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第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1 3.2 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.1 恒定电流的电场 3.1.1 电流密度 图 3-1 电流密度 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 设通过 S的电流为 I， 则该点处的电流密度 J为 nnJ dS dI S I S 0 lim 电流密度的单位是 安培 /米 2(A/m2)。 导体内每一点都有一 个电流密度 ， 因而构成一个矢量场 。 我们称这一矢量场为电流 场 。 电流场的矢量线叫做电流线 。 可以从电流密度 J求出流过任意面积 S的电流强度 。 一般情况下 ， 电流密度 J和面积元 dS的方向并不相同 。 此时 ， 通过面积 S的电 流就等于电流密度 J在 S上的通量 ， 即 SS dSJdI c o sSJ 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 图 3-2 面电流密度 nJ lI SS 0 lim vJ 电流分类：传导电流与运流电流（见书 P48） 对于运流电流： 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 2. 电荷守恒定律 VS dVdtddtdqd SJ dVtd VS SJ 0dVt V J （补充图再介绍） 应用散度定理得： 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 要使这个积分对任意的体积 V均成立，必须使被积函数为零，即 0 t J 0 t 0 J此时有： S 0d SJ 定义 的电流为 恒定电流 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.1.3 欧姆定律 EJ 材 料 电导率 /(S/m) 铁 (99.98% ) 107 黄铜 1.46 107 铝 3.54 107 金 3.10 107 铅 4.55 107 铜 5.80 107 银 6.20 107 硅 1.56 10-3 表 3-1 常用材料的电导率 实验结论： （ J为传导电流！） （说明并推导与 I=U/R的关系） 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.1.4 焦耳定律 当导体两端的电压为 U， 流过的电流为 I时 ， 则在单位时间内电场力对电荷所作 的功 ， 即功率是 UIP 在导电体中 ， 沿电流线方向取一长度为 l、 截面为 S的体 积元 ， 该体积元内消耗的功率为 VEJSJlEIlEIUP )()( (板书画图） 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 当 V 0， 取 P/V的极限 ， 就得出导体内任一点的热 功 率密度 ， 表示为 2 0 lim EEJ V Pp V 或 EJ p 此式就是 焦耳定律的微分形式 。 应该指出 ， 焦耳定律不适应于运流电流 。 因为对于运流电 流而言 ， 电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能 ， 而不是转 变为电荷与晶格碰撞的热能 。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.1.5 恒定电场的基本方程 0 0 E J l S d d 0 0 lE SJ 我们将电源外部导体中 恒定电场的基本方程 归纳如下： 与其相应的积分形式为 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 电流密度 J与电场强度 E之间满足欧姆定律 J=E。 由于恒定电场的旋度为零 ， 因而可以引入电位 , E=- 。 在均匀导体内部 (电导率 为常数 )， 有 0)( 2 E 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.1.6 恒定电流场的边界条件 图 3-4 边界条件 222 EJ 111 EJ 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 0)( 0)( 12 12 JJn EEn 或 tt nn EE JJ 21 21 如前推导可得，恒定电流场的边界条件为 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 例 3-1 设同轴线的内导体半径为 a, 外导体的内半径为 b， 内 、 外导体间填充电导率为 的导电媒质 ， 如图 3-5 所示 ， 求同轴线 单位长度的漏电电阻 。 图 3-5 同轴线横截面 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 解： 媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设 流过半径为 r的任一圆柱侧面的漏电电流为 I，则媒质内任一 点的电流密度和电场为 r r r I r I e J E eJ 2 2 内、外导体间的电压为 a bIE drU b a ln2 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 电导 a bU I G ln 2 于是， 电阻 a b I UR ln 2 1 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） *3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟 表 3-2 恒定电场与静电场的比较 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.2 磁 感 应 强 图 3-8 安培定律 R 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 安培定律指出：在真空中载有电流 I1的回路 C1上任一电流元 dl1对 另一载有电流 I2的回路 C2上任一电流元 dl2的作用力表示为 3 11220 12 R )dI(dI 4 d RllF 3 1122 C C 0 12 R )dI(dI 42 C1C 2 1 RllF 的合力对 3 11 C 0 C 2212 R dI 4 udI 12 RllF 2C 2212 dI BlF 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 令 (举例说明 ) BlF Idd (安培力 ) 3 0 4 R Idd RlB 1C 3110 RdI4 RlB (毕 -萨定理 ) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.3 恒定磁场的基本方程 1. 磁通连续性原理 磁感应强度在有向曲面上的通量简称为 磁通量 (或磁通 )， 单位是 Wb(韦伯 )， 用 表示： s d SB 如 S是一个闭曲面， 则 S d SB 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） SCCS S R dIddRIdd 3030 44 SRlSRlSB 上式中 故可将其改写为 RR 1 3 R SS C dRIdd SlSB 140 由矢量恒定式 V S ddV SAA P287(A1.13) P287(A1.1) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 则有 dV R Id d VS C 1 4 0 l SB 而梯度场的旋度为零， 0 1 R 所以 S 0d SB 积分形式 P287(A1.9) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 使用散度定理， 得到 S V dVd 0BSB 由于上式中积分区域 V是任意的， 所以对空间的各点， 有 0 B 上式是磁通连续性原理的 微分形式 ， 它表明磁感应强度 B是 一个无源 (指散度源 )场 。 磁通连续性方程 P287(A1.12.) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 2. 安培环路定律 I C 0 dlB 当穿过积分回路 C的电流是几个电流时， 可以将式 (3 - 36) 改写为一般形式： IdC 0lB 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 根据斯托克斯定理，可以导出 安培回路定理 的微分形式： B l ( B ) S Cs dd 由于 S dI SJ P287(A1.13) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） SS dd SJSB 0)( 因积分区域 S是任意的， 因而有 JB 0 上式是安培环路定律的 微分形式 ， 它说明磁场的涡旋源是 电流 。 我们可用此式从磁场求电流分布 。 对于对称分布的电 流 ， 我们可以用安培环路定律的积分形式 ， 从电流求出磁场 。 安培环路定理 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 例 : 半径为 a的无限长直导线 ， 载有电流 I， 计算导体内 、 外 的磁感应强度 。 解 : SC drBd SJlB 02 在导线内电流均匀分布， 导线外电流为零， 0 2a I z e J r a ra 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 当 ra时 ， 积分回路包围的电流为 I； 当 ra时 ， 包围电流为 Ir2/a2。 当 ra时： 2 0 2 2 0 2 2 a Ir B a Ir rB 当 ra时： r I B IrB 2 2 0 0 *写成矢量形式为 r I J a Ir z 2 22 0 02 0 e re e B r a ra 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.4 矢 量 磁 位 可以令 AB 称式中的 A为 矢量磁位 (简称磁矢位 )， 其单位是 Tm(特斯 拉 米 )或 Wb/m(韦伯 /米 )。 矢量磁位是一个辅助量 。 式仅仅规定 了磁矢位 A的旋度 ， 而 A的散度可以任意假定 。 因为若 B= A， 另一矢量 A =A+ ， 其中 是一个任意标量函数 ， 则 BAAA 0 A 令 （库仑规范） 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） JA 0 使用矢量恒等式 )(2 AAA JA 02 上式是磁矢位满足的微分方程 ， 称为 磁矢位的泊松方程 。 对无 源区 (J=0)， 磁矢位满足矢量拉普拉斯方程 ， 即 02 A 2 2 2 2 x y z 0A e e e Jx y zA A A zyx AAA zyx eeeA zyx JJJ zyx eeeJ 且 * * 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） zz yy xx JA JA JA 0 2 0 2 0 2 V z z V y y V x x dV R J A dV R J A dV R J A 4 4 4 0 0 0 类比静电场公式，得 * * * * * * 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 合并上三个分量式， 将其写成矢量形式： V dV R JA 4 0 若磁场由 面电流 JS产生，容易写出其磁矢位为 S dSR SJA 4 0 同理， 线电流 产生的磁矢位为 l RI dlA 4 0 磁通的计算也可以通过磁矢位表示： S CS ddd lASASB )( （ 类 比 电 位 公 式 ） * 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） *例 求长度为 l 的载流直导线的磁矢位 。 图 3-11 直导线磁矢位 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 解 : 2/122 2/122 0 2/ 2/ 2/122 0 )2/()2/( )2/()2/( 1 4 )( 4 rzlzl rzlzl n I zzr dzI A l l z 当 lz时，有 2/122 2/122 0 )2/(2/ )2/(2/1 4 rll rllnIA z 上式中，若再取 lr, 则有 r l n I r l n I A z 1 2 1 4 0 2 0 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 当电流分布在无限区域时 ， 一般指定一个磁矢位的参考点 ， 就可以使磁矢位不为无穷大 。 当指定 r=r0处为磁矢位的零点时 ， 可以得出 r rnIA z 00 1 2 从上式， 用圆柱坐标的旋度公式，可求出 r I r AA r zzr 2 0 ee eAB 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） *例 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。 解： 0 2 a I z e J r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有 z分量，而且它只是坐 标 r的函数，即 )( rAzeA 设在导线内磁位是 A1, 导线外磁位是 A2， ra时， 01 222 r Ar rr A 212 2 0 1 14 CnrCa IrA 432 1 CnrCA r A z eB 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 可以求出导线内、 外的磁场分别为 r C eB a Ir eB 3 2 2 0 1 2 2 0 3 IC 导体外部的磁感应强度为 r IreB 2 0 2 在 r=a处 B1=B2，有 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.5 磁 偶 极 子 概念 磁偶极子 ： 通电小圆环。 定义 磁偶极矩 ： Sp m I 3 0 4 r rpA m 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.6 磁介质中的场方程 1. 磁化强度 M VV mpM 0 lim 式中 Pm是分子磁矩 ， 求和对体积元 V内的所有分子进行 。 磁化强 度 M的单位是 A/m(安培 /米 )。 定义 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 2. 图 3 -13 磁化介质的场 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3 0 )( 4 R Vr RMA 全部磁介质在 r处产生的磁矢位为 1 4 )( 4 0 3 0 dV R dV R r V V M RM A 可以将上式改写为 4 4 00 dS R dV R VV nMMA * * * * * 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） nMJ MJ mS m 等效 磁化体电流 ： 等效 磁化面电流： 1：如何理解“等效”？ 2：与极化电荷的区别？ 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 图 3-14 磁化电流示意图 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 例 半径为 a、 高为 L的磁化介质柱 (如图 3 -15 所示 )， 磁化 强度为 M0(M0为常矢量 ， 且与圆柱的轴线平行 )， 求磁化电流 Jm 和磁化面电流 JmS。 图 3 15 例 3 - 7用图 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 解 ：取圆柱坐标系的 z轴和磁介质柱的中轴线重合 ， 磁介质 的下底面位于 z=0处 ， 上底面位于 z=L处 。 此时 ， M=M0ez， 由式 (3 -52)得磁化电流为 0)( 0 zm M eMJ 在界面 z=0上， n=-ez, 0)(0 zzmS M eenMJ 在界面 z=L上， n=ez， 00 zzmS M eenMJ 在界面 r=a上， n=er, eeenMJ 00 MM rzmS 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3. 磁场强度 在外磁场的作用下 ， 磁介质内部有磁化电流 Jm。 磁化电流 Jm 和外加的电流 J都产生磁场 ， 这时应将真空中的安培环路定律修正 为下面的形式： SJlB dIIId S mC m 000 )( lMSMB dIdIdl CC S 0000 C Id lMB 0 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 令 MBH 0 其中 H称为 磁场强度 ，单位是 A/m(安培 /米 )。于是有 C Id lH 与上式相应的微分形式是 JH 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 4. 磁导率 )(0 MHB 实验得知， M与 H间的关系为 HM m 式中 m是一个无量纲常数 ， 称为 磁化率 。 非线性磁介质的磁化率 与磁场强度有关 ， 非均匀介质的磁化率是空间位置的函数 ， 各向 异性介质的 M和 H的方向不在同一方向上 。 顺磁介质的 m为正 ， 抗磁介质的 m为负 。 这两类介质的 m约为 10-5量级 。 HHHMHB 000 )1()( rmx 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 式中 ， r=1+m， 是介质的 相对磁导率 ， 是一个无量纲数； =0r， 是介质的磁导率 ， 单位和真空磁导率相同 ， 为 H/m(亨 /米 )。 铁磁材料的 B和 H的关系是非线性的 ， 并且 B不是 H的单值 函数 ， 会出现磁滞现象 ， 其磁化率 m的变化范围很大 ， 可以 达到 106量级 。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 5. JH 0B SC S dd SJlH dSB 0 JA 2 HB AB 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 例 同轴线的内导体半径为 a， 外导体的内半径为 b， 外半 径为 c， 如图 3 - 16 所示 。 设内 、 外导体分别流过反向的电流 I， 两导体之间介质的磁导率为 ， 求各区域的 H、 B、 M。 同轴线示意图 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 解： 以后如无特别声明 ， 对良导体 (不包括铁等磁性物质 )一 般取 其磁导率为 0。 因同轴线为无限长 ， 则其磁场沿轴线无变化 ， 该磁场只有 分量 ， 且其大小只是 r的函数 。 分别在各区域使用介 质中的安培环路定律 C Hdl= S JdS， 求出各区的磁场强度 H， 然后由 H求出 B和 M。 当 r a时， 电流 I在导体内均匀分布，且流向 +z方向。由安 培环路定律得 22 a Ir eH )( ar 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 考虑这一区域的磁导率为 0，可得 0 2 2 0 M eB a Ir (r a) (r a) 当 arb时，与积分回路交链的电流为 I，该区磁导率为 ， 可得 r I r I 2 2 eB eH r I 2 0 0 eM (arb) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 当 bc时，这一区域的 B、 H、 M为零。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.7 恒定磁场的边界条件 图 3-17 Bn的边界条件 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 设底面和顶面的面积均等于 S。 将积分形式的磁通连续性 原理 (即 S BdS=0)应用到此闭合面上 ， 假设圆柱体的高度 h趋 于零 ， 得 021 SS nBnB nn BB 12 写成矢量形式为 0)( 12 BBn 即 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 图 : Ht的边界条件 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 将 介质中积分形式的安培环路定律 C S dSJdlH 应用在这一回路， 得 S dSJllHlH )( 12 若界面上的电流可以看成面电流， 则 lbJdSJS S lbJlHHl S )( 12 于是有 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 考虑到 l =b n, 得 bJHHnb S )()( 12 使用矢量恒等式 ACBCBA )()( bJbHHn S )( 12 SJHHn )( 12 21t t SH H J 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 如果 无面电流 (JS=0)， 这一边界条件变成为 0)( 12 HHn 用下标 t表示切向分量，上式可以写成标量形式： tt HH 12 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 上式两式相除 ， 并注意 B2=2H2, B1=1H1, 得 2 1 2 1 t a n t a n 这表明 ， 磁力线在分界面上通常要改变方向 。 若介质 1为铁磁 材料 ， 介质 2为空气 ， 此时 2 1, 因而 2 1， 由式 (3 - 66)得 B2 B1。 假如 1=10000, 2=0， 在这种情况下 ， 当 =87 时 ， 2=1.09 ， B2/B1=0.052。 由此可见 ， 铁磁材料内部的磁感应 强度远大于外部的磁感应强度 ， 同时外部的磁力线几乎与铁磁 材料表面垂直 。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 3.9 互 感 和 自 感 在线性磁介质中 ， 任一回路在空间产生的磁场与回路电流 成正比 ， 因而穿过任意的固定回路的磁通量 也是与电流成正比 。 如果回路由细导线绕成 N匝 ， 则总磁通量是各匝的磁通之和 。 称 总磁通为磁链 ， 用 表示 。 对于密绕线圈 ， 可以近似认为各匝的 磁通相等 ， 从而有 =N。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 一个回路的 自感定义 为回路的磁链和回路电流之比， 用 L 表示， 即 IL 自感的单位是 H(亨利 )。自感的大小决定于回路的尺寸、形状以 及介质的磁导率。 图：互感 (黑板画图 ) 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 1 12 12 IM 2 21 21 IM 互感 的单位与自感相同 。 同样 ， 我们可以 用载流回路 C2的磁场 在回路 C1上产生的磁链 21与电流 I2的比来定义 互感 M21， 即 互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路 的匝数。 可以证明： M12=M21 例： P71 3-9 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 解： 设导线中电流为 I， 由无限长导线的磁场公式 ， 可得两 导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为 )(22 00 xd I x IB 磁场的方向与导线回路平面垂直。 单位长度 上的外磁链为 a adnIB dxad a 10 所以 单位长 外自感为 a adnL 10 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 类似于静电场的能量可以用电场矢量 D和 E表示 ， 磁场能量 也可用磁场矢量 B和 H表示 ， 并由此得出磁通密度的概念 。 Vm dVW BH21 磁场能量密度 为 2 2 1 H 2 1w m HB 3.10 磁场能量 )21.21( 22 CUWLIW em 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时 2节） 例 同 轴线单位长度自感和储能 （ 黑板补充 ） * 例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感 。 解 ：设导体半径为 a，通过的电流为 I，则距离轴心 r处的磁 感应强度为 2 0 2 a IrB 单位长度的磁场能量为 16 2 2 1 2 1 2 1 2 0 1 00 2 0 2 0 I dzr drB dVBB H dVW a mi 单位长度的内自感为 8 2 0 2 I WL mi i
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