《误差基本知识》PPT课件.ppt

1 测量误差及其产生的原因 测量误差的分类与处理原则 偶然误差的特性 精度评定的指标 误差传播定律及其应用 第五章 测量误差基本知识 本章主要内容如下： 2 1、偶然误差与系统误差的定义？ 2、偶然误差的特性？ 3、等精度观测值中误差的计算？ 4、误差传播定律？ 3 一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值 (客观存 在或理论值 )之差，称为测量误差。 用数学式子表达： i = Li X (i=1,2 n) L 观测值 X真值 5-1 测量误差概述 1、 仪器的原因 仪器结构 、 制造方面 ， 每一种仪器具有一定的 精确度 ， 因而使观测结果的精确度受到一定限制 。 二 、 测量误差的来源 测量误差产生的原因很多 ， 但概括起来主要有 以下三个方面： 4 例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为 1 ，难以确保分以下 估读值完全准确无误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米 以下估读值的准确性。 仪器构造本身也有一定误差 。 例如： 水准仪的视准轴与水准轴不平行 ， 则测量结果中 含有 i 角误差或交叉误差 。 水准尺的分划不均匀 ， 必然产生水准尺的分划误 差 。 5 2、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。 人、仪器和外界环境通常称为 观测条件； 观测条件相同的各次观测称为 等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为 不等精度观测。 3、 外界条件 例如：外界环境如温度 、 湿度 、 风力 、 大气折光等因素 的变化 ， 均使观测结果产生误差 。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移 ， 大气折光使望远镜的瞄准产生偏差 ， 风力过大使仪器安置 不稳定等 。 6 三、测量误差的分类 先作两个前提假设： 观测条件相同 . 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上 分析出现的误差的数值 、符号及变化规律 。 7 先看两个实例： 例 1：用名义长度为 30米而实际长度为 30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表 5-1： 表 5-1 尺段数 一 二 三 四 五 N 观测值 30 60 90 120 150 30 n 真实长度 30.04 60.08 90.12 120.16 150.20 30.04n 真误差 -0.04 -0.08 -0.12 -0.16 -0.20 -0.04 n 可以看出： 误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。 8 例 2： 在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时 估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶 然。 大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、 有时偏右。 可以看出： 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。 9 1.系统误差 - 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一 定的规律变化，这种误差称为 “ 系统误差 ” 。 系统误差 具有规律性。 2.偶然误差 -在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为 “ 偶然误差 ” 。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。 3.粗差 -观测中的错误叫粗差。 例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。 引进如下概念： 10 (二 ) 测量误差的处理原则 在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改 正、抵消或削弱。 对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多 次观测，消弱其影响。 消除系统误差的常用的有效方法： 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 采用合理的观测方法：如对向观测。 研究偶然误差是测量学的重要课题。 消除或削弱偶然误差的有效方法： 适当提高仪器等级。 进行多余观测，求最或是值。 11 四、 偶然误差的特性 若 i= Li X （ i=1,2,3,358） 负 误 差 正 误 差 合 计 误差区间 d （） 个数 k 频率 k/n 个数 k 频率 k/n 个数 k 频率 k/n 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18 18 21 21 24 24 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0.245 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表 5-2 12 从表 5-2中可以归纳出偶然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的 绝对值不会超过一定的限值； 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的 误差出现的频率小； 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值 趋近于零。 用公式表示为： 实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且， 当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。 0limlim 21 nn n n n 13 -24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 图 5-1 频率直方图 d nk/ )(/ 频率nk 为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情 况，可以按表 5-2的数据作 误差频率直方图 (见下图 )。 14 若误差的个数无限增大 (n) ，同时又无限缩 小误差的区间 d ，则图 5-1中各小长条的顶边的折 线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中 称为 “ 正态分布曲线 ” ，它完整地表示了偶然误差 出现的概率 P。 即当 n 时，上述误差区间内误差 出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。 正态分布曲线的数学方程式为 : (5-3) 为标准差，标准差的平方为 方差。 方差为偶然误差平方的理论平均值： efy 22 1)( 2 2 2 15 从 5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。 即 : 1.f( )是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的 f( )相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 2. 愈小， f( )愈大。当 =0时， f( )有最大值 ; 反之， 愈大， f( )愈小。当 n 时， f( ) 0, 这就是偶然误 差的第一和第二特性。 3.如果求 f( )二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： 拐 = 如果求 f( )在区间 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征 。 efy 22 1)( 2 2 16 f( ) + - 1 1 1 2 1 - + f( ) 2 +- 2 2 1 2 2 1 17 观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ； 观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ； 具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较 陡的趋势迅速下降； 具有 较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较 平缓的趋势伸展。 最大纵坐标点： efy 22 1)( 2 2 18 5-2 衡量观测值精度的标准 一 .中误差 误差的概率密度函数为： 标准差 n m ef 22 1)( 2 2 nn nn limlim 2 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述 误差公式： 标准差 中误差 m 的不同在于观测个数 n 上； 标准差表征了一组同精度观测在 (n) 时误差分布的扩散特 征，即理论上的观测指标； 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精 度指标； 所以中误差是标准差的近似值估值； 随着 n 的增大， m 将趋近于 。 19 必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例 3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了 10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组： +3, -2, -4,+2,0, -4,+3, +2, -3, -1 ； 第二组： 0, -1, -7,+2,+1,+1, - 8, 0, +3, -1. 试求这两组观测值的中误差。 由 解得： m1= 2.7 m 2= 3.6 可见： 第一组的观测精度较第二组观测精度高。 nm 20 二、容许误差（极限误差） 根据正态分布曲线，误差在微小区间 d 中的概率： p( )=f( ) d 设以 k倍中误差作为区间，则 在此区间误差出现的概率为： 分别以 k=1,2,3代入上式，可得： P( m)=0.683=68.3 P( 2m)=0.955=95.5 P( 3m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于 2倍中误差的约占误差 总数的 5 ，而大于 3倍的误差仅占误差总数的 0.3 。 由于一般情况下测量次数有限， 3倍中误差很少遇到， 故以 2倍中误差作为允许的误差极限，称为 “ 容许误差 ” ， 或 称为 “ 限差 ” 即 容 =2m kmkm dfkmP )()( 21 三、相对误差 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量 还不能正确反映观测的质量。 例如 : 用钢卷尺量 200米和 40米两段距离，量距的中误 差都是 2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距 的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观 测的质量。即 m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为 1的分式，即 。 上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见 : 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为 绝对误差。 N1 22 5-3 误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值 ， 需要由观测值间接计算出来 。 例如某未知点 B的高程 HB， 是由起始点 A的高程 HA加上从 A点到 B点间进行了 若干站水准测量而得来的观测高差 h1 hn求和得出的 。 这时未知点 B的高程 H。 是各独立观测值的函数 。 那么 如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢 ？ 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的 定律 ， 称为误差传播定律 。 23 一 、 倍数的函数 设有函数： Z为观测值的函数 ， K为常数 ， X为观测值 ， 已知其 中误差为 mx， 求 Z的中误差 mZ。 设 x和 z的真误差分别为 x和 z则： 若对 x 共观测了 n次 ， 则： 将上式平方 ， 得： 求和 ， 并除以 n， 得 kxz xz k )2,1( nik xizi )2,1(222 nik xizi n k n xz 222 24 即 ， 观测值与常数乘积的中误差 ， 等于观 测值中误差乘常数 。 n m n m x x z z 2 2 xz xz kmm mkm 222 n m n m x x z z 2 2 因为： 所以： 25 例： 在 1： 500比例尺地形图上 ， 量得 A、 B两点间 的距离 SAB=23.4mm， 其中误差 msab=土 0.2mm， 求 A、 B间的实地距离 SAB及其中误差 msAB。 解：由题意： SAB=500 Sab=500 23.4=11700mm=11.7m mSAB 500 mSab 500 （ 士 0.2） =土 100mm土 0.1m 最后答案为： SAB=11.7m士 0.1m 26 二 、 和或差的函数 设有函数： Z为 x、 y的和或差的函数 ， x、 y为独立观测值 ， 已 知其中误差为 mx、 my， 求 Z的中误差 mZ。 设 x、 y和 z的真误差分别为 x、 y和 z则 若对 x、 y 均观测了 n次 ， 则 将上式平方 ， 得 yxz yxz )2,1( niyixizi )2,1(2222 niyiixyixizi 27 由于 x、 y均为偶然误差 ， 其符号为正或负的机会 相同 ， 因为 x、 y为独立误差 ， 它们出现的正 、 负号 互不相关 ， 所以其乘积 xy也具有正负机会相同的性 质 ， 在求 xy 时其正值与负值有互相抵消的可能； 当 n愈大时 ， 上式中最后一项 xy /n将趋近于零 ， 即 求和 ， 并除以 n， 得 nnnn yxyxz 2 222 0 lim nn yx 28 将满足上式的误差 x、 y称为互相独立的误差 ， 简称独立误差 ， 相应的观测值称为独立观测值 。 对于 独立观测值来说 ， 即使 n是有限量 ， 由于 式残存的值不大 ， 一般就忽视它的影响 。 根据中误差定义 ， 得 222 yxz mmm 即 ， 两观测值代数和的中误差平方 ， 等于两观测值中误差的平方之和 。 0lim nn yx 29 当 z是一组观测值 X1、 X2 Xn代数和 （ 差 ） 的函数 时 ， 即 nxxxz 21 可以得出函数 Z的中误差平方为： 式中 mxi是观测值 xi的中误差。 即， n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于 n个观测值中误差平方之和 。 22 2 22 1 xnxxz mmmm 30 当诸观测值 xi为同精度观测值时 ， 设其中误差为 m， 即 mx1=mx2=mxn=m则为 这就是说 ， 在同精度观测时 ， 观测值代数和 （ 差 ） 的中 误差 ， 与观测值个数 n的平方根成正比 。 例设用长为 L的卷尺量距 ， 共丈量了 n个尺段 ， 已知 每尺段量距的中误差都为 m， 求全长 S的中误差 ms。 解：因为全长 S=L L L（ 式中共有 n个 L） 。 而 L的中误差为 m。 量距的中误差与丈量段数 n的平方根成正比 。 nmm z nmm S 31 例如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离 ， 当 每尺段量距的中误差为 5mm时 ， 全长的中误 差为 nmm S mmm 7.83590 32 当使用量距的钢尺长度相等 ， 每尺段的量距中误 差都为 mL， 则每公里长度的量距中误差 mKm也是相 等的 。 当对长度为 S公里的距离丈量时 ， 全长的真误 差将是 S个一公里丈量真误差的代数和 ， 于是 S公里的 中误差为 式中 ， S的单位是公里 。 即： 在距离丈量中 ， 距离 S的量距中误差与长度 S的平 方根成正比 。 kms msm 33 例 : 为了求得 A、 B两水准点间的高差 ， 今自 A点开 始进行水准测量 ， 经 n站后测完 。 已知每站高差的中 误差均为 m站 ， 求 A、 B两点间高差的中误差 。 解：因为 A、 B两点间高差 hAB等于各站的观测高 差 hi（ i=l， 2 n） 之和 ， 即 : hAB=HB-HA=h1+h2+ .+hn 则 即 水准测量高差的中误差 ， 与测站数 n的平方根 成正比 。 站mnm ABh 34 在不同的水准路线上 ， 即使两点间的路线长度相 同 ， 设站数不同时 ， 则两点间高差的中误差也不同 。 但是 ， 当水准路线通过平坦地区时 ， 每公里的水准测 量高差的中误差可以认为相同 ， 设为 mkm。 当 A、 B两 点间的水准路线为 S公里时 ， A、 B点间高差的中误差 为 即，水准测量高差的中误差与距离 S的平方根成正比。 22222 km S kmkmkmh mSmmmm AB 个 或 kmh msm AB 35 在水准测量作业时 ， 对于地形起伏不大的地区或平坦 地区 ， 可用 式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地区 ， 则用 式计算 高差的中误差 。 kmAB mSmh 站mnm ABh 例如 ， 已知用某种仪器 ， 按某种操作方法进行水准测 量时 ， 每公里高差的中误差为 20mm， 则按这种水准 测量进行了 25km后 ， 测得高差的中误差为 mm1 0 02520 36 三 、 线性函数 设有线性函数： 则有 例 设有线性函救 观测量的中误差分别为 ， 求 Z的中误差 nn xkxkxkz 2211 22222112 )()()( nnz xkxkxkm 321 14 1 14 9 14 4 xxxz mmmmmmmmm xxx 6,2,3 321 mmm z 6.1614 1214 9314 4 222 37 四 、 一般函数 式中 xi (i=1， 2n) 为独立观测值，已知其中误 差为 mi(i=1 2n) ，求 z的中误差。 当 xi具有真误差 时，函数 Z相应地产生真误差 z。 这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的 误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的 全微分来表达。 nxxxfz 21 , xn n xxz x f x f x f 21 21 38 式中 （ i=l， 2 n） 是函数对各个变量所取的偏 导数 ， 以观测值代人所算出的数值 ， 它们是常数 ， 因此上式是线性函数可为： ix f n n z m x f m x f m x f m 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 39 例 设有某函数 z=Ssin 式中 S=150.11m ， 其中误差 ms= 士 005m ； =119 4500， 其中误差 m=20.6；求 z的中误差 mz。 解：因为 z=Ssin， 所以 z是 S及 a的一般函数 。 mmm m smm z sz 44 c oss i n 2 2222 40 求观测值函数的精度时 ， 可归纳为如下三步： 1） 按问题的要求写出函数式： 2） 对函数式全微分 ， 得出函数的真误差与观测值真 误差之间的关系式： 式中 ， 是用观测值代入求得的值 。 3） 写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： ix f nxxxfz 21 , xn n xxz x f x f x f 21 21 n n z mx fm x fm x fm 22 2 2 2 2 1 2 2 1 2 41 5-3 算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了 n次，观 测值为 L1、 L2L n，现在要根据这 n个观测值确定 出该未知量的最或然值。 设未知量的真值为 X，写出观测值的真误差公式为 i= Li-X (i=1,2n) 将上式相加得 或 故 nXLLL nn 2121 nXL nn LX 一、观测值的算术平均值 42 设以 x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值 ， 即 以 X表示算术平均值的真误差 ， 即 代入上式 ， 则得 由偶然误差第四特性知道 ， 当观测次数无限增多时 ， x趋近于零 ， 即 : 也就是说 ， n趋近无穷大时 ， 算术平均值即为真值 。 n Lx nx xxX 0lim x n 43 二、用改正数 v计算中误差及算术平均值的中误差 1、用改正数 v计算中误差（ vi=L-li），对 n次观测值的真 误差和改正数分别为 Xl Xl Xl nn 22 11 nn lL lL lL 22 11 44 将上两组式对应相加 XL XL XL NN 22 11 设 L-X=，代入上式，并移项后得 nn 22 11 45 上组各式分别平方，再求和 22 n 其中 = 0)( 1 lnLlL In i 故有 2 n 其中 nn XlX n lXL 46 故 )( 2 22 312122 2 3121 22 2 2 1 2 2 2 nn nn n ji xx n 因为 li为独立观测值则 当 ij 时，亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性，当 时，上式等号右边的第二项趋于零，故 2 2 n 47 于是 1 1 n m nn n 2、算术平均值（最或是值）的中误差 设对某量进行了 n次等精度观测，观测值为 l1、 l2、 、 ln，中误差为 m。算术平均值 L的中误差 M 的计算公式： 48 n lll n LL n 21 根据误差传播定律有： )1( 111 2 2 2 2 2 2 nn M n m M m n m n m n M 49 例一：对某角进行了 5个测回等精度观测，观测结果为 1=35 1828 2=35 1825 3=35 1826 4=35 1822 5=35 1824 试求该角的平均值，一测回角的中误差以及算术平均值的中 误差。 解：角度的平均值 35 1825 改正数 vi= -i v1=+3 v2=0 v3=+1 v4=-3 v5=-1 故有一测回角的中误差 平均值的中误差 5 20 2.2 15 20 1 nm 0.15 2.2 nmM