正态总体均值的假设检验.ppt

8.2 正态总体的参数检验 拒绝域的推导 设 X N ( 2)， 2 已知，需检验： H0 : 0 ； H1 : 0 构造统计量 )1,0(0 N n X U 给定 显著性水平 与样本值 (x1,x2, ,xn ) 一个正态总体 （ 1）关于 的检验 P(拒绝 H0|H0为真 ) 0H 0H )( 00 kXP )( 0 0 kXP H )( 0 0 n k n X P H )( 20 0 Z n X P H n Zk 2 取 所以本检验的拒绝域为 0： 2 zU U 检验法 0 0 0 0 0 2 zU zU zU U 检验法 (2 已知 ) 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其 H0为真时的分布 拒绝域 0XU n (0 , 1 )N 0 0 0 0 2 tT 0 tT tT )1( 0 nt n S X T T 检验法 (2 未知 ) 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其 H0为真时的分布 拒绝域 例 1 某厂生产小型马达 , 说明书上写着 : 这种小型马达在正常负载下平均消耗电 流不会超过 0.8 安培 . 现随机抽取 16台马达试验 , 求得平均 消耗电流为 0.92安培 , 消耗电流的标准 差为 0.32安培 . 假设马达所消耗的电流服从正态分 布 , 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这 个样本 , 能否否定厂方的断言 ? 解 根据题意待检假设可设为 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知 , 故 选检验统计量 : ( 15 ) / 16 X TT S 查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为 7 5 3.1 / 8.0 ns x 94.0 4 32.07 5 3.18.0 x 现 94.092.0 x 故接受原假设 , 即不能否定厂方断言 . 解二 H0 : 0.8 ； H1 : 02 )(22 n 2 02 )1(22 n 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ； H1 : 2 0.00040. 取统计量 )1( )1( 2 2 0 2 2 nSn 拒绝域 0： 22 0 . 0 5 ( 2 4 ) 3 6 . 4 1 5 4 1 5.366.39 0 0 0 4 0.0 0 0 0 6 6.0242 0 落在 0内 , 故拒绝 H0. 即改革后的方 差显著大于改革前 , 因此下一步的改 革应朝相反方向进行 . 设 X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2 ) 两 样本 X , Y 相互独立 , 样本 (X1, X2 , , Xn ), ( Y1, Y2 , , Ym ) 样本值 ( x1, x2 , , xn ), ( y1, y2 , , ym ) 显著性水平 两个正态总体 1 2 = ( 12， 22 已知 ) )1,0( 2 2 2 1 N mn YX U 2 zU zU (1) 关于均值差 1 2 的检验 zU 1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 1 2 = 2 tT 1 2 1 2 1 2 1 2 tT tT )2( 11 mnT S mn YX T w 2 )1()1( 2221 mn SmSnS w 其中 12, 22未知 12 = 22 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22 )1,1( mnFF )1,1(1 mnFF (2) 关于方差比 12 / 22 的检验 )1,1( 2 mnFF 或 )1,1(21 mnFF 1, 2 )1,1( 2 2 2 1 mnF S S F 均未知 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 例 3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中 , 现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋 24个 .其中 9个来自一种鸟巢 , 15个来自另一种鸟 巢 , 测得杜鹃蛋的长度 (mm)如下 : m = 15 5 6 8 9.0 12.21 2 2 s y 19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3 n = 9 4 2 2 5.0 20.22 2 1 s x 21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2 试判别两个样本均值的差异是仅 由随机因素造成的还是与来自不同的 鸟巢有关 ( ). 05.0 解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 取统计量 )2( 11 mnT S mn YX T w 7 1 8.0 2 )1()1( 2221 mn SmSn S w 拒绝域 0： 074.2)22(025.0 tT 0 7 4.25 6 8.30 T 统计量值 . 落在 0内 , 拒绝 H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关 . 例 4 假设机器 A 和 B 都生产钢管 , 要 检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定 程度 . 设它们生产的钢管内径分别 为 X 和 Y , 且 都服从正态分布 X N (1, 12) , Y N (2, 22) 现从 机器 A和 B生产的钢管中各 抽出 18 根和 13 根 , 测得 s12 = 0.34, s22 = 0.29, 设两样本相互独立 . 问是否能认 为两台机器生产的钢管内径的稳定程 度相同 ? ( 取 = 0.1 ) 解 设 H0 : 12 = 22 ； H1 : 12 22 查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59, 42.0 38.2 1 )17,12( 1 05.0 F 22 12/ ( 1 7 , 1 2 )S S F F0.95( 17, 12 ) = 拒绝域为 : 59.2 2 2 2 1 S S 或 42.0 2 2 2 1 S S 由给定值算得 : 17.1 29.0 34.0 2 2 2 1 s s 落在拒绝域外 ,故接受原假设 , 即认为 内径的稳定程度相同 . 接受域 置信区间 1 假 设 检 验 区 间 估 计 统计量 对偶关系 同一函数 假设检验与区间估计的联系 样本函数 假设检验与置信区间对照 ),( 22 n zx n zx 2 0 z n x 接受域 置信区间 检验统计量及其在 H0为真时的分布 枢轴量及其分布 0 0 （ 2 已知 ) )1,0(0 N n XU （ 2 已知 ) )1,0(0 N n XU 原假设 H0 备择假设 H1 待估参数 接受域 置信区间 检验统计量及其在 H0为真时的分布 枢轴量及其分布 原假设 H0 备择假设 H1 待估参数 0 0 （ 2未知） )1(0 nT n S XT （ 2未知） )1(0 nT n S XT ) 2 n stx 2 0 t n s x ,( 2 n stx 接受域 置信区间 ) )1( )1(, )1( )1( 2 1 2 2 2 22 n sn n sn 2 2 2 0 2 2 2 1 )1( Sn 检验统计量及其在 H0为真时的分布 枢轴量及其分布 原假设 H0 备择假设 H1 待估参数 2 02 2= 02 2 (未知 ) )1()1( 22 0 2 2 nSn (未知 ) )1()1( 22 0 2 2 nSn 例 5 新设计的某种化学天平，其测量 误差服从正态分布 , 现要求 99.7% 的测 量误差不超过 0.1mg , 即要求 3 0.1. 现拿它与标准天平相比，得 10个误差数 据，其样本方差 s2 =0.0009. 解一 H0: 1/30 ； H1: 1/30 试问在 = 0.05 的水平上能否认为 满足设计要求？ )9( 9 2 2 0 2 2 S 拒绝域： 未知 , 故 选检验统计量 9 1 9.16)9( 9 0 0/1 9 2 05.0 2 2 S 9 1 9.1629.7 9 0 0/1 9 22 S 现 故接受原假设 , 即认为 满足设计要求 . 解二 2的单侧 置信区间为 )0 0 2 4.0,0() 325.3 0 0 8 1.0 ,0() )1( )1( ,0( 2 1 2 n Sn H0中的 0024.00011.0 900 12 0 2 满足设计要求 . 则 H0 成立 , 从而接受原假设 , 即认为 样本容量的选取 虽然当样本容量 n 固定时 , 我们不能 同时控制犯两类错误的概率 , 但可以适当 选取 n 的值 , 使犯取伪错误的概率 控制 在预先给定的限度内 . 样本容量 n 满足 如下公式： /)( zzn 单边检验 /)( 2 zzn 双边检验 右边检验 )( z n 0 左边检验 )( z 双边检验 1)()( 22 zz 其 中 U 检验法中 的计算公式 例 7 (产品质量抽检方案 )设有一大批 产品其质量指标 ,以 小 2 ( , )XN 者为佳 . 对要实行的验收方案 厂方要求 : 对高质量的产品 能 0() 客户要求 : 对低质量产品 能 0() 以高概率 为客户所接受； (1 ) 以高概率 被拒绝 . (1 ) 问应怎样安排抽样方案 . 设 0 0 . 1 1 , 0 . 3 , 0 . 0 9 , 0 . 0 5 . 解 在显著性水平 下进行 检验 U 0 .0 5 H0 : 0 ； H1 : 0 0X z n 由 0 . 0 5( ) / 2 0 . 3 / 0 . 0 9 1 0 . 9 7n z z z 拒绝域为 ： 0 取 1 2 1n 1549.0 121 3.0645.111.0 05.00 nzX 可安排容量为 121的一次性抽样 . 当样本均值 时 ,客户 1549.0 x 拒绝购买该批产品； 则购买该批产品 . 1549.0 x当 时， 例 8 袋装味精由自动生产线包装，每 袋标准重量 500g,标准差为 25g.质检 员在同一天生产的味精中任抽 100袋 检验，平均袋重 495g. 在 的检验中犯取伪错误的概 在显著性水平 下，该 05.0 天的产品能否投放市场？ 率 是多少？ 若同时控制犯两类错误的概率， 使 都小于 5 %, 样本容量 , ?n 解 设每袋重量 )25,500( 2NX 96.12 1 0 0/25 5 0 04 9 5 0 U H0 : 500 ； H1 : 500 故该天的产品不能投放市场 . 落在 内 0 96.1 / 025.0 0 2 zz n X U 0： 由前面的公式知 1)()( 22 zz 2 100/25 5 / n 55 0 04 9 500 x 1)96.3()04.0( 96.1 2 z 484.0)04.0(1 此概率表明：有 48.4%的可能性将 包装不合格的认为是合格的 . 由于是双边检验，故 025.1825 5 645.196.1 325 n /)( 2 zzn 所以当样本容量取 325时 , 犯两类 错误的概率都不超过 5 % . 70:;70: ),(,: 10 2 HH NXX 要检验的假设是 则由题意为设该次考试的考生成绩解 )1( / , 0 nt nS X t 所以选取统计量因为未知 例 1: 设某次考试考生成绩服从正态分布 ,从中随机 抽出 36位考生的成绩 ,算得平均成绩为 66.5分 ,标准差为 15分 ,问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分 ?(取显著性水平 =0.05)? 4.1 36/15 705.66 .15,5.66,36,70 0 t t SXn 的观测值由此得统计量 已知 03.2)35()1(4 025.02/ tnt 得查附表 .70 , 05.0),35( 0 025.0 分考生的平均成绩是 体即可以认为这次考试全下接受原假设 所以在显著性水平因为 H tt 返回 :,30 ,.09.0:, , .09.0),( )(:2 2 0 22 测得数据如下个加工的零件中抽取 从该车床为此即检验原假设精度 的加工需要检验是否保持原来经过一段时间后 原来的加工精度正态分布 服从的直径自动车床加工某种零件例 H N mm 零件 直径 xi 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 频数 ni 1 1 3 6 7 5 4 2 1 ?)05.0( 问加工精度是否变差 解 :要检验的假设是 ;09.0:;09.0: 2120 HH 3.43 09.0 13 44.029 13 44.0,30,09.0 2 2 2 2 22 0 的观测值由此得统计量 样本方差得已知 Sn 因为 未知 ,所以选取统计量 )1()1( 22 0 2 2 2 nSn . , , 6.42)29()1(5 10 2 05.0 2 2 2 05.0 2 2 工精度变差了即认为该自动车床的加 而接受备择假设所以拒绝原假设 因为 得查附表 HH n