全微分及其应用7课件

全微分及其应用(7)全微分及其应用(7)一、全微分的定义一、全微分的定义 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P 对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z，即即 z=),(),(yxfyyxxf ),(),(),(),(yxfyyxfyyxfyyxxf全微分及其应用(7),(),(yxfyyxf )(),(yoyyxfy)(),(),(),(xxyyxfyyxfyyxxfx其中：)()(),(),(yoxyyxfxyxfzyx)(),(),(dyyxfdxyxfzyx|)|,|(22yxyx这里)()(),(xyxxyxfx连续xf全微分及其应用(7)如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全增增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示为为)(oyBxAz ，其其中中BA,不不依依赖赖于于yx ,而而仅仅与与yx,有有关关，22)()(yx ，则则称称函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，yBxA 称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分，记记为为dz，即即 dz=yBxA .全微分的定义全微分的定义xyyxfz),(例例)()(),(),(yxxyyxyxxyxyyyxxyxfyyxxfzyxxydz全微分及其应用(7)函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分,则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.全微分及其应用(7)二、可微的条件二、可微的条件 定定 理理 1 1（必必 要要 条条 件件）如如 果果 函函 数数),(yxfz 在在 点点),(yx可可 微微 分分，则则 该该 函函 数数 在在 点点),(yx的的 偏偏 导导 数数xz 、yz 必必 存存 在在，且且 函函 数数),(yxfz 在在 点点),(yx的的 全全 微微 分分为为 yyzxxzdz 全微分及其应用(7)证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)(oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x ,),(),(yxfyxxf|),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 全微分及其应用(7)一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0,0(处有处有0)0,0()0,0(yxff全微分及其应用(7)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0,0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0,0()0,0(oyfxfzyx 函函数数在在点点)0,0(处处不不可可微微.全微分及其应用(7)说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分全微分及其应用(7)习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况全微分及其应用(7)例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1,2(处处的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分偏导数连续，全微分存在。偏导数连续，全微分存在。全微分及其应用(7)例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x，y，4 dx，dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82 全微分及其应用(7)例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 偏导数连续，全微分存在，所求全微分：偏导数连续，全微分存在，所求全微分：.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 全微分及其应用(7)讨论函数可微的方法：讨论函数可微的方法：1.总是先求（某点）的偏导；2.如果偏导连续，则可微（充分条件）如果有一个偏导不存在连续，则不可微（必要条件）如果偏导存在但不连续（间断），则考虑)(yfxfzyx是否是的高阶无穷小，即0)(lim)(lim22000yxyfxfzyfxfzyxyxyx全微分及其应用(7)例例4 4 试试证证函函数数 )0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf1)f(x,y)在在点点)0,0(连连续续;2)偏偏导导数数存存在在，但但偏偏导导数数在在点点)0,0(不不连连续续3)f在在点点)0,0(可可微微.思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论论；对对于于偏偏导导数数需需分分 )0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨讨论论.全微分及其应用(7)证证 1）令）令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0)0,0(f故故函函数数在在点点)0,0(连连续续,)0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf或或01sinlim22)0,0(),(yxxyyx（无穷小乘有界量为无穷小）（无穷小乘有界量为无穷小）2）dyyfdxxfdf那么那么=0，有意义吗？全微分及其应用(7)当当)0,0(),(yx时时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0,0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0,0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0,0(不连续不连续.全微分及其应用(7)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0,0(可微可微.0)0,0(df注意：若函数偏导存在时验证函数可微，关键是看注意：若函数偏导存在时验证函数可微，关键是看）（)(yyfxxff222200)()(1sinlimlimyxyxyxyfxffyx全微分及其应用(7)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导全微分及其应用(7)全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 全微分及其应用(7)例例 5 5 计算计算02.2)04.1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1 全微分及其应用(7)、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结全微分及其应用(7)0zz xz y0 ),(yxfz PQMN x yAB),(000zyxM),(000zzyyxxN dz=AB:切面立标的增量切面立标的增量z=f(x,y)(d yxzz z=AN：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点M的切平面的切平面：)(,()(,(000000yyyxfxxyxfyx 即即：dz z=AB+BN0 zz 0)(0 zzyyxfxyxfyx ),(),(0000)(.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量 很很小小时时当当y,x zdz全微分的几何意义全微分及其应用(7)函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(，当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx ,当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题全微分及其应用(7)一、一、填空题填空题:1 1、设设xyez ,则则 xz_；yz_；dz_._.2 2、若若)ln(222zyxu ,则则 du_._.3 3、若函数若函数xyz ,当当1,2 yx,2.0,1.0 yx时时,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、若 函 数若 函 数yxxyz ,则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_;xzxx0lim _._.练练 习习 题题全微分及其应用(7)二、二、求函数求函数)1ln(22yxz 当当,1 x 2 y时的全微分时的全微分.三、三、计算计算33)97.1()02.1(的近似值的近似值.四、四、设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1.0，内高为，内高为cm20,内半径为内半径为cm4,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值.五、五、测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1.063 和和m1.078,这两边的夹角为这两边的夹角为0160.试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差.六六、利利用用全全微微分分证证明明:乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和.全微分及其应用(7)练练习习 求求函函数数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的的偏偏导导数数,并并研研究究在在点点)0,0(处处偏偏导导数数的的连连续续性性及及 函函数数),(yxf的的可可微微性性.全微分及其应用(7)一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ；3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1(.二、二、dydx3231.三、三、2.95.2.95.四、四、3cm3.55.五、五、%.30.1,m6.27,m212822七、七、),(),(yxfyxfyx 在在)0,0(处均不连续处均不连续,),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微.练习题答案练习题答案