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1 第八章 应力状态分析与强度理论 第一节 应力状态概念 通过点的所有截面在该点处的全部应力情况 点的应力状态： 一、研究点的应力状态的方法 单元体法： 围绕点截取一个无限小的微立方体，称为 单元体 单元体的特征： 1. 无限小，其上各面均通过该点，其上的应力即代表该点的应力 2. 平行面上应力相同 2 主平面的方位，亦即主应力的方向 二、主平面 主应力 主方向 1. 主平面 切应力为零的平面称为主平面 任何单元体总存在三个互相垂直的主平面 说明： 2. 主应力 主平面上的正应力称为主应力 任何单元体总存在三个主应力，按代数值大小，分别记作 说明： 1 2 3 3. 主方向 3 二向应力状态与三向应力状态又统称为复杂应力状态 三、应力状态的分类 1. 单向应力状态 只有一个主应力不为零 2. 二向应力状态 有两个主应力不为零 3. 三向应力状态 三个主应力都不为零 单向应力状态又称为简单应力状态 二向应力状态又称为平面应力状态 4 薄壁圆筒： 1. 横截面上的轴向拉应力 第二节 复杂 应力状态的工程实例 4x pD 薄壁圆筒承受内压 p， 由平衡方程 0,ixF 2 04 xDpD 得横截面上的轴向拉应力 壁厚 内径 D / 20 假设应力沿壁厚均布 D x 研究其上任意一点的应力状态 5 t 20p l D l t 2 pD 2. 纵截面上的周向拉应力 由平衡方程， 0,iyF 得纵截面上的周向拉应力 可见，周向拉应力 t 是轴向拉应力 x 的 2 倍 对于薄壁圆筒， 内表面受到的内压 p 和外表面受到的大气压强 远小于 x 与 t ，故可近似作为二向应力状态处理 6 第三节 二向应力状态分析的解析法 二向应力状态， 又称为平面应力状态 7 一、斜截面上的应力 11 c o s 2 sin 222x y x y x y 1 si n 2 c os 22 x y x y 2）正应力、切应力的正负号规定 说明： 1）斜截面方位角 的定义及 正负号规定 3） yx 90 4） 90 ，即切应力互等定理 8 11 c o s 2 sin 222x y x y x y 1 si n 2 c os 22 x y x y 二、主平面与主应力 主平面 0 2ta n 2 xy xy 00 90 主应力 2 2 22 x y x y xy 0 max 1 min 3 1 2 3 1）必须按其代数值大小记作 2）主应力即为正应力的极值，即 说明： 9 1 si n 2 c os 22 x y x y 三、切应力极大值及其所在平面 切应力极大值所在平面 1ta n 2 2 xy x 结论： 切应力极大值所在平面与主平面相交 45 切应力极大值 2 2 m a x 2 xy xy 切应力最大值 13 m a x 2 10 四、纯剪切应力状态 1. 斜截面上的应力 s in 2 c o s 2 2. 主平面和主应力 主平面： 45 斜截面 主应力： 1 02 3 3. 切应力最大值 max 11 五、单向应力状态 1. 斜截面上的应力 2. 主平面和主应力 主平面： 主应力： 1 02 3 0 3. 最大切应力及其所在平面 c os 222 s in 2 2 00 1 0 02 3 最大切应力所在平面： 45 斜截面 最大切应力： m ax 2 12 例 1 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应 力单位为 MPa） 3 0 M P ax 5 0 M P ay 20 MP axy 30 解： 代入公式，即得 指定斜截面上的正应力和切应力 30 c o s 2 s in 222 x y x y xy 3 0 5 0 3 0 5 0 c o s 6 0 2 0 sin 6 0 5 2 .3 M Pa22 30 s in 2 c o s 22 xy xy 30 50 sin 60 20 c os 60 18 .6 6 M P a2 对于图示单元体，有 30 30 13 例 2 图示 单元体的应力状态，试求主应力并确定主平面的位置。 2 5 M P ax 75 MP ay 40 MP axy 解： 代入公式得 2 2 22 x y x y xy 1 3 9 M P a 2 0 3 8 9 M P a 所以，三个主应力分别为 2 2 3 9 M P a2 5 7 5 2 5 7 5 40 8 9 M P a22 对于图示单元体，有 14 主平面的方位角 与 1 、 3 的对应关系见主应力单元体图 0 21 a r c ta n 2 xy xy 00 90 109.3 2 401 a r c ta n 19.3 2 25 75 x0