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第二章 序列的 Z变换与傅里叶变换 2 本章目录 序列的 Z变换 序列的傅里叶变换 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普拉斯 变换、傅里叶变换的关系 Matlab实现 3 2.1 引言 信号与系统的分析方法 : 时域 分析 变换域 分析 连续时间信号与系统 信号用 时间 t的函数 表示 系统用 微分方程 描述 离散时间信号与系统 信号用 序列 表示 系统用 差分方程 描述 4 时域与频域分析 傅里叶变换 时间域 频率域 (复频域 ) 拉普拉斯 变换 推 广 离散时间傅里叶变换 时间域 频率域 (复频域 ) Z变换 推 广 连续时间信 号与系统 离散时间信 号与系统 5 本章主要内容 序列的 Z变换 Z变换的主要性质 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质 6 2.2 序列的 Z变换 Z变换及其收敛域的 定义 几种序列 的 Z变换及其收敛域 逆 Z变换 Z变换的 性质和定理 利用 Z变换 求解差分方程 7 2.2.1 Z变换及其收敛域的定义 序列的 Z变换定义 双 边 Z变 换 ( ) ( ) ( ) ( 2.1 )n n X z x n x n z 单 边 Z变 换 11 0 ( ) ( ) ( ) ( 2.2)n n X z x n x n z 因果序列 的 Z变换 : 单 边 Z变换可以看成因 果序列情况下的双边 Z变换 8 Z平面与单位圆 变量 z的极坐标形式 Z平面 : Z变换定义 式中 z所在的复平面， z是一个连续复变量，具有实部和虚部 单位圆 : 在 Z平面上 |z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为 j| | ezz jez 9 例 : 求序列的 Z变换 例 2.1 求序列 的 Z变换 。 ( ) ( )nx n a u n 解： 序列 x(n)是因果序列，根据 Z变换的定义 1 00 1 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n n n n n n X z x n z a z a z az az az 分 析收敛性： X(z)是无穷项幂级数。 1 1 0 1( ) ( ) , | | | | 1 n n zX z a z z a az z a X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为 当 |z|a时级数发散，当 |z| |a|时级数收敛。 10 Z变换的收敛域 根据级数理论，式 (2.1)收敛 的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即 收敛域 : 对于给定的任意序列 x(n)，使其 Z 变换 收敛 的所有 z值的集合组成的区域。 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域 | ( ) |n n x n z 收敛半径 Rx-可以小到 0， Rx+可以大到 收敛域以原点为中心， Rx-和 Rx+为半径的环域 11 2.2.2 几种序列的 Z变换及其收敛域 序列 x(n)的性质决定了 X(z)的收敛域， 不同形式的序列其收敛域不同 。 有限长序列： 0|z| + 或 0 |z|+ 右边序列： Rx- |z| + 左边序列： 0 |z| Rx+ 双边序列： Rx- |z| Rx+ 12 有限长序列 有限长序列只在有限区间 n1nn2内具有非零 的有限值，在此区间外序列值都为零 Z变换 2 1 ( ) ( ) n n nn X z x n z 要求：在有限区间内级数的每一项都有界， 则有限项的和有界，级数就收敛。 | ( ) nx n z |+ |nz + |z 0 + x(n)有 界 开域 边界讨论： z= 0及 z= 两点是否也收敛与 n1、 n2取 值情况有关。 13 例：求有限长 序列的 Z变换 例 2.2 求序列 的 Z变换。 讨论： 假设 |a|是有限值，且 |a| 1。 X(z)有一个 z= a的极点，但也有 一个 z= a的零点，将零极点对消。 收敛域为 0 |z|+。 解： 根据 Z变换的定义 111 1 1 00 1 ( )( ) ( ) 1 NNN n n n nn azX z a z a z az ( ) ( )n Nx n a R n 14 右边序列 右边序列只在有限区间 nn1 内具有非零的有 限值，在此区间外序列值都为零 Z变换 1 ( ) ( ) ( 2 .5 )n nn X z x n z 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z1|上绝对收敛 1 1| ( ) | n nn x n z 15 右边序列（因果）的收敛域 假设 ： z是圆外任意一点，即 |z| |z1| 当 n10时，序列为因果序列 11 1( ) | ( ) | | ( ) | nn n n n n X z x n z x n z 显然，级数 X(z) 收敛。 讨论：级数 X(z)中没有正幂项， |z|= +时级数收敛，因此收敛 域包括 点，即为 Rx- |z|+ 16 右边序列（非因果）的收敛域 当 n1 0时，序列为非因果序列 11 1 0 12 ( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) | ( ) ( ) n n n n n n n n X z x n z x n z x n z X z X z 显然，当 z取有限值时，级数 X1(z) 的值有限， 而级数 X2(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收敛域是 以 Rx-为半径的圆的外部区域，即 Rx- |z| + 17 左边序列 左边序列只在有限区间 nn2内具有非零的有限 值，在此区间外序列值都为零 Z变换 2 ( ) ( ) ( 2 . 6 ) n n n X z x n z 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z2|上绝对收敛 2 2| ( ) | n n n x n z 18 左边序列（逆因果）的收敛域 假设 ： z是圆内任意一点，即 |z| |z2| 当 n2 0时，序列为逆因果序列 22 2| ( ) | | ( ) | nn nn nn x n z x n z 显然，级数 X(z) 收敛。 讨论：级数 X(z)中没有负幂项， |z|= 0时级数收敛，因此收敛域 包括 0点，即为 0 |z| Rx+ 19 左边序列（非逆因果）的收敛域 当 n2 0时，序列为非因果序列 22 1 0 12 ( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) | ( ) ( ) nn n n n n n n X z x n z x n z x n z X z X z 显然，当 z取 0外的有限值时，级数 X2(z) 的值 有限，而级数 X1(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收 敛域是以 Rx+为半径的圆的内部区域，即 0 |z| Rx+ 20 例：求左边 序列的 Z变换 例 2.3 求序列 的 Z变换。 解： 讨论： 当 |az| 1，即 |z| 1/|a|时，级 数收敛。 X(z)可用封闭形式表示 X(z)有一个 z= 1/a的极点，但也 有一个 z= 0的零点 。 1 1 22 ( ) ( ) ( 1 ) n n n nn X z a z a z a z a z a z ( ) ( 1 )nx n a u n ( ) , | | 1 / | |1 azX z z aaz 21 双边序列 双边序列指 n从 -到 +都具有非零的有限值， 可看成右边序列和左边序列的和 Z变换 12 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 .7 ) n n nn nn X z x n z X z X z x n z x n z 讨论： X1(z) 收敛域为 0 |z| Rx+； X2(z)收敛域为 Rx- |z| +。双边序列 Z变换的收敛域是公共部分。 如果满足 Rx-r,p,c= residuez(b,a); 输入参数 : b=b0， b1， ， bM为分子多项式的系数 , a=a0， a1， ， aN为分母多项式的系数，这些多项式都按 z的降幂排列 输出参数 : r是极点的留数， p是极点， c是无穷项多项式的系 数项，仅当 MN时存在。 63 例：计算逆 Z变换 例 2.19 计算 的逆 Z变换 。 解 : 有理分式 X(z) 分子和分母 多项式都按 z的降幂排列。 2() 2 3 1 zXz zz 1 2 1 2 0() 2 3 1 2 3 zzXz z z z z b= 0,1; a= 2,-3,1; % 多项式的系数 r,p,c= residuez(b,a); % 求留数、极点和系数项 disp(留数 :);disp(r); % 显示输出参数 disp(极点 :);disp(p); disp(系数项 :);disp(c); 程序运行结果为 留数 : 1 -1 极点 : 1.0000 0.5000 系数项 : X(z)的部分分式形式 为 11 11() 1 1 0.5Xz zz 逆 Z变换 为 ( ) ( ) (0 . 5 ) ( )nx n u n u n 64 2.5.2 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现 DFS式 (2.77)的矩阵形式 1 2 1 2 4 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 ( 0 )( 0 ) 1 ( 1 )( 1 ) 1 ( 2 .9 9 )( 2 )( 2 ) 1 ( 1 )( 1 ) N N N N N N N N N N N N N N N xX W W W xX X W W W W xxX W W W xNXN 由周期序列的 DFS定义， 0nN-1， 0kN-1，有 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 ( 2 .1 0 0 )2 0 2 4 2 ( 1 ) 1 0 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) N n k N N N N N N N 只需计算 WN因子，由矩阵理论可计算式 (2.99) ()( ) ( 2 . 1 0 1 )nkNX W x W x 65 例：计算 周期序列 离散傅里叶级数 例 2.21 计算 以 N= 4为周期进行周期延拓 ， 求周期序列的离散傅里叶级数 。 解 : , 0 3() 0, nnxn 其它 xn= 0,1,2,3;N= 4; % 设定序列和周期 n= 0:1:N-1;k= 0:1:N-1; % 设定 n和 k WN= exp(-j*2*pi/N); % 设定 Wn因子 nk= n*k;WNnk = WN.nk; % 计算 W矩阵 Xk= xn*WNnk; % 计算 DFS的系数 Xk disp(xn);disp(Xk); % 显示计算结果 (系数 ) 程序运行结果为 0 1 2 3 6.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i