(，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解平面与空间直线例例 5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而与三个坐而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解平面与空间直线,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为或或.666 zyx平面与空间直线平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页通过本节的学习，认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程；熟练掌握平面方程几种形式的法；了解法式化方程和参数方程.平面点法式方程与一般式方程的求法.平面方程不同形式之间的互相转化.平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页通过本节的学习，熟练掌握点到平面的距离公式，了解点与平面的离差概念和计算，了解平面划分空间的方法.点到平面的距离公式.平面对空间的划分.平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页 空间中平面与点的相关位置，有且只有两种情况，就是点在平面上，或点不在平面上.点在平面上就是点的坐标满足平面的方程.下面就来讨论点不在平面上的情况.容易看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点M0位于平面的单位法矢量n0所指向的一侧，离差0；在平面的另一侧，离差0；当且仅当M0在平面上时，离差0.显然，离差的绝对值|，就是点M0与平面之间的距离d.定义定义0 0如果自点M0到平面 引垂线，其垂足为Q，那么矢量 在平面 的单位法矢量 上的射影叫做点M0与平面 间的离差，记做 .（3.2-1）.0QM 0n 00nQM 射影平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页定理定理 1 1点点M0与平面与平面 间的离差为间的离差为 （3.2-2）00nrp xyzOPRQM0根据定义3.2.1（图3-3）得 =而Q在平面上，因此 ，所以 .00nQM 射影00()nOMOQ 00()nrq 000nrn q 0n qp 00nrp 平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页点点 与平面与平面 间的离差是间的离差是 .（3.2-3）0000(,)Mxyzpzyxcoscoscos000点点 与平面与平面 间的距离是间的距离是 .（3.2-3）0000(,)Mxyz000222AxByCzDdABC平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页设平面 的一般方程为 ，那么空间任何一点M(x,y,z)对平面的离差为 ，从而有.0DCzByAx)(DCzByAx1DCzByAx对于平面同侧的点，的符号相同；对于平面异侧的点，的符号不同.故平面：把空间划分为两部分，对于某一部分的点0；而对于另一部分的点0；在平面上的点.看看书看看书 想一想想一想平面与空间直线如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们向量 ,共线记为 /.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们.显然,任意两个向量一定共面.与向量 的长度相等，方向相反的向量称为 的，记为 ，显然 AB=BA.AB-AB上一页平面与空间直线间间的的距距离离.求求两两平平面面4363,121zyxyxz 例例,解解)363),121(21 ,n,n(.先先判判断断两两平平面面是是否否平平行行./31623121nn 在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），），.6373634130603222 )(d平面与空间直线通过本节的学习，熟练掌握平面与平面的夹角公式，了解平面与平面的三种位置通过本节的学习，熟练掌握平面与平面的夹角公式，了解平面与平面的三种位置关系并能根据平面的方程判断其关系关系并能根据平面的方程判断其关系.平面与平面的夹角公式平面与平面的夹角公式.平面与平面的夹角公式的推导平面与平面的夹角公式的推导.平面与空间直线下面，我们导出计算两平面夹角下面，我们导出计算两平面夹角 的公式的公式.设平面设平面 与与 的方程分别是的方程分别是 ：，（1）：，（2）则则 与与 的法线向量分别为的法线向量分别为 ，因两向量间夹角的余弦为因两向量间夹角的余弦为 ，所以两平面的夹角的余弦为所以两平面的夹角的余弦为 =.(3.3-1)由由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论：式，立刻可给出如下结论：.121211110AxB yC zD22220A xB yC zD2111112222,nA B CnA B CcosA AB BC CABCABC12121212121222222212cos(,)121212222222111222A AB BC CABCABC平面与空间直线121212120A AB BC C（3.3.2）另一方面，平面 与 是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解或无数个解，从而我们可得下面的定理.12定理定理 1 1 两平面（两平面（1）与（）与（2）相交的充要条件是）相交的充要条件是 ，（3.3-3）平行的充要条件是平行的充要条件是 ，（3.3-4）重合的充要条件是重合的充要条件是 .（3.3-5）111222:ABCABC11112222ABCDABCD11112222ABCDABCD平面与空间直线例1 一平面过两点一平面过两点 和和 且垂直于平面且垂直于平面 ，求它的方程，求它的方程.1(1,1,1)M2(0,1,1)Mxyz 0设所求平面的法线向量为设所求平面的法线向量为 ，显然显然 ，在所求平面上，在所求平面上，故故 ，即即 .又又 垂垂 直于平面直于平面 的法线向量，的法线向量，故有故有,nA B C120 1,1 1,1 1 1,0,2M M 12M Mn120M Mn20ACnxyz 00ABC平面与空间直线解方程组 得 据点法式方程有 ，约去非零因子 得 ，故所求方程为 .20,0,ACABC2,ACBC 2(1)(1)(1)0C xC yC z(0)C 2(1)(1)(1)0 xyz20 xyz哇！哇！平面与空间直线例例 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 平面与空间直线)2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.平面与空间直线通过本节的学习，了解直线方程的各种类型的形式，能熟练掌握直线标准方程和一般方程的求法.直线标准方程和一般方程的求法.直线方程不同形式之间的互换.xyzo1 2 L定义定义0 0空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA（注：两平面不平行）平面与空间直线xyzosL0M M 定义定义0 0 如果一非零向量平行于一条已知直线，如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的这个向量称为这条直线的),(0000zyxM,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ,0000zzyyxxMM pzznyymxx000 000m,n,p注:当当方方向向向向量量的的某某个个坐坐标标为为零零时时，比比如如时时，方方程程仍仍然然写写为为平面与空间直线0000 xxyyzznp,0000 xxyy理理解解为为交交线线(考考虑虑其其几几何何意意义义)例1 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与直线又与直线 垂直的直线方程垂直的直线方程.14213zyx 解:设所求线的方向向量为,s已知平面的法向量),1,4,3(n因此,所求直线方程为 已知直线的方向向量 ,1,4,11 s取1sns 1411431kjisns 2,1,248,4,8 平面与空间直线三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程pzznyymxx000 由由直线的对称式方程直线的对称式方程平面与空间直线直线的坐标方程（直线的坐标方程（3.43）是一般方程的特殊情形。）是一般方程的特殊情形。000 xxyyzzmnp在 中m,n,p不全为零，不妨设 p0,那么上式可以改写成0000 xxyymnyyzznp 反过来，直线的一般方程（3.411）也总可以化为 标准 方程（3.43）的形式，这是因为（3.411）中三个系数行列式111111222222,BCCAABBCCAAB不全为零，不失一般性，设 平面与空间直线11220ABAB11112222111122221111222211112222BCBDBCBDxzABABABABCADACADAyzABABABAB那么由 中的两式分别消去 y 与 x 得直线的射影式方程为：0022221111DzCyBxADzCyBxA平面与空间直线从而得直线的标准方程为：0001111112222221111222200011112222xxyyzzBCCAABBCCAABBDDABDDAxyzABABABAB式中 ，=0 平面与空间直线例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(平面与空间直线因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3,1,4(对称式方程对称式方程,321041 zyx得参数方程得参数方程.3241 tztytx,321041tzyx 令令平面与空间直线例例 3 3 一一直直线线过过点点)4,3,2(A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ),4,0,2(所求直线方程所求直线方程.440322 zyx.44223 zxy或或平面与空间直线,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns,2),(ns定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角 0.2 通过本节的学习，掌握能根据直线的方程和平面的方程判断二者之间的关系，了解直线与平面之间夹角的概念及计算公式.直线和平面二者之间关系的判断.直线与平面之间夹角的概念及计算公式.平面与空间直线222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm.2cos 2cossin平面与空间直线解解),2,1,1(n),2,1,2(s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角平面与空间直线直线与平面的交点的的交交点点.与与求求不不平平行行，与与：平平面面,：设设直直线线0000LLDCzByAxpzznyymxxL ：解解题题步步骤骤点点坐坐标标。的的参参数数方方程程，即即可可得得交交入入.代代Lt03,的的值值的的方方程程，求求得得.代代入入平平面面02tt的的参参数数方方程程：.写写出出L1ptzznt,yymt,xx 000平面与空间直线分析分析:关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1.M.M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交,交点既在交点既在P P1 1上上,又在又在 L L上上,因此是因此是L L与与P P1 1的交点的交点.例例2 2 求过点求过点 M(-1,2,-3),且平行于平面且平行于平面 ,532131:zyxL,01326:zyxP又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.解解 过过M作平行于作平行于 平面平面 P 的一个平的一个平P1 PMLP1M1 平面与空间直线求平面求平面 P1与已知直线与已知直线 L的交点的交点 tzyxzyx53213101326),(，31101,Mt 解解得得),6,3,2(1 MMs633221 zyxP1:0)3(3)2(2)1(6 zyx01326 zyx即即P1:平面与空间直线平面与空间直线 3.7 空间直线与点的相关位置xyzoL 0000,zyxP dsP1 ,pnms 0000,zyxP是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的距离的距离d.设设 为为L上上任一点，如图任一点，如图 1111,zyxPS,ds S又又,01sPP 于是于是sPP 01ds.01ssPPd 点到直线的距离公式点到直线的距离公式平面与空间直线例例1010 求点求点(5,4,2)到直线到直线113321 zyx的距离的距离d.解解 ,1,3,2,1,3,1,2,4,510 sPP取取 ,1,1,601 PP则则 ,14132222 s 16,8,413211601 kjisPP则则 .6214168422201 ssPPd平面与空间直线3.8 平面束 通过定直线通过定直线 L的所有平面的集合称为该的所有平面的集合称为该直线直线 L 的的平面束平面束.解解:构造平面族构造平面族:（t为任意实数）为任意实数）A1 x+B1 y+C1 z+D1+t(A2 x+B2 y+C2 z+D2)=0 即即 (A1+t A2)x+(B1+t B2)y+(C1+t C2)z+(D1+t D2)=0 (*)L12设直线设直线 L的一般方程为的一般方程为:A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 A2 x+B2 y+C2 z+D2=0 求求L的平面束方程的平面束方程.:1:2 平面与空间直线注注:在求过已知直线且垂直于已知平面的平面在求过已知直线且垂直于已知平面的平面方程时方程时,用平面束方程比较方便用平面束方程比较方便.事实上事实上 设设 为为L外任一点，可取外任一点，可取),(0000zyxM,202020210101010DzCyBxADzCyBxAt 则则M0满足满足(*).因此因此,(*)是是L的平面束方程的平面束方程.(除外除外)2 则则 1.(*)式为过直线式为过直线L的平面方程的平面方程.(*).21上上点点的的坐坐标标必必满满足足不不平平行行且且与与L 2.过过L的任何平面的任何平面(2除外除外)都包含在都包含在(*)所所表示的平面族内表示的平面族内.平面与空间直线解解:显然显然,L是过是过L1且垂直于且垂直于的平面的平面1与与的交线的交线.故先求故先求1.设过直线设过直线L1的平面束方程为的平面束方程为:例例1 求直线求直线 在平面在平面 内的投影直线内的投影直线L的方程的方程.0930421yxzyxL14:zyx 09342 yxtzyx09)4()32:1 tzytxt（即即则则 1的的法向量法向量 1,4,321ttn 又又的的法向量法向量 1,1,4 nL1L1平面与空间直线 101 nn即即:01)4()32(4 tt解得解得,1 t于是投影平面于是投影平面1：.093 zyx投影直线投影直线L的方程为的方程为:.014093 zyxzyx平面与空间直线解法二解法二：先求先求1的方程的方程 .10,3,10,1,31,4,21 s .1,3,1131,1,410,3,111 nsn取取则则1：在在L1上任取一点上任取一点(3,0,-6),0)6()0(3)3(zyx,093 zyx即即.014093:zyxzyxL例例2 2 求直线求直线 在平面在平面 内的投影直线内的投影直线L的方程的方程.0930421yxzyxL14:zyx平面与空间直线例例3 3 求过直线求过直线L和点和点M0(1,2,3)的平面的平面方程方程.032:012:21zyxzyx解解 设设的方程为：的方程为：)(220 不是不是M ,30133,2,10）（代入上式，得代入上式，得将将 M0)32(12 zxzyx(*).01277(*)3 zyx：式得式得代入代入将将