数字信号处理信号的频率分析.ppt

第 4章 信号的频域分析 傅里叶变换和傅里叶级数是 LTI系统分析与设计中非常 有用的工具 。 信号的频域表示 : 用正弦信号 （ 或复指数信号 ） 作为 分量来分解 (或表示 )信号 。 对周期信号 ， 这种分解称为傅里叶级数 。 对有限能量信号 ， 这种分解称为傅里叶变换 。 LTI系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合 时 ， 输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合 ， 差 别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同 。 LTI系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的 。 第 4章 信号和系统的频率分析 4.1 连续时间信号的频率分析 4.2 离散时间信号的频率分析 4.3 频域和时域的信号特性 4.4 离散时间信号傅里叶变换的性质 4.5 小结和参考文献 4.1 连续时间信号的频率分析 利用玻璃棱镜 (a)分析和 (b)综合白光 (太阳光 ).1672年 牛 顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光 仪产生连续色带。 Joseph ，在测量太阳和 星体发射的光线时，发现 看到的光线的谱包含不同 的色光。 19世纪中叶发现，每种化学元 素受热辐射出不同的色光。因 此，可以通过化学元素的光谱 来辨识每种化学元素。 频率分析 从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频 率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。 信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。 不同 的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示 . 频率分析的基本目的 : 给出一个分析任意给定信号 的频率分量的数学和图形表示方式。 可以证明 : 实际中大多数有意义的信号能分解为正 弦信号分量和的形式 。 用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频 率或者频谱分析。 在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的 过程称为谱估计。 可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱 分析 (例如，语音、 EEG、 ECG等 )。 用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为 频谱分析仪。 傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代 替了棱镜作用。 主要内容 1 连续时间周期信号的傅里叶级数 2 周期信号的功率谱密度 3 连续时间非周期信号的傅里叶变换 4 非周期信号的能量谱密度 1 连续时间周期信号的傅里叶级数 实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形 波、三角波，当然包括正弦波和复指数。 周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数， 它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线 性加权和。 复指数谐波线性组合 02() k j k F t k x t c e 这是一个周期信号，基本周期为 。 01/pTF 02 0 , 1 , 2 , j k F tek 基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可 由它构造出不同类型的周期信号。 系数 的确定 : 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) pp p p t T t T j lF t j lF t j k F t k tt k tT j F k l t k t k j F k l t tT j F k l t t j k F t k k j F k l x t e d t e c e d t c e d t e e d t x t c e 0 0 0 0 0 0 0 , , p p p tT t tT tT p t t kl d t t T k l kc 0 0 0 0 0 0 0 22 2 1 ( ) 1 () ( ) p p p tT j lF t l tT j lF t l t p j lF t p l T p t cx c x t e d t T x t e d c tt e T T dt 1 连续时间周期信号的傅里叶级数 综合方程 分析方程 如果信号是周期的且满足 Dirichlet条件，则它一定 可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析 方程确定。 Dirichlet 信号 在一个周期内不连续点的个数有限 。 信号 在一个周期内最小点和最大点的个数有限 。 信号 在一个周期内绝对可积 ， 即 实际中 ， 感兴趣的所有周期信号都满足这些条件 。 02() j k F t k k x t c e 021 () p j k F t k T p c x t e d tT () pT x t d t ()xt ()xt ()xt 周期信号为实数 另一种形式展开式 实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式 。 00 1 ( ) 2 c os( 2 ) kk kk jj k k k k kk k cc c c e c c e x t c c k F t 和 是复共轭 0 0 0 1 0 0 0 00 c o s( 2 ) c o s 2 c o s sin 2 sin 2 c o s ( ) ( c o s 2 sin 2 ) 2 sin k k k kk kk k k k k k x t a a k F t b k F t k F t k F t k F t a c a c b c 2 周期信号的功率谱密度 平均功率 功率信号的 Parseval关系 21 () x p pT P x t d tT 0 0 00 * 22 * 2 2* * 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 11 () 1 ( ) 1 1 ( ) ) ( p p x p k p pp p k p j k F t j k F t kk kk p p T j k F t k T k k kk j k F t T x T k x t x t T T x t c e x t c e P x t dt dt T x t c e T c dt T dt x t e c P x t dt c T 物理含义 显然， 代表了信号第 个谐波分量的功率。因 此，周期信号总的平均功率是所有谐波平均功率 的和。 连续周期信号的功率谱密度图 0 22() j k F tk x kx t c e P c 2kc k 连续周期信号的功率谱密度图 : , k k j k k k k kk c c e c c c 是 复 数 复 度 谱 相 位 谱 22 * 2 2 2 2 2 00 11 1 2 2 kkkk x k k k kk cc c c P c c a a b 实周期信号 幅度谱是偶函数， 相位谱是奇函数。 例 给出矩形脉冲序列的傅里叶级数和功率谱密度。 解 :基本周期 : pT /2 0 /2 /2 /2 1 () 1 p p p p T T p T T pp x t d t T A Ad t TT c 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 002 0 0 1 , 1 , 2 , 2 sin 2 sin / j k F t k p j k F t j k F j k F P p p c A e dt T A e A e e A k T j k F k F T j T kF kF kF 当 时，固定脉冲宽度 ，而改变周期 pT pT 2 2 22 0 0 ,0 sin 1 , 2 , P k P A k T c kFA k T k F 矩形脉冲串信号 的功率谱密度 3 连续时间非周期信号的傅里叶变换 分析方程 (正变换 ) 综合方程 (逆变换 ) 傅里叶级数和傅里叶变换的 本质区别 在于后者的谱是 连续的，因此，在从非周期信号的频谱合成非周期信 号的过程中，用积分运算代替了求和运算。 傅里叶变换对可以用角频率变量 表示 2( ) ( ) j F tX F x t e d t 2( ) ( ) j F tx t X F e d F 2 F 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) jt jt x t x e d X x t e dt 4 非周期信号的能量谱密度 设信号 是具有傅里叶变换 的能量有限信号。 能量定义 : Parseval定理 : 它是信号能量在时域和频域之间的守恒定理 。 能量密度谱 : 谱一般是复值的 ， 极坐标表示为 : 是被积函数 ， 代表了信号能量随着频率变化的分布情况 , 被称为信号 的能量密度谱 。 实信号的能量谱密度是偶对称的 。 ()xt ()XF * * 2 2*2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () j F tx j F t E x t x t d t x t d t X F e d F X F d F x t e d t X F d F x t d t 22( ) ( ) xE x t d t X F d F ()( ) ( ) jFX F X F e 2( ) ( )xxS F X F ()xt 例 4.1.2 确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能量 谱密度。 解 : 信号是非周期的并且满足 Dirichlet条件，因此它的傅 里叶变换存在。应用式（ 4.1.30），得到 , / 2() 0 , / 2 Atxt t /2 /2 sin() j F t FX F A e dt A F 矩形脉冲信号的谱是按 周期 性地重复脉冲所得周期信号的 谱线 (傅里叶系数 )的包络， pT 0 11 0 () ( ) / ( ) P p p pk p k k T T T x t c X F k F k T c X k F X 的 就是 在 处的取样： 时域和频域之间的不确定性原理 : 当信号在时域 扩展 (压缩 )时，则在频域压缩 (扩展 )。 4.2 离散时间信号的频率分析 1 离散时间周期信号的傅里叶级数 2 周期信号的功率谱密度 3 离散时间非周期信号的傅里叶变换 4 傅里叶变换的收敛性 5 非周期信号的能量谱密度 6 傅里叶变换与 z变换之间的关系 7 倒谱 8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换 9 取样定理的回顾 10 信号的频域分类： 带宽的概念 11 一些自然信号的频率范围 12 物理和数学上的二重性 1 离散时间周期信号的傅里叶级数 周期序列 的周期为 ，对所有的 ，有 它的傅里叶级数表示包含 个指数谐波函数 综合方程 : 分析方程 : 综合方程通常被称为 离散时间傅里叶级数 (DTFS),傅里叶 系数 给出了信号的频域分析。 ()xn ( ) ( )x n x n Nn 1 2/ 0 () N j k n N k k x n c e 1 2/1 0 () N j k n N k N n c x n e kc N N 2 2 1 0 0 , 1 , , 1 ( ) ( 1 ) j k n N j k n N N k k k e k N x n c e c 并且可表示为： 其中 是级数表达式中的系数。 傅里叶系数的表示式 : 2 11 1 00 1 2 n/ 1 1 1 2 n 2 ( ) 0 0 0 1 2 ( ) 0 ,1 , 0 , , 2 , ,1 0, , 0 1 : ( ) , 0 , , 2 , () 0, j k n N N NN k a kn a j l N N N N j l N j k l n N k n n k N j k l n N n Na N k N N ae a e n n N x n e c e N k l N N x n e 其他 在(1)式的两边乘以 从 到 求和 其 1 2 l n/ 0 1 ( ) 0 , 1 , , 1 N jN l n N c x n e l N 他 信号或者它的谱的任意 个连续的取样提 供了信号在时域或者频域的完整描述。 2/ 1 2 ( ) / 0 1 2/ 0 ( ) , 2 / ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) , k j k n N kk kk N j k N n N kN n N j k n N k n k jn N s n e e k N s n s n N c x n e N x n e c N c N 因此 是 周期为 的周期信号 基本周期为 的一个 周期序列 N 2/51 6 0 ( ) 0 , 1 , , 5 j k n Nk n x n kce 例 4.2.1 确定下列信号 ( ) ( ) c o s 2 ( b ) ( ) c o s / 3 ( ) ( ) 4 , ( ) 1 , 1 , 0 , 0 a x n n x n n c x n N x n 是周期 的周期信号并且 00 2 1 / 2 , ff 解 ： （ a ） 由 ， 得 到 因 不 是 有 理 数 ， 所以 ,信号是非周期的。因此，不能用傅立叶级数展开。 但是，它确实有频谱。他的频谱仅仅包含 0 2 2 / 2 /2 11 6 2 2 2 / 2 ( 5 ) / 11 0 2 3 4 1 522 2 ( 5 6 ) / ( ) c o s 0 , , j n N j n Nn j n N j n N j n N xn ee e e e c c c c c c (c) 3 2 / 4 n= 0 0 1 2 3 /2 1 1 1 2 4 4 11 44 ( ) 0, 1 , 2, 3, , ( 1 ), 0 , ( 1 ) = ( 1 )j k n jkk x n kce c c j c c j e 01 23 01 2 3 21 24 2 4 4 4 , , 0 , 0 , cc cc cc c c 未定义 (b)和 (c)中所讨论的周期信号的谱 2 周期信号的功率谱密度 周期为 的离散时间周期信号的平均功率 : 离散时间周期信号的 Parseval关系 信号的平均功率是单个频率分量的功率之和。 序列 是功率作为频率的函数 的分布 ,被称为周期信号的 功率谱密度 。 单个周期上的能量 N 1 2 0 1 () N x n NP x n 1 1 1 * * 2 / 0 0 0 1 1 1 1 22* 2 / 0 0 0 0 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ( ) ( ) N N N j k n N xk n n n N N N N j k n N kk k n k n P x n x n x n c e NN c x n e c x n NN 2 ( 0 , 1 , , 1 )kc k N 1122 00 () NN Nk nk E x n N c 例 4.2.2 确定周期方波信号的傅里叶级数的系 数和功率谱密度。 解 : 2/ 2/ 11 2 / 2 /11 00 1 2/ 0 2 / / / / 2 / / / / 1 1 1 1 / ( ) , 0 , 1 , , 1 ,0 ( ) , 1 , 2 , , 1 j k L N j k N NL j k n N j k n N k NN nn L j k N nA N n j k L N j k L N j k L N j k L N j k N j k N j k N j k N eA N e e e e e e e e e A L N c x n e A e k N k e kN e 2 ( 1 ) / 2 2 2 ( 1 ) / sin( / ) sin( / ) / 0 , , 2 , ( / ) sin( / ) / sin( / ) / 0 , , 2 , / , , , si n( / ) / si n( / ) , k j k L N k j k L N k L N kN A L N k N N A N k L N k N A L N k N N AN c e c k L N k N 其他 其他 3 离散时间非周期信号的傅里叶变换 综合方程 (逆变换 ) 分析方程 (正变换 ) 离散时间有限能量信号的傅里叶变换和有限能 量模拟信号的傅里叶变换之间 两个基本区别 #连续时间信号的傅里叶变换的频率范围是 。离 散时间信号的频率范围在 或 上确定。 #离散时间信号的傅里叶变换涉及到求和项 ,而不是连 续时间信号情形中的积分。 2 12( ) ( ) jnx n X e d ( ) ( ) jn n X x n e ( , ) ( , ) (0, 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) j k n n j n j k n j n nn X k x n e x n e e x n e X 4 傅里叶变换的收敛性 如果信号 绝对可和， 肯定一致收敛。 放松一致收敛的条件 ,定义有限能量序列的傅里叶变 换，强加均方收敛的条件 ,这样，存在傅里叶变换的 信号中就可以包括有限能量的信号。 ()xn ( ) X ( ) ( ) ( ) l i m sup ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )() N jn N nN N N jn nnn N X x n e X XX Xxxn n e x n 假定当 时， 一致收敛到 ， 即，对于每一个 ，都有： 。 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( ) 0 0 0 NN xN N n X X X X E x n X X d 从而保证误差 的能量接近于 ，但 没有必要趋于 。 一个有限能量信号的例题 1 2 sin 1 2 1 2 sin () () ( ) , 0 0 , ( 0) ,0 ( ) ,0 0 ( ) c c c c j n j n c c c c cc c n n n n X X x n e d e d n n x d n xn n n x n 的逆变换可得： 如果 因此，可得： (2 ) 有时候，在当 时， / 的条件下，(2 )中 的系列可表示为： ( ) si n / ( sin ) / ( 0) c c x n n n n n n x (3) 不是一个连续信号，L H o s p i t a l 准则不适用于确定 强调： 。 ( ) 2 1, ( ) 1 0, c c X X 例： 是一个以 为周期的周期信号，它的一个周期为： （） (1)式和 (2)式的变换对 如何确定序列 的傅里叶变换 sin sin () ( ) ( 4) ( ) / ( 2 ) ( ) () j n j n nn xc N jn N nN c c n n n n xn x n e e x n E X Xe 序列 不是绝对可和的。于是，对所有的 ， 不是一致收敛的。然而， 的 且为 。 所以，在均方意义下，(4 )中的求和一定收敛到式 中的 。 有限项的和： 能量有限 考虑 s i n( ) c nnx n n 的示意图在 处有一个明显的震荡尖峰，而且它 与 的值无关。随着 增加，震荡变得更快，但波纹的大小 相同。当 ，震荡收敛到不连续点 处，但它们的 幅度不会趋近于 0。然而， 在均方意义上收敛于 。 ( ) NX c N N N c ()X ()NX ( ) ( ) ( )NX X X 在 不连续点处， 逼近函数 Gi的震 bb荡性被称为 s 现象。 连续时间 周期信号 的傅里叶 级数被截 断时，就 可以看到 类似的效 果。 5 非周期信号的能量谱密度 离散时间信号的能量定义 用谱特征 来表示能量 具有有限能量的离散时间非周期信号的 Parseval关系。 的能量谱密度 假定 是实数 2() x n E x n ()X xE * 2 22 * 1 2 1 2 11 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ) ( ) ( jn nn jn n n x xE x n x n x n X e d Xx E x n n e d X d Xd ( )xxS ()xn 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j x x x x x xX X e S X S S ， ( )xn * ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )X X X X X X ）， 例 4.2.4 确定序列的傅里叶变换和能量谱密度。 1 0 2 0 ( / 2 ) ( 1 ) 2 1 1 sin( / 2 ) sin( / 2 ) sin( / 2 ) sin( / 2 ) sin( / 2 ) sin ( 1 ) ( ) ( ) ,0 ( ) , ( ) jL j L nn x jn n jL e e L L L L x n A L A E A L X Ae A Ae AL X A XA 解： 其他 ( / 2 ) , 0 1() 0 , A n Lxn 其他 15AL和 常数幅度脉冲和周期方波的傅里叶变换之间的关系 ( 1) / 2 1 2/1 sin ( / ) 0 sin ( / ) ( / 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) sin ( / ) sin ( / ) sin ( / 2 ) sin ( / 2 ) / 0 , , 2 , ( ) ( 1 ) , () 2 0 , 1 , , 1 ( ) 2 ( ) j k L N N N j k n N k L Nk N A n N k N jL k j k L N k L Nk L A L N k N N c x n e e X A e k k N X N X k A e N 其他 在 处， ，计算 可得 12 2 ( ) 0 , 1 , ( 2) ,1 k X k Nc k N N 比较式（ ）和式（ ），可得： 6 傅里叶变换与 z 变换之间的关系 21( ) ( ) : n n X z x n z RO C r z r jz re ( ) | ( )j n j n nz re X z x n r e ( ) | ( ) ( )j jn nz re X z X x n e ( ) ( 1)n n x n r s i n( ) c nnx n n 1,() 0, c c X 7 倒谱 假定 是一个稳定序列，它的 变换为 ，定义 . 在语音信号处理中， (实 )倒谱已用于从语音信号音调频 率中分离以及估计语音信号的成份。 实际中，复倒谱可以分离卷积后的信号。分离两个卷积 信号的过程称为反卷积，用复倒谱实现这个过程的方法 称为同态反卷积。 ()xn ()Xz ( ) l n ( )xC z X z z 倒谱 (B) 在该收敛域内， 可以用 Laurent 级数表示为 如果 可以表示为幂级数 ,则 是稳定的。 )(zCx 11 2( ) l n ( ) ( ) ( ) l n ( ) nn x x x C n j C z X z c n z c n X z z dz ，其中 )(zCx )(nc x () ( ) l n ( ) ( ) ( ) l n ( ) 1 ( ) l n ( ) 2 ( ) ( ) l n ( ) l n ( ) ( ) 1 ( ) l n ( ) ( ) 2 11 ( ) l n ( ) ( ) 22 jn xx n x jn x j jn x j n j m C X c n e c n X c n X e d X X e X X j c n X j e d c n X e d c e 其中 是从 的逆傅里叶变换 n d 8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换 如果单位圆在 的收敛域内，则序列 的傅里叶变 换可以通过计算它的 变换在单位圆上的值得到。否则， 傅里叶变换不存在。 有些非周期序列，既不是绝对可和，又不是平方可和， 因而它们的傅里叶变换不存在。 延伸傅里叶变换的表示很有用。通过允许信号谱中出 现冲激，就可以将傅里叶变换延伸到那些既不能绝对 可和也不能平方可和的序列。 ()Xz ()xn z 9 取样定理的回顾 . 如果模拟信号的谱能够从离散时间信号的谱中完全恢复， 那么就没有损失信息。 通过寻找模拟信号的谱和离散时间信号的谱之间的关系来 研究取样过程。 如果 是非周期且能量有限的信号 从 取样得到离散时间信号 ( ) ( ) ax n x n T n )(txa 22( ) ( ) ( ) ( )j F t j F ta a a aX F x t e d t x t X F e d F )(txa )(nx 2 12 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 2 j n j fn nn j n j fn X x n e X f x n e x n X e d X f e d f 或 周期性取样在离散时间信号的频率变量 和模拟信号的频 率变量 之间建立联系： 2 2 / 2 / 2 ( 1 2 ) 2 / 2 / ( 1 2 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 2/ ( 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () s ss s s s ss s s s s F j nF F j nF F F aF F kF j nF F j nF F aa kF k s s a s s as k j nF F a kF F X e dF X F e dF X F e dF X F e dF k F k F X F F F X F k F X F e dF 在频率 ， 内 的 与在频率( , )内 的 一致，故有： 1 2 ) 2 2/ 2 2 2/ 2 2 ( ) 2 () ( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ss s s s s s s s s s s a s FF j nF F as F k s a s k F jn a F k FF k k s j n F k F F j n F F X F k F e dF X F k F e dF X F F F X F k F X f F X f k F ee f sF / sf F F 例如，假定一个带限模拟信号的谱如图 (a)所示。 当 时，谱为 0。如果 ，则离散时间信 号的谱 将如图 (b)所示，清晰可见。 1 / 2 , ( ) /2 . s s f F FF 此时 没有混叠 离散时间信号的 谱等于 比例因子 内 在基本频率 范围 或 内的模拟 信号的谱 2sFBBF )/( sFFX 2 , ( ) ( ) 2s s a ssFFF B X F X F F F 如果 则 2sFB 2sFB 离散时间信 号的谱包含 了模拟信号 谱的混叠频 率分量，最 终使得无法 从取样中恢 复出原始信 号。 当不存在混叠时 1 ( ) , 2() 0 , 2 ss s a s F FFX F FXF FF 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s j F n F x F j F t a a s F s F FX f X x n e x t X F e d F 22 222 2 2 ( ) 2 sin( / ) ( ) ( / ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) () ( ) ss s s s s FF j F n Fj F t j F t a a s k F j F t n F F n a n s s T t nT T t nT F F x t X F e dF x n e e dF xn xe dF nT ( ) ( ) , 1 / 1 / 2 ( 2 )a s sx n x n T T F B F B 其中 假定 i n ( / ) s i n 2() ( / ) 2 s T t Btgt T t B t 用取样信号重构原始模拟信号的内插公式 内插函数 利用理想内插公式重构连续时间信号 (1 )axT (2 )axT (4 )axT ( ) ( )aat k T x t x k T在 计算 得到的就是取样值 在所有其他时刻，可以通过内插函数的时移形式 的加权求和准确得到 。 () axt 取样定理 最高频率 (带宽 )为 的连续时间带限信号 ， 当 取样率 时 ， 可以从它的取样信号惟 一恢复出原始信号 。 根据取样定理和重构公式 , 从取样恢复模拟信号 需要无限个取样 。 仅关心从有限个取样恢复有限时宽的信号 。 如果取样率太低 ， 则出现混叠 ， 该效果可以用模 拟信号的频率变量在频率轴上多重折叠来描述 。 BHz 2ssF F B满足 时域和频域函 数之间的关系 假定模拟信号是 带限的并且对其 进行取样的取样 率等于或者高于 Nyquist率。 实际中，在取样 之前都要做抗混 叠预滤波 由混叠所引起的失真可通过 提高取样率来有效地减轻 10 信号的频域分类：带宽的概念 低频信号 : 信号的功率 (或能 量 )谱密度集中在零频率附近。 高频信号 :如果信号功率 (能 量 )谱密度集中在高频。 中频信号 (或带通信号 ):信号 的功率（能量）谱密度集中 在低频和高频之间很宽的范 围内的某处。 功率或能量集中分布的频率范围的定量表示被称为信 号的 带宽 。 例如 ， 假定一个连续时间信号的功率 (或能 量谱密度 )的 集中在频率范围 ， 那么这个 信号的 的带宽就是 。 对于带通信号 ， 如果信号的带宽与中频相比很小 ， 则 信号就被称为 窄带信号 。 反之 ， 是 宽带信号 。 如果一个信号的谱在 的频率范围之外都为 0， 那 么它是 带限信号 。 . 没有一个信号既是时限的 ， 同时又是带限的 。 进而 ， 一个信号的时宽和频宽之间存在互为互易的关系 。 95% 12F F F 95% 21FF FB 0 : ( ) 0 : ( ) 0 2 ( ) : ( ) 0 : ( ) 0 ( ) p p p x t t x t t T T x n n N x n n n N N 为基周期性时限信号 周期性时限信 本周 时限信号 期 为基号 时 信号 本周期 限 11 一些自然信号的频率范围 一般地，为了从观测信号提取信息，要对信号作频率 分析。 为了测量参数或者提取其他类型的信息，在信号处理 时，我们必须大致知道获取信号的频率范围。 12 已经介绍过的频率分析工具有： 时域的两种特征 (时间变量是连续还是离散以及 信号是周期还是非周期 )决定了信号频谱的类型 连续信号具有非周期谱 离散时间信号具有周期谱 周期信号具有离散谱 能量有限的非周期信号具有连续谱 在一个域的具有周期为 的周期性自然地意味着在另一 个域中具有间隔为 的离散性，反之亦然。 . . a 1/a 4.3 离散时间信号傅里叶变换的性质 1 傅里叶变换的对称性 2 傅里叶变换定理和性质 1 傅里叶变换的对称性 变换 (分析式 )和逆变换 (综合式 ) 对称性分析可以简化傅里叶变换和傅里叶逆变换公式 . 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jn n jn X F x n x n e x n F X X e d ( ) ( )Fx n X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RI RI x n x n jx n X X jX c o s s i njej 2 2 ( ) ( ) c os ( ) si n ( ) ( ) si n ( ) c os 1 ( ) ( ) c os ( ) si n 2 1 ( ) ( ) si n ( ) c os 2 R R I x I R I x R R I I R I X x n n x n n X x n n x n n x n X n X n d x n X n X n d 实信号 ( ) ( ) c o s ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) s in R nR I I n X x n n x n x n xn xn X x n n 如果 是实信号 ( ) ( )c o s ( ) c o ss in ( ) s i ( ) ( ) ( n ( ) ( ) ) )( RR RI II XX XXnn n n X X jX X 谱具有 Hermitian对称 性。 22 1 ( ) ( ) ( ) () ( ) t a n () RI I R X X X X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XX 偶 奇 01( ) ( ) c o s ( ) s i nRIx n X n X n d 实偶信号 实奇信号 0 1 1 ( ) ( ) c os ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) si n ( ) ( ) ( ) () c os ( ) ( ) si n ( ) ( ) ( 0) 2 ( ) c os ( () ( ) c os 0 ( ) R R nR I I n R n I X x n n x n x n xn X x n n x n x n x n n x n x n Xx X n nd x n n X xn 偶奇 偶) 如果 是实偶信号 实偶信号的谱是实偶函数 0 ( ) 0 ( ) 2 ( ) s in 1( ) ( ) s in RI n I X X x n n x n X n d 实奇信号的谱是纯 虚值的，而且是频 率变量的奇函数。 纯虚信号 0 ( ) ( ) sin ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) c o s 1 ( ) ( ) sin ( ) c o s RI nR I II n I R I X x n n xn x n jx n X x n n x n X n X n d （奇） （偶） 1 1 0 ( ) 2 ( ) sin ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) sin ( ) ( ) RI n I II R X x n n X x n X n d x n x n 奇 如果 1 0 ( ) 0 ( ) ( 0) 2 ( ) c os 1 ( ) ( ) c os ( ) ( ) R I I I I n II I X X x x n n x n X n d x n x n 如果 *1 2 *1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ee e R I oo o R I x n x n j x n x n x n x n x n j x n x n x n 定义 ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RI e o e o R R I I eo xn x n x n jx n x n x n j x n x n x n x n 则任一复值信号 可分解为 ( ) ( ) ( ) ( )e e o ox n x n x n x n 傅里叶变换对称性总结 2 2 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 c os c os 1 2 c os () 1 c os ( ) 1 2 c os si n ( ) 1 2 c os R I j jj ae ae ae a j a aa X a X aa a X aa 解: 1( ) 1 1 1 ( ) , ( ) , ( ) ( ) j R I I Xa ae X X X X 例4 . 3 . 1 的和 22 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 cos () ( ) t an () sin t a n 1 cos RI I R X X X aa X X X a a 2 傅里叶变换定理和性质 线性性 时移性 时域反转 卷积定理 相关定理 Wiener-Khintchine定理 频移性 调制定理 Parseval定理 两个序列的乘积 (加窗定理 ) 周期卷积 频域微分 线性性 傅里叶变换是对信号的一种运算，它是一个线 性变换 . 若 则有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )Fa x n a x n a X a X 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )FFx n X x n X 时移性 若 则有 ( ) ( )F jkx n k e X ( ) ( )Fx n X 时域反转 若 则有 ( ) ( )Fx n X ( ) ( )Fx n X 卷积定理 若 则有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Fx n x n x n X X X 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )FFx n X x n X 例 4.3.2 确定信号的傅里叶变换。 1 ( ) ( ) ( ) si n( 1 / 2) ( ) ( ) ( 1 c os ) si n( 2) () si n( 1 / 2) ( ) si n( 2) 0 , ( ) 0 () , ( ) 0 M R n x n x n x n M X X A n A X M XA X X X 解：因 ，所以， 是实偶信号，可得： 因 是实函数，所以，幅度谱和相位谱分别为： 当时 当时 ,() 0, A M n Mxn 其他 124 .3 .4 ( ) ( ) 1 , 1 , 1 x n x n 例 求 的卷积1 12 2 1 22 ( ) ( 0 ) 2 ( ) c o s ( ) 0 ( ) ( ) 1 2 c o s ( ) ( ) ( ) ( 1 2 c o s ) 3 4 c os 2 c os 2 3 2( ) ( ) RI n j j j j X x x n n X XX X X X e e e e 解 12( ) ( ) * ( ) 1 , 2, 3 , 2, 1 x n x n x n 卷积性质的图形解释 相关定理 若 则有 1 2 1 2 12 12 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( kn jn n jn nk jn kn k n j x k x j xx Sr x k n e ne x k x k n e x k x k n xe x e X k 12 ) k jk ke XX 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )FFx n X x n X 1 2 1 2 12( ) ( ) ( ) ( ) Fx x x xr n S X X 证明 21 12( ) ( ) ( )kxxr n x k x k n 12()xxS 称为信号 x1(n)和 x2(n)的互能量密度谱。 Wiener-Khintchine定理 能量信号的能量谱密度就是该信号的自相关序 列的傅里叶变换 假定 是实信号，那么有 ()xn ( ) ( )Fx x x xr l S 频移性 若 则有 ( ) ( )Fx n X 0 0( ) ( )jn Fe x n X 调制定理 ( ) ( ) , Fx n X 如果有 0 0 012 ( ) c o s ( ) ( )Fx n n X X 则有 1 1 ( ) ( ) c os 2 1 2 2 2 y n x n n Y X X 2 2 ( ) ( ) c o s 1 2 y n x n n Y X X X ()xn Parseval定理 若 则有 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )FFx n X x n X * 12 2 * 12 2 * 12 1 = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) : jn n jn n n x n e X d x n X e d x n x n 右 边 左 边 证 明 22 21 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2nx n x n x n x n X d 22 2 11( ) ( ) ( ) 22x x xnE x n X d S d * 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 2n x n x n X X d 两个序列的乘积（加窗定理） 若 则有 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )FFx n X x n X 和 33 12 12 () 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 : jn n jn n j n j n n jn n X x n e x n x n e X e d x n e X x n e d 证 明 12 1 ( ) ( ) 2 X X d 3 1 2 3 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 Fx n x n x n x X X d 111( ) ( )2 jnx n X e d 周期卷积 两个有相同周期的函数的卷积 ， 称为 周期卷积 。 注意到积分限是在单个周期内 。 对于连续时间信号的卷积 ， 时域和频域之间具 有对偶性 ， 即时域的卷积等于频域的乘积 ， 时 域的乘积等于频域的卷积 。 由于离散时间信号的傅里叶变换具有周期性 ， 关于卷积运算 ， 在时域和频域之间没有像在 连续时间信号情况下完美的对偶性 。 对于离散时间信号 ， 时域卷积等价于傅里 叶变换 （ 连续的 、 周期的 ） 的乘积 。 然而 ， 非周期序列的乘积等价于它们的傅里叶变 换的 周期卷积 。 在基于加窗技术的 FIR滤波器设计中 ， 加窗 定理是非常有用的 。 频域微分 若 则有 ()(