无穷小量与无穷大量

2.5 2.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义 定义定义 若若 ,则称函数则称函数 是无穷小是无穷小.无穷小有以下几个性质：无穷小有以下几个性质：性质性质1 1 若函数若函数 都是无穷都是无穷小，则函数小，则函数 也是无穷小也是无穷小.性质性质2 2 若函数若函数 是无穷小是无穷小,函数函数 在在 的某去心邻域的某去心邻域 有界，则有界，则 是无穷小是无穷小.lim()0 xaf x()()f xxa()()()f xg xxa与与()()()f xg xxa()()f xxa()g xa()Ua()()()f x g xxa特别是，特别是，若函数若函数 都是无穷小，都是无穷小，则函数则函数 也是无穷小也是无穷小.lim()()()xaf xbf xbx()()xxa()()()f xg xxa与与()()()f x g xxalim()lim()0()(),()().lim()0 xaxaxaf xbf xbxf xbf xbxx 令令而而性质性质3 3 极限极限 其中其中 是无穷小是无穷小.证明证明:性质性质3 3指出指出:任何形的函数极限总可将这个函数任何形的函数极限总可将这个函数表为它的极限与无穷小的和，反之亦然表为它的极限与无穷小的和，反之亦然.通常通常在论证问题时，要去掉极限符号变为等号，要在论证问题时，要去掉极限符号变为等号，要应用性质应用性质3.3.因此极限问题实质是无穷小问题因此极限问题实质是无穷小问题.因因此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是上是相同的相同的.所以有人把所以有人把“数学分析数学分析”也称也称为为“无穷小分析无穷小分析”.二、无穷大量二、无穷大量 定义定义 设函数设函数 在在 有定义有定义.若若 有有 ，则称函数则称函数 是是无穷大无穷大，有时也称函数，有时也称函数 在在 的的“极限极限”是无穷大，表为是无穷大，表为()f x()Ua 0,0,:0Bxxa()f xB()()f xxa()f xalim()()()xaf xf xxa 或或 若将上述定义中的不等式若将上述定义中的不等式 分别改为分别改为则分别称函数则分别称函数 是是正无穷正无穷与与负无穷大负无穷大，并分别表为并分别表为与与()f xB()()f xBf xB 与与()()f xxalim()()()xaf xf xxa 或或lim()()()xaf xf xxa 或或0,0,:0,()lim()xaBxxaffxBx 0,0,:0,(lim)()xaBxxafBxf x 0,0,:0,(i()l mxaBxxaf xBf x 无穷大，正无穷大和负无穷大列表对比如下：无穷大，正无穷大和负无穷大列表对比如下：在上述这三个在上述这三个“无穷大无穷大”的定义之中的定义之中,将将 改为改为 可定可定义不同形式的义不同形式的“无穷大无穷大”。xa,xaxxn 以以及及例例1.1.证明证明证明证明 31lim.3xx 110,33BBxx解解不不等等式式1113.,:03,3xxxBBBx 31lim3xx 即即例例2.2.证明证明证明证明lim,(1)xxaa 0,log.xaBaB xB解解不不等等式式log,.xaABxAaB 有有lim.xxa 即即例例3.3.证明证明1limln(1).xx 证明证明0,ln(1),1,BBxBxe 解解不不等等式式,:01,ln(1).BexxxB 有有1limln(1).xx 即即()f x类类似似地地可可以以分分别别定定义义为为.时时的的有有界界量量()().f xxa为为有有界界量量,00 xxxxxxx,211xx 为为时时的的无无穷穷小小量量例如例如:sin).x x (为为有有界界量量0()()f xxU a 设设在在点点的的某某邻邻域域内内定定义义有有定定义义，()f xa若若在在点点 的的某某个个空空心心邻邻域域内内有有界界,则则称称 性质性质1 1 若函数若函数 都是无穷大，都是无穷大，则函数则函数 是无穷大是无穷大.证明证明()()()f xg xxa与与()()()f x g xxa 性质性质2 2 若函数若函数 是无穷大，是无穷大，是有界量，则函数是有界量，则函数 也是无穷大也是无穷大.()()f xxa()()g x xa()()()f xg xxa ()()0,0,:0,();()()0,0,();min,0,:0,()()()()lim()()xag x xaMxxag xMf x xaBf xBxxaf xg xf xg xBMf xg x 1 11 12 21 12 2是是有有界界量量又又是是无无穷穷大大，即即 性质性质3 3 若函数若函数 是是无穷小无穷小(或无穷或无穷大大),),且且 ,则函数则函数 是是无穷大无穷大(或无穷小或无穷小).).()()f xxa()0f x 1()()xaf x()()0,0,f xxaB 是是无无穷穷小小，证证明明11:0,(),.()xxaf xBBf x 1().()xaf x即即是是无无穷穷大大量量同同法法可可证证另另一一种种情情况况.例例4 4.3214lim21 xxxx求求解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得.3214lim21 xxxx小结小结:为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba,0,000 00101101,lim0,mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm 当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、1.lim0 xaf xxaf xg xg x 若若，则则称称时时是是关关于于 ,.xafxg x设设当当时时，均均是是无无穷穷小小量量给给出如下定义出如下定义.察察两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们们定的定的.这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于为了便于考考积仍积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确确三、无穷小的比较三、无穷小的比较高高阶阶无无穷穷小小的的量量，记记作作()()().f xo g xxa()(1)().f xoxa.)0,0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox()f xxa当当为为时时的的无无穷穷小小量量时时，我我们们记记2.若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在，使得在 a 的某一空心邻域的某一空心邻域()Ua 内，有内，有(),()f xLMg x根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当()lim0()xaf xcg x时，这两个无穷小量一定是同阶的时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如例如:,0时时当当xxcos1 与与2x是同阶无穷小量是同阶无穷小量;则称则称 与与 是是xa时的时的同阶无穷小量同阶无穷小量.()f x()g x3.若两个无穷小量在若两个无穷小量在()Ua 内满足内满足:(),()f xLg x 则记则记()()().f xO g xxa当当0 x时，时，x 与与 xx1sin2是同阶无穷小量是同阶无穷小量.(),f xxa为为时时的的有有界界量量时时我们记我们记()(1)().f xOxa应当注意，若应当注意，若)(,)(xgxf为为xa时的同阶无时的同阶无穷小量，当然有穷小量，当然有()()().f xO g xxa反之不一定成立反之不一定成立,例如例如.)0()(1sin xxOxx但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：注意：这里的这里的)()()()(xgOxfxgoxf 与与()xa和通常的等式是不同的，这两个式子的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如右边，本质上只是表示一类函数例如)(xgo表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合)(xg()xa()()().f xg xxa;)0(sin ,1sinlim0 xxxxxx所以所以因为因为;)0(arctan ,1arctanlim 0 xxxxxx所以所以因为因为()4.lim1,()xaf xg x 若若则则称称()()f xg xxa与与为为时时的的等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作也就是说，这里的也就是说，这里的“=”类似于类似于.”“.0)(21cos12 xxx同样还有同样还有根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：()()(),()()(),f xg xxag xh xxa若若()()()limlimlim1.()()()xaxaxaf xf xg xh xg xh x前面讨论了无穷小量阶的比较前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是值得注意的是,并并()()().f xh xxa那那么么这是因为这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如例如xxsin与与21x均为均为x时的无穷小量时的无穷小量,却不能却不能按照前面讨论的方式进行阶的比较按照前面讨论的方式进行阶的比较.这是因为这是因为)(sin1sin2 xxxxxx是一个无界量，并且是一个无界量，并且(2)sin(2)0.nn下面介绍一个非常有用的定理：下面介绍一个非常有用的定理：定理定理 设函数设函数 f,g,h 在在()aU 内有定义内有定义,且且()()().f xg xxa(1)lim()(),lim()();xaxaf x h xAg x h xA 若若则则()()(2)lim,lim.()()xaxah xh xAAf xg x若若则则()lim()()lim()().()xaxag xg x h xf x h xAf x证证()(1)lim()(),lim1,()xaxaf xf x h xAg x因因为为所以所以上述定理上述定理 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例例5.2sinarctanlim0 xxx计算计算.212lim2sinarctanlim00 xxxxxx解解),0(22sin,arctanxxxxx因为因为所以所以(2)可以类似地证明可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.例例6.sinsintanlim30 xxxx 计算计算解解3030sintanlimsinsintanlimxxxxxxxx 30)1cos1(sinlimxxxx xxxxxcos)cos1(sinlim30 3202limxxxx .21