数字控制器设计技术.ppt

太原理工大学自动化 YGW 第八章 数字控制器的离散化设计技术 8.1 数字控制器的离散化设计步骤 8.2 最少拍 控制器的设计 8.3 最少拍无波纹 控制器的设计 8.4 大林算法 8.5 数字控制器的实现 太原理工大学自动化 YGW 数字控制器的离散化设计技术 数字控制器的连续化设计 是立足于连续系统 PID调节器的设计， 忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样开关，将离散系统近 似连续化，按连续系统设计连续控制器，然后通过近似，将连 续控制器离散化为数字控制器，由计算机来实现，模拟化设计 要求采样周期较小，因此，其只能实现较简单的控制算法。 由于控制任务的需要，当所选择的采样周期较大，或对控制质 量有较高要求时，必须从被控对象的特性出发，直接根据采样 系统理论和 脉冲传递函数 来设计数字调节器 这类方法称为 离散化（直接数字）设计 。 因此，首先需要认识离散化后的控制系统； 注意与 PID控制规律的区别 太原理工大学自动化 YGW 8.1 数字控制器的离散化设计步骤 )(1)()()( sGseZsGsGZzG CTsCH 对象的广义脉冲传函 GC(s) 被控对象的连续 传递函数。 D(z)数字控制器的脉 冲传函； GH(s)零阶保持器传函； T采样周期。 )()(1 )()()( zGzD zGzDz 系统的闭环脉冲传函 太原理工大学自动化 YGW 如何获得 D(z) )(1 )( )( 1)( z z zGzD 若已知 GC(S)且可根据控制系统性能指标要求 构造 (z)， 则可求得 D(z)数字 控制器。 i. 根据系统的性能指标和其它约束条件，确定所需要的闭环脉冲 传递函数 (z)。 ii. 求取广义对象的脉冲传递函数 G(z)。 iii. 求取数字控制器的脉冲传递函数 D(z)。 iv. 选取相应的方法实现 D(z) 总结： )()(1 )()()( zGzD zGzDz 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制器的设计 在数字控制系统中，总是希望系统能尽快地消除偏差，使输出跟踪 上输入信号变化。或者说在有限的几个采样周期内即可达到平衡。 最少拍控制： 就是要求闭环系统对于 某种特定的输入信号 在最少个 采样周期内输出能准确地跟踪输入信号不存在静差。 而且闭环传递函数具有如下形式： N是可能情况下的最小正整数，这个形式表明闭环系统的脉冲响应 在 N个周期后变为 0。 一个采样周期称为一拍，所以也称最少拍控制。 可以看出 ： (z)的确定是一个重要的问题 NN zzzz 2111)( 太原理工大学自动化 YGW 如何确定 (z) 误差的 脉冲 传递函数： )(1)( )(1)( )()()( )()( ZZR ZYZR ZYZRZR ZEZe E(Z)是误差信号 e(t)的 Z变换 R(Z)是输入信号 r(t)的 Z变换 )()()( ZZRZE e 要通过系统的稳态误差 等性能指标确定 (Z) ， 与 R(Z) 有关。 R(Z)=？ 对典型输入信号 1)!1( 1)( qtqtr q=1 单位阶跃 输入 11 1)( )(1)( ZZRttr 21 1 )1()( )( Z TZZRttrq=2 单位速度输入 31 1122 )1(2 )1()( 2 1)( Z ZZTZRttrq=3 单位加速度输入 qZ ZBZR )1( )()( 1 B(Z)是 不包含 (1-Z-1)因子 的关于 Z-1的多项式 通式： 太原理工大学自动化 YGW 如何确定 (z) )()1(1)(1)( 1 ZFZZZ qe qe Z ZBZZE )1( )()()( 1 从系统稳态误差来考虑， )()1( )()1(lim)()1(lim)( 11111 ZZ ZBZZEZe eqzz 根据 Z变换的终值定理， 稳态误差为： 可以看出： (Z)具有 Z-1的最高幂次 N=p+q， 表明在 N拍后达到稳定 值， 当 p=0时 ,F(z)=1， 系统在最少拍 Nmin=q内达到稳态，此即最少 拍控制 F(Z)是不包含 1- Z-1因子的关于 Z-1的多项式 ， 且首项为 1 pp ZfZfZfZF 22111)( )()1()( 1 ZFZZ qe 由于 B(Z)不包含 (1-Z-1)因式，要使 e()=0必须有 太原理工大学自动化 YGW qe ZZ )1()( 1 qZZ )1(1)( 1 q q e ZZG Z Z Z ZGZD )1)( )1(1 )( )( )( 1)( 1 1 从快速性考虑： 为使系统在最少拍内达到稳态，最少拍取 F(Z)=1 （ 保证 Z-1的幂次最低 q+p， F(Z) 的幂次为 p）， 则有 则最少拍控制器为： 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制系统分析 q=1 210 1 1 001 11 1)1()(1)()()()( ZZZ ZZZZRZZRZE e 对于单位阶跃输入时 q=1 11 )1(1)( ZZZ q 由误差 )()()( ZRZZE e qe ZZ )1()( 1 qZZ )1(1)( 1 根据 Z变换的定义 式中 e(0)、 e(T)、 e(2T)、 e(kT)就是每个采样瞬间的系统误差 。 kZkTeZTeZTeeZE )()2()()0()( 21 321111 1)()()( ZZZZZZZRZY 也可求出： 说明： 只需一拍输出就能跟踪输入，误差为 0，过渡过程结束 0)2()( 1)0( TeTee 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制系统分析 q=2 21 1 )1()( )( Z TZZRttrq=2 单位速度输入 21211 2)1(1)1(1)( ZZZZZ q 121 21 1 )21( )1()(1)()()()( TZZZZ TZZZRZZRZE e 也可求出： 43221211 432)2()1()()()( TZTZTZZZZTZZZRZY 0)3()2( )( 0)0( TeTeTTee 说明： 只需二拍输出就能跟踪输入，误差为 0，过渡过程结束 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制系统分析 q=3 2212 31 11231 22)1(2 )1()1()( ZTZT Z ZZTZZE 31 1122 )1(2 )1()( 2 1)( Z ZZTZRttrq=3 单位加速度输入 321311 33)1(1)1(1)( ZZZZZZ q 0)4()3( 2)2()( 0)0( 2 TeTeTTeTee 说明： 只需三拍输出就能跟踪输入，误差为 0，过渡过程结束 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制系统总结 输入函 数 r(kT) 误差 Z传递 函数 e(z) 闭环 Z传递函数 e(z) 最少拍调节器 D(z) 调节时 间 ts u(kT) 1 - z-1 z-1 T kT (1-z-1)2 2z-1- z-2 2T (kT)2/2 (1-z-1)3 3z-1- 3z-2+z-3 3T 31 321 )1)( 33 ZZG ZZZ 21 21 )1)( 2 ZZG ZZ )1)( 1 1 ZZG Z 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制系统举例 D(z )+ - E(z) C(t ) G H (s) G c (s) )1( 10)( sssG c T=1s 求在单位速度输入 时的最少拍控制器 (1)求广义对象脉冲传递函数 )368.01)(1( )718.01(678.3 1 1 1 1 )1( )1(10 1 111 )1(10 )1( 10 )1( )1( 10 )1( )( )1()( 1 )( 11 11 11121 1 1 2 1 2 1 2 11 zz zz zezz z z sss Zz ss Zz ss Zz s sG ZzsG s e ZzG c c Ts 太原理工大学自动化 YGW 21 )1()( zze 2121 2)1(1)( zzzz )718.01)(1( )368.01)(5.01(5434.0 )1)(718.01(678.3 )2)(368.01)(1( )()( )( )( 11 11 2111 2111 zz zz zzz zzzz zzG z zD e 最少拍数字控制器： 由于 r(t)=t， 则 误差的 Z传函： 1 21 1 21 )1()1()()()( zz TzzzRzzE e 432 21 1 21 432 )1()2()()()( zzzz TzzzzRzzY 输出的 Z传函： e(k)=0,1,0,0,0 太原理工大学自动化 YGW 仿真曲线 系统输出序列 C(0)=0 C(T)=0 C(2T)=2T C(3T)=3T 经两拍以后 ， 输出量完全等于输入采样值 ， 但各采样点之间还存在一定误差 ， 即波纹 。 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 1 2 3 4 5 r (t ) 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 太原理工大学自动化 YGW 控制量输出仿真曲线 0.5434 -0.3184 0.4004 -0.1157 0.2549 -0.0112 0.1798 0.0427 0.1412 0.0705 太原理工大学自动化 YGW 控制量输出 将 E(z)代入得 21 321 718.0282.01 1.0471.05 4 34.0)()()( zz zzzzEzDzU 长除法展开得 U(z)=0.543z-1-0.318z-2+0.4z-3-0.117z-4+0.254z-5- u(k)=0,0.543,-0.318,0.4,-0.117,0.254, 可看出数字控制器输出是不稳定的，在正负之间脉动。将对 象分解 太原理工大学自动化 YGW 经过零阶保持器外推后，输出变成正负相间的矩形波，经过惯性 环节然后再经过积分环节和 10倍的放大后，在 2T达到稳态值。 但是由于在达到稳态值后 uk(t)不是一个恒定值，导致系统有纹波 太原理工大学自动化 YGW 最少拍控制的局限性 对典型输入的适应性差 （ P257例 8-1） 针对一种典型输入函数 R(z)设计得到的闭环脉冲函数 (z)， 用于次数较低的 输入函数 R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增加，但在采样时 刻的误差为零。当用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入， 以致产生稳态误差。 可实现性问题 ： D (z)的分母阶次必须高于分子的阶次（ n m ）。 也就是说 D (z)在输入端施加信号之前，输出端不能出现信号。 D (z)的展开式只能 具有 z的零次项和负幂次项。 稳定性问题 ： 只若有 G(z)是稳定的，即在单位圆上或单位圆外没有零极点， 而且不包含纯滞后环节 z-1， 该设计才是正确的，若上述条件不满足，应对 上述设计作相应的限制 n n m m ZaZaZa ZbZbZbbZD 2 2 1 1 2 2 1 101)( 0 )()( n nznTdZD 太原理工大学自动化 YGW 稳定性 )( )( )( 1)( Z Z ZGZD e )()()()( ZGZZDZ e 闭环脉冲传函 闭环系统稳定要求闭环脉冲传函 (z)的极点应在 z平面的单位圆内。 若 G(z)中有单位圆外极点存在，应由 e(z)的零点来对消，而不能由 D(z)的零点来抵消 G(z)的单位圆上或单位圆外的零点以及 z-1项，仍然需要包括在 (z)中， 不能用 e(z)或 D(z)的极点来抵消，否则会导致数字控制器的不稳定。 太原理工大学自动化 YGW 几个重要原则 （ 1） . 若 G(z)中包含有单位圆上或圆外的零极点时 ， 从 D(z)的可实 现及稳定性考虑 ， 即 D(z)在物理上应是可实现的有理多项式 nm， D(z)不包含单位圆上和圆外的极点 ， D(z)不包含超前环节 n n m m ZaZaZa ZbZbZbbZD 2 2 1 1 2 2 1 10 1)( （ 2） . 要用 e(Z)的零点来抵消 G(z)中单位圆外的极点 ， 即选择 e(z)时要考虑输入信号形式 ， 还要考虑 G(z)的单位圆外极点 。 （ 3） . G(z)的单位圆上或单位圆外的零点以及 z-1项 ， 仍然需要包括在 (z)=1- e(z)中 。 （ 4） . (z)=1-e(z)应为 z-1的多项式 ， (z)中 z-1的方次应与 G(z)中 分子的 z-1因子的方次相等 。 太原理工大学自动化 YGW 所谓控制器可实现问题是要求数字控制器算法中不能出现对未来时 刻信息的要求，也就是说 D(z)的展开式中不能出现 z的正幂次项。 G(z)的一般形式可以写成 )( )( )( 2 2 1 10 2 2 1 10 2 2 1 10 zgzggz zazazaa zbzbzbbz zG l n n m m l 希望的闭环脉冲传递函数为 (z)=rz-r+ r+1z-(r+1)+ )( )( )( 1)( Z Z ZGZD e )1( 1 )( )1( 1 1 10 )1( 1 )1)( )( lr lr lr lr r r r r l r r r r zdzd zzzggz zz zD 如果 r l， D(z)的展开式中将出现 z的正幂次项 太原理工大学自动化 YGW 例 )11.0)(1( 10)( ssssG c D(z )+ - E(z) C(t ) G H (s) G c (s) T=0.5s 求在单位阶跃输入时的最少拍控制器 )0067.01)(606.01)(1( )05 355.01)(4815.11(7385.0 1 1 1 100 1 99 )1( 90 9 1 10 9 1 1 9 100 1110 )1( )11.0)(1( 10 )1( )11.0)(1( 101 )( 111 111 1101121 11 2 1 2 1 ZZZ ZZZ ZeZeZZ TZZ ssss ZZ sss ZZ ssss e ZZG TT Ts 首先求广义对象的脉冲传递函数 G(z)的分子上包含一个 z-1因子 G(z)包含一个单位圆外的零点 z=1.4815 G(z)包含一个单位圆上的极点 z=1 包含在 (z)中 包含在 (z)中 包含在 e(z)中，由 e(z)的零点抵消 (z)=1- e(z)=a z-1 (1+1.4815z-1) e(z)=(1-z-1)(1+bz- ) 太原理工大学自动化 YGW 最少拍无纹波控制器设计 纹波的危害 输出响应只是在各采样点上为零，而在采样点之间不为零 控制器输出在系统达到稳态后还不恒定，消耗功率、增加机械磨损 纹波产生的原因 如何消除纹波？ 要实现无纹波的最少拍，除了最少拍的相关要求外，还必 须使输出 U(z)稳定 U(z) = D(z) E(z) = D(z)e(z)R(z) 如何使 U(z)在系统输出进入稳态后进入稳定状态呢 ？ 只要 D(z)e(z)是 z-1的有限多项式，那么在确定的典型输入作用下，经 过有限拍以后， U(z)达到相对稳定，从而保证系统输出无波纹 太原理工大学自动化 YGW 单位阶跃输入最少拍无波纹系统设计 单位阶跃输入 如果 则 由此可见第 2拍起 U(k)就稳定在 a0+a1+a2上。 11 1)( ZZR 22110)()( ZaZaaZZD e 1 2 2 1 10 1)()()()( Z ZaZaaZRZZDZU e 321022101100 )()()( ZaaaZaaaZaaa 0)0( aU U(e) 10)( aaTU 210)2( aaaTU )()4()3( 210 nTUTUaaaTU 太原理工大学自动化 YGW 最少拍无波纹系统设计 )1( )1( )( )( )()()( 1 1 1 1 ZZZ Zp Z ZG ZZZD j e j d i n i e 为了使 U(kT)是有限拍，应使 D(z)e(z)为 z-1的有限多项式，而 式中 pi、 zj分别是 G(z)的极点与零点 。 由上式可以看出 G(z)的极点 pi不会影响 D(z)e(z)成为 z-1的有限多项式 ， 而 G(z)的零点 zj有可能使 D(z)e(z)成为 z-1的无限多项式 。 因此 ， 最少拍无波纹系统的设计 ， 要求 (z)的零点包含 G(z)的 全部零点 。 而最少拍有波纹设计时 ， 只要求 (z)的零点包含 G(z) 的单位圆上和单位圆外的零点 。 )( )( )( 1)( Z Z ZGZD e 太原理工大学自动化 YGW 达林（ Dahlin） 算法 目的 ：解决具有纯滞后系统的控制问题 目标 ：是使整个闭环系统的期望传递函数 (S)， 相当于一个延迟环 节和一个惯性环节相串联， 纯滞后环节的滞后时间与被控对象的纯 滞后时间相同，这样可保证控制系统不产生超调和稳定性 S C eST KSG 1)( 1 设被控对象 GC(S)为带有纯滞后的一阶惯性环节 对象纯滞后时间， 为了简化，设其为采 样周期的整数倍，即 =NT Se STS 1 1)( 期望的闭环系统传递函数 (S) T 闭环系统时间， 常数 太原理工大学自动化 YGW 采用近似方法对系统 (S)离散化得到 闭环脉冲传函 (Z) ： 1 11 1 1 1 1 1 )( )( )( N T T T T N T SS SS Z Ze e ST e S e Z ST e S e Z ZR ZY Z 11 1 )1(1 )1( )( 1 NT T T T T T N ZeZe eZ ZG )(1 )( )( 1)( Z Z ZGZD 由闭环脉冲传函 (Z)得到 数字控制器 D(Z)： 达林算法求得 的数字调节器 D(Z)， 它与被 控对象有关 太原理工大学自动化 YGW 对象为一阶惯性环节时 S C eST KSG 1)( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( Ze e KZ e ST K S e ZZG T T T T N S S 若被控对象 进行 z变换 代入上式得 )1(1)1( )1)(1( )1(1 )1( )( 1 )( 11 1 11 1 1 1 NT T T T T T T T T T NT T T T T T N ZeZeeK eZe ZeZe eZ ZG ZD 太原理工大学自动化 YGW 对象为二阶惯性环节时 S C eSTST KSG )1)(1()( 21 被控对象 )1)(1( )( )1)(1( )1()( 11 11 21 21 1 21 ZeZe ZZCCK e STST Ke ZZZG T T T T N S S )(11 21 21 12 1 T T T T eTeTTTC )(1 1221 21 12 )11( 2 T T T T TTT eTeT TTeC )1(1)( )1)(1)(1()( 111 21 11 21 NT T T T T T T TTT ZeZeZCCK ZeZeeZD 进行 z变换 太原理工大学自动化 YGW 振铃现象及其消除 所谓振铃现象是指数字控制器的输出以 1/2的采样频率大幅度衰 减的振荡。而被控对象中的惯性环节的低通滤波特性。使得这种 振荡对系统的输出几乎无任何影响。但振铃现象却会增加执行机 构的磨损，还有可能影响到系统的稳定性。 振铃现象的分析 D(z )+ - E(z) y(t ) G H (s) G c (s) 系统输出 Y(Z)和控制器输出 U(Z)之间有下列关系 Y(Z)=G(Z)U(Z) 系统输出 Y(Z)和输入函数 R(Z)之间有下列关系 Y(Z)=(Z)R(Z) 由上两式得数字控制器的输出 U(Z)与输入 R(Z)之间的关系 太原理工大学自动化 YGW )( )()( )( )( ZG ZZ ZR ZU U )()()( ZRZZU U 11 1)( ZZR 对于单位阶跃输入函数 ，含有极点 Z=1 如果 U(Z)的极点在 Z平面的负实轴上，且与 Z=1点相接近，即 数字控制器的输出 U(Z)与输入 R(Z)之间的关系 u(z)表达了数字控制器输出与 输入函数在闭环时的关系，是 分析振铃现象的基础 )(1 )()( 1 极端 ZZAZU 那么数字控制器的输出序列 U(k)中含有两种幅值的瞬态项，且相邻两 项变化，幅度较大，即数字控制器的输出序列大幅度波动 太原理工大学自动化 YGW 太原理工大学自动化 YGW 例 11 1)( ZZU 11 1)( ZZR 6421)( ZZZZU 15.01 1)( ZZU 321 625.075.05.01)( ZZZZU 15.01 1)( ZZU 321 85.175.05.11)( ZZZZU )2.01)(5.01( 1)( 12 ZZZU 4321 848.0803.089.07.01)( ZZZZZU )2.01)(5.01( 5.01)( 12 1 ZZ ZZU 4321 46.037.05.02.01)( ZZZZZU 从上例可看出，振铃现象产生的根源在于 U(Z)中 Z=1附近的 极点所致。极点在 Z=1时振荡最严重。离 Z=1越远，振铃现象 就越弱。 若在单位圆内右半平面有零点时，会加剧振铃现象，而在左 半平面有极点时，则会减弱振铃现象。 若只有右半平面极点时就不存在振铃现象，对于 U(Z)在 Z平 面上极点的分析，就可得出振铃现象的情况 太原理工大学自动化 YGW 振铃幅度 RA )(11)( 2 2 1 1 2 2 1 1 ZQKZ ZbZb ZaZaKZZD NN 1111 )1(1 abbaRA 振铃幅度 RA 是用来衡量振铃现象程度的量，它的定义是： 控制器在单位阶跃输入作用下，第零次输出同度与第一次输出幅度之差值 数字控制器 D(Z)的一般形式为 1 11 2 12 1 1 2 2 1 1 12 2 1 1 2 2 1 1 )1(1 )()1(1 1 1 1 1 1 )()()( Zba ZabZb ZaZa ZZbZb ZaZa ZRZQZU 数字调节器输出幅度的变化取决于 Q(Z)。 KZ-N 因子只是将输出延迟一段 时间，对 RA无影响。在单位阶跃信号作用下，数字控制器输出 U(Z)： 振铃幅度 太原理工大学自动化 YGW 数字控制器的实现 n i i i m j j j n n m m Za Zb ZaZaZa ZbZbb ZE ZU ZD 1 0 2 2 1 1 1 10 1 1)( )( )( 太原理工大学自动化 YGW 直接设计法 Z -1 a 1 + -b 1 a 0 + Z -1 a 2 + -b 2 Z -1 a n + -b n x 1 x 2 x n E(z ) U( z ) 由式（ 1）可画出调节器的直接实现形式 由（ 2）式，可以很方便地应用软件程序 来实现，每计算一次 U(k)要进行 (m+n)次 加法运算 m+1+n次乘法运算和 m+n次数据 传递 U(k) U(k-1)、 E(k) E(k-1) 对上式进行 Z反变换，得差分方程 )()()( 10 ZUZaZEZbZU n i i i m j j j （ 1） )()()( 10 ikUajkEbkU n i i m j j （ 2） Zf(t-kT)=z-kF(z) F(z)=C 0+C1z-1 +C2z-2 +C3z-3 F(t)=C0(0) + C1(t-T) + C2(t-2T) + C3(t-3T) 太原理工大学自动化 YGW 串行程序设计 nm )()( )()()( )()( 21 21 n mpZpZpZ ZZZZZZKZE ZUZD 串行设计也称迭代设计法，如果 D(Z)的零点、极点都能方便地求出 1 1 1 11 )( )()( pZ ZZ ZE ZUZD 2 2 1 22 )( )()( pZ ZZZU ZUZD m m m mm pZ ZZZU ZUZD )( )()( 1 1 11 1)( )()( mm mm pZZU ZUZD nn n pZ K ZU ZUZD )( )()( 1 D(Z)=D1(Z)D2(Z)D n(Z) D 1 (Z) D 2 (Z) D N (Z) E (Z) U 1 (Z) U 2 (Z) U (Z) 太原理工大学自动化 YGW )1()1()()( 1111 kUpkEZkEkU )1()1()()( 221212 kUpkUZkUkU )1()1()()( 11 kUpkUZkUkU mmmmmm )1()1()( 111 kUpkUkU mmmm )1()1()( 1 kUpkKUkU nn Z反变换得环节的差分方程 太原理工大学自动化 YGW 并行程序设计 1 1 12 12 11 11 111)( )()( Zp Zk Zp Zk Zp Zk ZE ZUZD n n 11 111 1 1)( )()( Zp Zk ZE ZUZD 12 122 2 1)( )()( Zp Zk ZE ZUZD 1 1 1)( )()( Zp Zk ZE ZUZD n nnn )1()1()( 1111 kUpkEkkU )1()1()( 2222 kUpkEkkU )1()1()( kUpkEkkU nnnn )()()()( 21 kUkUkUkU n 若 D(Z)的分母能方便地分解为因式连乘时， D(Z)可分解成部分分式 D(Z)=D1(Z)+D2(Z)+D n(Z) D 1 (z) D 2 (z) D 2 (z) U (k) U(z) E( k) E( z) U n (z) U 2 (z) U 1 (z)